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专题对点练216.16.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2017河南新乡二模,理6)已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示,为了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查,则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A.100,8B.80,20C.100,20D.80,8答案 A解析 样本容量为(150+250+100)×20%=100,抽取的户主对四居室满意的人数为100×100150+250+100×40%=8.故选A.2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案 A解析 由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.3.(2017全国,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳答案 A解析 由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.4.(2017北京丰台一模,理7)小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻,则不同坐法的总数为()A.60B.72C.84D.96答案 C5.设样本数据x1,x2,x10的平均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,10),则y1,y2,y10的平均值和方差分别为()A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a答案 A解析 由题意知yi=xi+a(i=1,2,10),则y=110(x1+x2+x10+10a)=110(x1+x2+x10)+a=x+a=1+a,方差s2=110(x1+a-x-a)2+(x2+a-x-a)2+(x10+a-x-a)2=110(x1-x)2+(x2-x)2+(x10-x)2=s2=4.故选A.6.4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78答案 D解析 基本事件总数为24=16,周六没有同学参加即4名同学均在周日参加,只有一种情况;同理,周日没有同学参加也只有一种情况.故所求概率为16-216=78.故选D.7.(2017山东,理8)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79答案 C解析 从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,共有A92种不同情况.其中2张卡片上的数奇偶性不同的有(A51A41+A41A51)种情况,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=A51A41+A41A51A92=59.故选C.8.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为()导学号16804211附:若XN(,2),则P(-<X+)0.682 7,P(-2<X+2)0.954 5.A.2 386B.2 718C.3 414D.4 772答案 C解析 由XN(0,1)知P(-1<X1)0.682 7,P(0X1)12×0.682 70.341 4,故阴影部分的面积S0.341 4.落在阴影部分中点的个数x的估计值满足x10 000S1(古典概型),x10 000×0.341 4=3 414,故选C.9.(2017全国,理6)1+1x2(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35答案 C解析 方法一:1+1x2(1+x)6=1·(1+x)6+1x2(1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数为C62=6×52=15,1x2(1+x)6的展开式中的x2的系数为C64=15,所以x2的系数为15+15=30.方法二:(1+x)6的二项展开式通项为Tr+1=C6rxr,1+1x2(1+x)6的展开式中含x2的项的来源有两部分,一部分是1×C62x2=15x2,另一部分是1x2×C64x4=15x2,故1+1x2(1+x)6的展开式中含x2的项为15x2+15x2=30x2,其系数是30.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=. 答案 4解析 二项展开式的通项Tr+1=Cnr(3x)r=3r·Cnr·xr,令r=2,得32·Cn2=54,解得n=4.11.(2017浙江,16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答) 答案 660解析 由题意可得,总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C64C41C31种方法,则满足题意的选法有C84C41C31-C64C41C31=660种.12.(2017河北石家庄二中模拟,理14)已知(ax+1)5的展开式中各项系数和为243,则3xa-13x5的展开式中含x项的系数为.(用数字作答) 答案 -452解析 (ax+1)5的展开式中各项系数和为243,(a+1)5=243,得a=2,3xa-13x5的展开式的通项为Tr+1=C5r3x25-r(-x-13)r=325-r(-1)rC5rx5-43r,令5-4r3=1,得r=3,故二项式3xa-13x5的展开式中含x项的系数为-322C53=-452.故答案为-452.13.(2017北京东城一模,理12)“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星,于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度,码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如图所示.编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式1进行解码,这时能够完美解码;信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式2进行解码,这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率是;如果发送端发送3个码元,那么恰有两个码元无法获取信息的概率是.导学号16804212 答案 1238解析 发送端发送一个码元,基本事件总数n=2,接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1,故如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率p1=mn=12.发送端发送3个码元,恰有两个码元无法获取信息的概率p2=C3212212=38.故答案为12,38.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)14.为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算,样本的平均值=65,标准差=2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判:P(-<X+)0.682 7.P(-2<X+2)0.954 5.P(-3<X+3)0.997 3.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于-2或直径大于+2的零件认为是次品.()从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数Y的数学期望E(Y);()从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数Z的数学期望E(Z).解 (1)P(-<X+)=P(62.8<X67.2)=0.80.682 7,P(-2<X+2)=P(60.6<X69.4)=0.940.954 5,P(-3<X+3)=P(58.4<X71.6)=0.980.997 3,因为设备M的数据仅满足一个不等式,所以其性能等级为丙.(2)易知样本中次品共6件,可估计设备M生产零件的次品率为0.06.()由题意可知YB2,6100,于是E(Y)=2×6100=325.()由题意可知Z的分布列为Z012PC942C1002C61C941C1002C62C1002故E(Z)=0×C942C1002+1×C61C941C1002+2×C62C1002=325.15.(2016河南许昌、新乡、平顶山二模,理18)某校高二年级共有学生1 000名,其中走读生750名,住宿生250名,现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查.根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组:0,30),30,60),60,90),90,120),得到频率分布直方图(部分)如图.(1)如果把“学生晚上有效时间是否达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的100名学生,完成下列2×2列联表;并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?利用时间充分利用时间不充分总计走读生50住宿生10总计60100(2)若在第组、第组、第组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因,记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.临界值表:P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.025k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024解 (1)把“学生晚上有效时间是否达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的100名学生,完成2×2列联表如下:利用时间充分利用时间不充分总计走读生502575住宿生101525总计6040100K2=100×(50×15-25×10)275×25×40×605.556.因为K2>3.841,所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.(2)设第i组的频率为Pi(i=1,2,8),则由图可知P1=13 000×30=1100,P2=1750×30=4100,P3=1300×30=10100,第组1人,第组4人,第组10人.则X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=i)=C5iC103-iC153(i=0,1,2,3),P(X=0)=C50C103C153=2491,P(X=1)=C51C102C153=4591,P(X=2)=C52C101C153=2091,P(X=3)=C53C100C153=291.X的分布列为X0123P249145912091291E(X)=0×2491+1×4591+2×2091+3×291=1.16.(2017宁夏中卫二模,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:吨)的影响,对近六年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5,6)的数据作了初步统计,得到如下数据:年份201120122013201420152016年宣传费x/万元384858687888年销售量y/吨16.818.820.722.42425.5经电脑模拟发现年宣传费x(单位:万元)与年销售量y(单位:吨)之间近似满足关系式y=a·xb(a,b>0),即ln y=b·ln x+ln a,对上述数据作了初步处理,得到相关的值如下表:i=16(ln xi·ln yi)i=16(ln xi)i=16(ln yi)i=16(ln xi)275.324.618.3101.4(1)根据所给数据,求y关于x的回归方程;(2)规定当产品的年销售量y(单位:吨)与年宣传费x(单位:万元)的比值在区间e9,e7内时认为该年效益良好.现从这6年中任选3年,记其中选到效益良好的数量为,求随机变量的分布列和期望.(其中e为自然对数的底数,e2.718 3)附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线v=·u+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1n(ui·vi)-n(u·v)i=1nui2-n(u)2,=v-·u.解 (1)对y=a·xb(a>0,b>0)两边取对数,得ln y=b·ln x+ln a,令i=ln xi,vi=ln yi,得v=b·+ln a,由所给的数据得=24.66=4.1,v=18.36=3.05,i=16(i·vi)=i=16(ln xi·ln yi)=75.3,i=16(ln xi)2=101.4,b=i=16(i·vi)-6(·v)i=16i2-6()2=12,=v-·=1,ln a=v-b·=3.05-12×4.1=1,得a=e,y关于x的回归方程为y=e·x.(2)由(1)中所求回归方程,得yx=exe9,e7,则x(49,81),x=58,68,78,的所有可能取值为0,1,2,3,P(=0)=C30C33C63=120,P(=1)=C31C32C63=920,P(=2)=C32C31C63=920,P(=3)=C33C30C63=120,的分布列为0123P120920920120E()=0×120+1×920+2×920+3×120=32.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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