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圆锥曲线与方程小结与复习项目内容课题圆锥曲线与方程小结与复习（共 3 课时）修改与创新教学目标知识与能力：通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系过程与方法：通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识情感、态度与价值观：结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重、难点重点：三种曲线的标准方程和图形、性质 难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点教学准备多媒体课件教学过程（一）基础知识回顾：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：， （）3椭圆的性质：由椭圆方程() (1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： ，两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 4双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关5双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为6焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上7双曲线的几何性质：（1）范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线的渐近线（） （4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 8等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 9共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 10 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 11抛物线的准线方程： (1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 12抛物线的几何性质（1）范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=113抛物线的焦半径公式：抛物线，抛物线， 抛物线， 抛物线，14直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将代入，消去y，得到关于x的二次方程 （*）若，相交；，相切；，相离综上，得：联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当，则若，两个公共点（交点），一个公共点（切点），无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式：，（3）焦点弦公式： 抛物线， 抛物线， 抛物线， 抛物线，（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：（5）若已知过焦点的直线倾斜角则（6）常用结论：和和 （二）、讲解范例：例1 根据下列条件，写出椭圆方程 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； 和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过点(2，3)； 中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程解 焦点位置可在x轴上，也可在y轴上，因此有两解： 焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,(ab0)，由已知条件有 ,故方程为 设椭圆方程为,(ab0)由题设条件有 及a2=b2+c2，解得b=,故所求椭圆的方程是例2 从椭圆,(ab0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM设Q是椭圆上任意一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F2PQ的面积为20，求此时椭圆的方程解 可用待定系数法求解b=c,a=c，可设椭圆方程为PQAB,kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得,又点F1到PQ的距离d=c ,由故所求椭圆方程为例3 已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长解：a=3,b=1,c=2; 则F（-2，0）由题意知：与联立消去y得：设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，又因为A、B、F都是直线上的点，所以|AB|=点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算例4 中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，最后解关于a、b的方程组即可解：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得 把直线方程代入椭圆方程整理得：设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：，又AB的中点横坐标为，与方程联立可解出故所求椭圆的方程为：例5 直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解： 把代入整理得：（1）当时，由0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须0 ，所以或故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上例6 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且=4，求双曲线方程解：设所求双曲线方程为，由右焦点为（2，0）知C=2，b2=4-a2则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：(20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0 设M（x1,y1）,N(x2,y2),则， 解得：，故所求双曲线方程为：点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程得根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握例7 已知双曲线，过点 A（2，1）的直线与已知双曲线交于P、Q两点（1）求PQ中点的轨迹方程；（2）过B（1，1）能否作直线，使与所给双曲线交于两点M、N，且B为MN的中点，若存在，求出的方程，不存在说明理由解：（1）设P（x1,y1）、Q(x2,y2),其中点为（x，y）,PQ的斜率为k,若PQ的斜率不存在显然（2，0）点是曲线上的点若PQ的斜率存在，由题设知：（1） （2）（2）-（1）得： ，即（3）又代入（3）整理得：（2）显然过B点垂直X抽的直线不符合题意只考虑有斜率的情况设的方程为y-1=k(x-1)代入双曲线方程，整理得：设M（x1,y1）、N(x2,y2)则有解得：=2又直线与双曲线必须有两不同交点，所以式的把K=2代入得0，解得 例9 如图，线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（m0），端点A、B到x轴距离之积为，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线 （1）求抛物线方程；（2）若的取值范围解：（1）当AB不垂直x轴时，设AB方程为由|，故所求抛物线方程为（2）设，平方后化简得又由知的取值范围为轴时，符合条件，故符合条件的m取值范围为（三）、课堂练习：1直线与曲线，相交于A、B两点，求直线的倾斜角的范围答案：2直线与双曲线的左支仅有一个公共点，求K的取值范围答案：或3已知双曲线与点P（1，2），过P点作直线L与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点（1）求直线AB的方程（2）若Q为（-1，-1），证明不存在以Q为中点的弦答案 AB：x-y+1=04双曲线，一条长为8的弦AB的两端在曲线上运动，其中点为M，求距Y轴最近的点M的坐标答案：5顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，截直线所得的弦长为，求抛物线的方程答案：或6过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，若、在抛物线准线上的射影分别为、，则等于 （ B ）A B C D7若抛物线被过焦点，且倾斜角为的直线所截，求截得的线段的中点坐标答案： 8过点的直线与抛物线交于、两点，求直线的斜率K的取值范围答案：9过点作倾斜角为的直线交抛物线于点、，若，求实数的值答案：（四）课时小结 ：1、直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种2、判断其位置关系看直线是否过定点，在根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系3、可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系但有一解不一定是相切，要根据斜率作进一不的判定 板书设计圆锥曲线小结与复习1.椭圆的标准方程：， （） 例1 2.椭圆的几何性质：3.双曲线的标准方程：；(,)4.双曲线的几何性质：5.抛物线的标准方程：(1), 焦点:，准线： 例2(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：6.抛物线的几何性质：教学反思圆锥曲线与直线、圆比较，增加了不少难度，学生在分析解题思路和运算中都有不少困难，需要在巩固知识的基础上，增加训练。同时引导学生要善于总结。我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。
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