第08讲自主招生数学试题中的向量与解三角形

第八讲:向量与解三角形 1 第八讲:自主招生数学试题中的向量与解三角形杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699） 向量与解三角形自成一体,又由密切联系,向量与解三角形均具有重要的方法功能.高考中的向量问题重点考察基础知识,一般出现在客观题中,解三角形问题则常常出现在解答题的第一题,以考虑正、余弦定理的简单应用为目的;联赛着意于应用及变形的技巧,以客观题的形式出现;自主招生考试中的向量与解三角形问题以多种形式出现,更关注问题的本质及综合. .知识拓展 1.向量知识 四心表示:静态形式:重心:P是ABC的重心+=;垂心:P是ABC的垂心=+=+=+;内心:P是ABC的内心a+b+c=;外心:P是ABC的外心2=2=2.动态形式:重心:动点P满足P过ABC的重心;垂心:动点P满足P过ABC的垂心;内心:动点P满足P过ABC的内心;外心:动点P满足P过ABC的外心. 四心性质:重心性质:在ABC中,使2+2+2取得最小值的点P是ABC的重心;外心性质:在ABC中,若O是ABC的外心,则:=2;=(2-2);两心关系:在ABC中,若O、H分别是ABC的外心和垂心,则:=+;三心联系:在ABC中,若G、O、H分别是ABC的重心、外心和垂心,则:=2. 面积公式:在ABC中,SABC=;SABC=tanA;若=(x1,y1),=(x2,y2),则SABC=|x1y2-x2y1|;设点P在ABC的内部,则+=(,0)成立的充要条件是:=SPBC:SPAC:SPAB. 2.解三角形 条件定理:存在定理:在ABC中,己知cosA、cosB,则ABC有解cosA+cosB0. 证明:ABC有解C有解A+B有解0A+B0Acos(-B)cosA-cosBcosA+cosB0. 个数定理:在ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB(0,1),则:(i)ABC有一解sin2A+cos2B1;(ii)ABC有二解sin2A+cos2B1. 证明:ABC有解角C有解sinC0sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+()()=sinAcosB0.所以当sin2A+cos2B1时,只有一解;当sin2A+cos2B1时,有两解. 等价命题:在ABC中,己知二边a,b(ba)及其中一边b的对角B,则ABC有两解、一解或无解函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). 证明:在ABC中,b2=a2+c2-2accosB,所以,ABC有两解、一解或无解关于c的方程:b2=a2+c2-2accosB有两正根、一正根或无正根(含无实根)函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). 内角关系:在ABC中,sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC,cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC;tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1;sinA+sinB+sinC=4coscoscos,cosA+cosB+cosC=1+ 2 第八讲:向量与解三角形 4sinsinsin;tantan+tantan+tantan=1,cot+cot+cot=cotcotcot. 不等关系:在锐角ABC中,sinAcosB,sinA+sinB1,sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC;在ABC中,0sinA+sinB+sinC,0sinAsinBsinC,1cosA+cosB+cosC,-1cosAcosBcosC;在ABC中,a2+b2+c24SABC;在ABC中,如果a、b、c成等比数列,则B(0,如果a、b、c成等差数列,则B(0,. .归类分析 1.解析向量:例1:(2011年“华约”自主招生试题)a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),且xa+yb+zc=(1,1),求(x2+y2+z2)min.解析:练习1:1.(2000年上海交通大学保送生考试试题)向量a=i+2j在向量b=3i+4j上的投影(a)b是多少？ (2012年全国高中数学联赛河北初赛试题)向量a=(1,sin),b=(cos,),R,则|a-b|的取值范围为 . (2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),|a-b|=,若0,-0,且sin=-,则sin=( )(A) (B) (C) (D)2.(2012年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)向量=(1,0),=(1,1),O为坐标原点动点P(x,y)满足,则点Q(x+y,y)构成的图形的面积为_. (2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)在ABC中,A(1,4),B(4,1),C(0,-4),P为ABC所在平面一动点,则+的最小值是 . (2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设X是直线OP上的一点(O为坐标原点),那么,使取最小值时,AXB的值为( )(A)900 (B)arccos (C)arcos(-) (D)+arcos(-) 2.自由向量:例2:(2011年“卓越联盟”自主招生数学试题)向量a、b均为非零向量,(a-2b)a,(b-2a)b,则a,b的夹角为( )(A) (B) (C) (D)解析:练习2:1.(2006年复旦大学保送生考试试题)设向量a、b是不共线的两个向量.已知=2a+kb,=a+b,=2a-3b,若P、Q、S三点共线,则k的值为( ) 第八讲:向量与解三角形 3 (A)-1 (B)-3 (C)- (D)- (2006年复旦大学保送生考试试题)若向量a+3b垂直于向量7a-5b,并且向量a-4b垂直于向量7a-2b,则a与b的夹角为( )(A) (B) (C) (D) (2012年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与7a-2b垂直.则向量a-b与b的夹角为 .2.(2010年“华约”自主招生试题)设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=m,则|a+tb|(tR)的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D) (2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)设平面内的两个向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1.又k与t是两个不同时为零的实数,若向量x=a+(3-t)b与y=-ka+t2b互相垂直,则k的最大值为 . (2012年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设i,j分别表示平面直角坐标系x,y轴上的单位向量,且|a-i|+|a-2j|=,则|a+2i|取值范围为( )(A)2,3 (B),2 (C),4 (D),3 3.几何向量:例3:(2012年“卓越联盟”自主招生数学试题)直角三角形ABC中,A是直角,A为EF中点,且EF与BC夹角为600,BC=4,EF=2,则= .解析:练习3:1.(2009年华南理工大学保送生考试试题)在三角形ABC中,向量a=+,b=3+8+,c=4+,则下列结论一定成立的是( )(A)向量a+c一定与向量b平行 (B)向量b+c一定与向量a平行(C)向量a+b一定与向量c平行 (D)向量a-b一定与向量c平行 (2010年同济大学保送生考试数学试题)记等差数列an的前n项和为Sn.设A、B、C为三角形的三个顶点.点D在直线BC上.若=a1+a2010,则S2010= . (2010年北京大学自主招生数学试题)向量与已知夹角,|=2,|=1,=t,=(1-t),|在t0时取得最小值.问当0t0c2,则C2c,则C;若a3+b3=c3,则C;若(a+b)c;若(a2+b2)c2. 第八讲:向量与解三角形 7 (2008年全国高中数学联赛试题)设ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则的取值范围是( )(A)(0,+) (B)(0,) (C)(,) (D)(,+)2.(2008年浙江大学保送生考试试题)已知A,B,C为ABC的三个内角.求证:cosB+cosC+4sin. (2007年印度国家队选拔考试试题)ABC的三边长分别为a、b、c,对应的角平分线长分别为wa、wb、wc,ABC的外接圆半径为R.证明:+4R. 10.简单应用:例10:(2009年北京大学自主招生数学试题)圆内接四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求ABCD的外接圆半径.解析:练习10:1.(2006年上海交通大学保送生考试试题)在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为、,且+=900,则塔高为 . (2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题)在ABC中,AB=BCAC,AH与AM分别为BC上的高线和中线,=.试确定cosBAC的值.2.(2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试题)如图,在平行四边形ABCD中, D CAB=x,BC=1,对角线AC与BD的夹角BOC=450,记直线AB与CD的距离为h(x). O求h(x)的表达式,并写出x的取值范围 A B (2012年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如图, A半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上动点,在射 C线OM上有一动点B,AB=1,OB1.线段AB交圆O于另 O D M B一点C,D为线段OB的中点,求线段CD长的取值范围. 11.结合问题:例11:(2010年武汉大学自主招生数学试题)已知向量p=(sinA,cosA),q=(cosB,sinB),且pq=sin2C,其中A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角.()求角C的大小;()证明:pq=sin2C的充分必要条件是sec2C+tan2C=-2;()已知A=750,c=(cm),求ABC的面积.解析:练习11:1.(2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题)设|a|=|b|=1,a与b的夹角为,则以a+b与3a-b为邻边的平行四边形的面积为_. (2012年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知ABC为等腰直角三角形,A=,=a+b,=a-b,若a=(cos, 8 第八讲:向量与解三角形 sin)(R),若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则ABC的面积等于_. (2012年全国高中数学联赛试题(B)在ABC中,若=7,|-|=6,则ABC面积的最大值为 .2.(2005年全国III高考试题)ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,己知a,b,c成等比数列,且cosB=.()求cotA+cotC的值;()设求a+c的值. (2010年安徽高考试题)设ABC是锐角三角形,a、b、c分别是内角A、B、C所对边长,并且A=sin(+B)sin(-B)+sin2B.(I)求角A的值;(II)若=12,a=2,求b、c(其中bc). (2009年湖南高考试题)在ABC中,己知2,求角A,B,C的大小. 12.综合问题:例12:(2008年南开大学保送生考试数学试题)n个空间向量,任意2个的夹角为钝角,求n的最大值.解析:练习12:1.(2007年第十届地中海地区数学奥林匹克试题)设ABC的内角BAC=,BC=,其中r、R分别为ABC的内切圆半径、外接圆半径.求的取值范围.2.(2012年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n2.对平面上的任意n个向量a1,a2,an,以M表示满足ij,且aiaj0)成立的充要条件是:=SPBC:SPAC:SPAB. 2.解三角形 条件定理:存在定理:在ABC中,己知cosA、cosB,则ABC有解cosA+cosB0. 证明:ABC有解C有解A+B有解0A+B0Acos(-B)cosA-cosBcosA+cosB0. 个数定理:在ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB(0,1),则:(i)ABC有一解sin2A+cos2B1;(ii)ABC有二解sin2A+cos2B1. 证明:ABC有解角C有解sinC0sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+()()=sinAcosB0.所以当sin2A+cos2B1时,只有一解;当sin2A+cos2B1时,有两解. 等价命题:在ABC中,己知二边a,b(ba)及其中一边b的对角B,则ABC有两解、一解或无解函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). 证明:在ABC中,b2=a2+c2-2accosB,所以,ABC有两解、一解或无解关于c的方程:b2=a2+c2-2accosB有两正根、一正根或无正根(含无实根)函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). 内角关系:在ABC中,sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC,cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC;tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1;sinA+sinB+sinC=4coscoscos,cosA+cosB+cosC=1+ 2 第八讲:向量与解三角形详解 4sinsinsin;tantan+tantan+tantan=1,cot+cot+cot=cotcotcot. 不等关系:在锐角ABC中,sinAcosB,sinA+sinB1,sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC;在ABC中,0sinA+sinB+sinC,0sinAsinBsinC,1cosA+cosB+cosC,-1cosAcosBcosC;在ABC中,a2+b2+c24SABC;在ABC中,如果a、b、c成等比数列,则B(0,如果a、b、c成等差数列,则B(0,. .归类分析 1.解析向量:例1:(2011年“华约”自主招生试题)a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),且xa+yb+zc=(1,1),求(x2+y2+z2)min.解析:xa+yb+zc=(1,1)x2+y2+z2=(z+1-)2+(z-)2+z2=3z2-2(-1)z+当z=时,(x2+y2+z2)min=.练习1:1.(2000年上海交通大学保送生考试试题)向量a=i+2j在向量b=3i+4j上的投影(a)b是多少？解:(a)b=. (2012年全国高中数学联赛河北初赛试题)向量a=(1,sin),b=(cos,),R,则|a-b|的取值范围为 .解:|a-b|2=a2+b2-2ab=(1+sin2)+(cos2+3)-2(cos+sin)=5-4sin(+)1,9|a-b|的取值范围为1,3. (2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),|a-b|=,若0,-0,且sin=-,则sin=( )(A) (B) (C) (D)解:由sin=-cos=,又由|a-b|=a2+b2-2ab=ab=cos(-)=(-(0,)sin(-)=sin=sin(-)+=sin(-)cos+cos(-)sin=.选(C).2.(2012年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)向量=(1,0),=(1,1),O为坐标原点动点P(x,y)满足,则点Q(x+y,y)构成的图形的面积为_.解:由点Q(x+y,y)在区域中面积为2. (2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)在ABC中,A(1,4),B(4,1),C(0,-4),P为ABC所在平面一动点,则+的最小值是 .解:设P(x,y),则+=(x-1)(x-4)+(y-4)(y-1)+(x-4)x+(y-1)(y+4)+x(x-1)+(y+4)(y-4)=3x2-10x+3y2-2y-12-. 第八讲:向量与解三角形详解 3 (2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设X是直线OP上的一点(O为坐标原点),那么,使取最小值时,AXB的值为( )(A)900 (B)arccos (C)arcos(-) (D)+arcos(-)解:由X在直线OP上,可设X(2t,t)=(2t-1)(2t-5)+(t-7)(t-1)=5t2-20t+12,当t=2时,取最小值-8cos=-.选(C). 2.自由向量:例2:(2011年“卓越联盟”自主招生数学试题)向量a、b均为非零向量,(a-2b)a,(b-2a)b,则a,b的夹角为( )(A) (B) (C) (D)解析:(法一)设向量a,b的夹角为,由(a-2b)a,(b-2a)b Da2=b2=2ab|a|=|b|,cos=.选(B). C(法二)作=a,=b,则ADOA,BCOCa,b的夹角为 O A B.选(B).练习2:1.(2006年复旦大学保送生考试试题)设向量a、b是不共线的两个向量.已知=2a+kb,=a+b,=2a-3b,若P、Q、S三点共线,则k的值为( )(A)-1 (B)-3 (C)- (D)-解:由=+=3a-2b;P、Q、S三点共线2:k=3:(-2)k=-.选(C). (2006年复旦大学保送生考试试题)若向量a+3b垂直于向量7a-5b,并且向量a-4b垂直于向量7a-2b,则a与b的夹角为( )(A) (B) (C) (D)解:由(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0a2=b2=2ab|a|=|b|,cos=.选(B). (2012年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与7a-2b垂直.则向量a-b与b的夹角为 .解:由(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0a2=b2=2ab|a|=|b|cos=.2.(2010年“华约”自主招生试题)设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=m,则|a+tb|(tR)的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)解:|a+tb|2=a2+2tab+t2b2=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m21-m2|a+tb|(tR)的最小值为.选(D). (2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)设平面内的两个向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1.又k与t是两个不同时为零的实数,若向量x=a+(3-t)b与y=-ka+t2b互相垂直,则k的最大值为 .解:由a+(3-t)b-ka+t2b=0-ka2+t2-k(3-t)ab+(3-t)t2b2=04k=(3-t)t28k=(6-2t)t23=8k 4 第八讲:向量与解三角形详解 的最大值为1. (2012年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设i,j分别表示平面直角坐标系x,y轴上的单位向量,且|a-i|+|a-2j|=,则|a+2i|取值范围为( )(A)2,3 (B),2 (C),4 (D),3解:设=i=(1,0),=2j=(0,2),=-2i=(-2,0),=a,则|a+2i|=|PQ|,由|a-i|+|a-2j|=动点p在线段AB上|PQ|max=|QA|=3,|PQ|min=点Q(-2,0)到直线AB:2x+y-2=0的距离d=(此时垂足H(,)在线段AB内).选(D). 3.几何向量:例3:(2012年“卓越联盟”自主招生数学试题)直角三角形ABC中,A是直角,A为EF中点,且EF与BC夹角为600,BC=4,EF=2,则= .解析:=(+)(+)=(+)(-)=+(-)-2=-2=|cos1200-|2=-3;练习3:1.(2009年华南理工大学保送生考试试题)在三角形ABC中,向量a=+,b=3+8+,c=4+,则下列结论一定成立的是( )(A)向量a+c一定与向量b平行 (B)向量b+c一定与向量a平行(C)向量a+b一定与向量c平行 (D)向量a-b一定与向量c平行解:b=3+8+=3+8+(-)=2+9,c=4+=4(-)-=3-4b+c=5(+)=5a.选(B). (2010年同济大学保送生考试数学试题)记等差数列an的前n项和为Sn.设A、B、C为三角形的三个顶点.点D在直线BC上.若=a1+a2010,则S2010= .解:由点D在直线BC上,且=a1+a2010a1+a2010=1S2010=1005. (2010年北京大学自主招生数学试题)向量与已知夹角,|=2,|=1,=t,=(1-t),|在t0时取得最小值.问当0t0时,夹角的取值范围.解:设向量与的夹角为,由=-=(1-t)-t|2=(1-t)-t)2=(5+4cos)t2-(2+4cos)t+1t0=0-cos0夹角的取值范围是(,).2.(2012年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在ABC中,已知=12,=-4,则AC=_解:由-=16=16AC=|=4. (2012年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知点O在ABC内部,且3+2+=4,记ABC的面积为S1,OBC的面积为S2,则的值为_.解:由3+2+=4+(2+)=42+=4+(+)=4+=4,取BC的中点D,则+=2=2O是AD的中点=2. (2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知在四边形ABCD中,AC=l1,BD=l2,则(+)(+)= .解:设E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,则=+,且=+,两式相加得:2=+,同理可得:2=+(+)(+)=4=4(+)(+)=4(+)(-+)= 第八讲:向量与解三角形详解 5 (2)2-(2)2=l12-l22. 4.解析方法:例4:(2008年南京大学保送生考试试题)ABC中任取一点O,用SA,SB,Sc分别表示BOC,COA,AOB的面积,求证:SA+SB+SC=0.解析:以O为原点,OA为x轴建立平面直角坐标系,如图: y不妨设|OA|=a,|OB|=b,|OC|=c,AOB=,BOC=COA B=2-(+)SA=bcsin,SB=casin2-(+)=- O A xcasin(+),SC=absin,=(a,0),=(bcos, Cbsin),C(ccos(+),csin(+)向量SA+SB+SC的横坐标=bcsina-casin(+)bcos+absinccos(+)=abcsin-sin(+)cos+sinccos(+)=0;纵横坐标=bcsin0-casin(+)bsin+absincsin(+)=0SA+SB+SC=0.练习4:2.(2012年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在ABC中,AB=BC=2,AC=3.设O是ABC的内心,若=p+q,则的值为 .解:取AC的中点D,以D为原点,DA为x轴建立平面直角坐标系,如图: y则A(-,0),C(,0),B(0,),由|DO|:|OB|=|AD|:|AB|DO|= BO(0,);由=p+qp+3q=,p=. A D C x (2012年全国高中数学联赛河南初赛试题)如图所示, D C在正方形ABCD 中,E为AB的中点,P是以A为圆心,AB为半径 P的圆弧BD上的任意一点,设向量=+(,R),则+的最小值是 . A E B解:不妨设AB=2,建立平面直角坐标系,如图:=(1,-2),=(2cos,2sin),0,=(2,2),由=+2cos=2,-2+2sin=242=(2-)2+(2+2)242=52+4+8(令+=t)4(t-)2=52+4+82+4(1+2t)+8-4t2=0=16(1+2t)2-(2-t2)0t,t-1(舍去). (2005年全国I高考试题)ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,则实数m= .解:以O为原点,OA为x轴建立平面直角坐标系,如图: y设A(r,0),B(rcos,rsin),C(rcos,rsin),则 BAB边上的高所在直线方程:(cos-1)x+ysin+rsin O A x-rsin(+)=0,AC边上的高所在直线方程:(cos-1)x C+ysin+rsin-rsin(+)=0H(r+rcos+rcos,rsin+rsin)m=1.2.(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)如图,正方形ABCD的边长为3,E为DC的中点,AE与BD相交于F,则 6 第八讲:向量与解三角形详解 的值是 .解:建立平面直角坐标系,如图: y则直线BD:y=x,直线AE:y=-x+3F(2,2) A D=(1,1),=(0,-)=-. B C x (2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题)在ABC中,AB=6,AC=8,BAC=900.AD、BE分别为边BC和AC上的中线.则向量、之间所成角的余弦值等于( )(A) (B) (C)- (D)0解:建立平面直角坐标系,则B(6,0),C(0,8),D(3,4),E(0,4)=(3,4),=(-6,4)cos=-.选(C). (2007年全国高中数学联赛试题)在ABC和AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,CA=,若+=2,则与的夹角的余弦值等于_.解:建立平面直角坐标系,如图: y则A(,),C(6,0),不妨设F(cos,sin) F AE(-cos,-sin),由+=2