中考数学专练总复习 平行线的性质及平移（提高）知识讲解

平行线的性质及平移（提高）知识讲解【学习目标】1掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；4了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.【要点梳理】要点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.【高清课堂：平行线的性质及命题 403103平行线的性质和判定小结】要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行” (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质 要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等要点三、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果，那么.”，也可写成：“若，则.”（3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可要点四、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”定、找、移、连 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点【典型例题】类型一、平行线的性质1、如图，已知ABCD，AP平分BAC，CP平分ACD，求APC的度数.【答案与解析】解：作PMAB，交AC于点M，如图：ABCDCAB+ACD=180PA平分CAB，PC平分ACD1+4=90ABPMCD1=2，3=42+3=90APC=90【总结升华】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来体现，在求角度的过程中，如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷举一反三：【变式】(广安)如图所示，已知abc，1105，2140，则3的度数是( ) A75 B65 C55 D50 【答案】B 类型二、两平行线间的距离2、下面两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小. 【答案】图3，图2【解析】解：因为它们的高相等，三角形的底是8，82=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）2=4.5；54.54；所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.举一反三：【变式】下图是一个方形螺线已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.【答案】35类型三、命题3.判断下列语句是否是命题，如果是，请写出它的题设和结论 (1)同位角相等；(2)对顶角相等；（3）画一条5厘米的线段.【答案与解析】解：（1）是命题，这个命题的题设是：如果两个角是同位角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个错误的命题，即假命题（2）是命题，这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个正确的命题，即真命题（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句【总结升华】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断，如问句、陈述句就不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可举一反三：【变式】下列命题是假命题的是（）A锐角小于90 B平角等于两直角 C若ab，则a2b2 D若a2b2，则ab【答案】C类型四、平移4.如图所示，、两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?【答案与解析】 解：图DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形图符合平移的特征，三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO 所以，图中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变换举一反三：【变式】 (山东青州市一模)下列运动：海浪的运动；屏幕上一串移动的字幕；被投掷出去的话球的运动；沿圆形跑道跑步的运动员，其中属于平移的有_(填写序号)【答案】5、(苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解【答案与解析】解：如图所示把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，显然，这个长方形的长是50-248(m)，宽是22-220(m)，于是种植花草部分的面积为4820960(m2)【总结升华】若分步计算则较繁琐但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解举一反三：【变式】如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地根据图中数据，可得耕地的面积为 ( ) A600m2 B551m2 C550m2 D500m2 【答案】B类型五、平行的性质与判定综合应用6、 (湖南模拟)如图所示，ABC的边BC与DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：BE；ABDE；BCEF请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来已知：如图所示，ABC的边BC与DEF的边DE交于点K，_，_，试说明_【答案与解析】 解：三个论断分别可以组成；三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可 以为例，说明如下已知：如图所示，ABC的边BC与DEF的边DE交于点K，BE，ABDE，试说明BCEF 理由叙述：因为ABDE，所以BCKD 又因为BE，所以ECKD，所以BCEF【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确【高清课堂：平行线的性质及命题403103 平行线的性质练习1】举一反三：【变式】已知，如图，1=2，3=65，则4 .【答案】1157、如图，ABCD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，BMP145，DNP130，则MP1N ；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想AMP1+P1 P2N与MP1 P2+P2ND的关系，并证明你的就论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.【答案与解析】解：（1）75；（2）结论：AMP1+P1 P2NMP1 P2+P2ND证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1AB，P2Q2AB.又 ABCD， AMP11，23，4P2ND. AMP1+P1 P2NAMP1+3+41+2+P2NDMP1 P2+P2ND.（3）BMP1+P1 P2P3+P3 NDMP1 P2+P2 P3N.【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.举一反三：【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角A是120，第二次拐的角B是150，第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则C是( ) A120 B130 C140 D150【答案】D8