高考数学二轮复习 专题对点练11 三角变换与解三角形 理

专题对点练11三角变换与解三角形1.(2017全国,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解 (1)由已知可得tan A=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.2.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边,且3a=2csin A.(1)求角C;(2)若c=7,且ABC的面积为332,求a+b的值.解 (1)由3a=2csin A及正弦定理得3sin A=2sin Csin A.sin A0,sin C=32.ABC是锐角三角形,C=3.(2)C=3,ABC的面积为332,12absin 3=332,即ab=6.c=7,由余弦定理得a2+b2-2abcos 3=7,即(a+b)2=3ab+7.将代入得(a+b)2=25,故a+b=5.3.(2017河南商丘二模,理17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(1+cos C)=c(2-cos B).(1)求证:a,c,b成等差数列;(2)若C=3,ABC的面积为43,求c.(1)证明 b(1+cos C)=c(2-cos B),由正弦定理可得sin B+sin Bcos C=2sin C-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B+sin B=2sin C,sin A+sin B=2sin C,a+b=2c,即a,c,b成等差数列.(2)解 C=3,ABC的面积为43=12absin C=34ab,ab=16,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,a+b=2c,可得c2=4c2-316,解得c=4.4.(2017河南六市联考二模,理17)已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+bcos A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=25,b=2,求ABC的面积.解 (1)在ABC中,由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=0,即sin B(sin A+cos A)=0,又角B为三角形内角,sin B0,所以sin A+cos A=0,即2sinA+4=0,又因为A(0,),所以A=34.(2)在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,则20=4+c2-4c-22,即c2+22c-16=0,解得c=-42(舍)或c=22,又S=12bcsin A,所以S=1222222=2.5.(2017四川成都二诊,理17)如图,在梯形ABCD中,已知A=2,B=23,AB=6,在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若CED=23,EC=7.(1)求sinBCE的值;(2)求CD的长.解 (1)在CBE中,由正弦定理得CEsinB=BEsinBCE,sinBCE=BEsinBCE=1327=2114.(2)在CBE中,由余弦定理得CE2=BE2+CB2-2BECBcos23,即7=1+CB2+CB,解得CB=2.由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BECEcosBEC,cosBEC=277,sinBEC=217,sinAED=sin23+BEC=32277-12217=2114,cosAED=5714,在RtADE中,AE=5,AEDE=cosAED=5714,DE=27,在CED中,由余弦定理得CD2=CE2+DE2-2CEDEcos23=49,CD=7.导学号168041836.(2017江西宜春二模,理17)如图,某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园,已知角A为23,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何可使得三角形地块APQ面积最大?(2)已知竹篱笆长为503米,AP段围墙高1米,AQ段围墙高2米,造价均为每平方米100元,若APAQ,求围墙总造价的取值范围.解 设AP=x,则AQ=200-x,SAPQ=12x(200-x)sin233420022=2 5003,当且仅当x=200-x时,取等号,即AP=AQ=100时,SAPQ有最大值为2 5003平方米.(2)由正弦定理APsinAQP=AQsinAPQ=PQsinA,得AP=100sinAQP,AQ=100sinAPQ.故围墙总造价y=100(AP+2AQ)=10 000(sinAQP+2sinAPQ)=10 0003cosAQP.因为APAQ,所以6AQP3,所以323cosAQP32.所以围墙总造价(单位:元)的取值范围为(5 0003,15 000.导学号168041847.已知向量a=cos2+x,sin2+x,b=(-sin x,3sin x),f(x)=ab.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fA2=1,a=23,求ABC面积的最大值.解 (1)易得a=(-sin x,cos x),则f(x)=ab=sin 2x+3sin xcos x=12-12cos 2x+32sin 2x=sin2x-6+12,f(x)的最小正周期T=22=,当2x-6=2+2k(kZ)时,即x=3+k(kZ),f(x)取最大值是32.(2)fA2=sinA-6+12=1,sinA-6=12,A=3.a2=b2+c2-2bccos A,12=b2+c2-bc,b2+c2=12+bc2bc,bc12.(当且仅当b=c时等号成立)S=12bcsin A=34bc33.当ABC为等边三角形时面积最大,最大值是33.导学号168041858.(2017陕西咸阳二模,理17)设函数f(x)=sin xcos x-sin2x-4(xR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若fC2=0,c=2,求ABC面积的最大值.解 (1)函数f(x)=sin xcos x-sin2x-4(xR),化简可得f(x)=12sin 2x-121-cos2x-2=sin 2x-12.令2k-22x2k+2(kZ),则k-4xk+4(kZ),即f(x)的递增区间为k-4,k+4(kZ),令2k+22x2k+32(kZ),则k+4xk+34(kZ).可得f(x)的递减区间为k+4,k+34(kZ).(2)由fC2=0,得sin C=12.ABC是锐角三角形,C=6.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,将c=2,C=6代入得4=a2+b2-3ab.由基本不等式得a2+b2=4+3ab2ab,即ab4(2+3),SABC=12absin C124(2+3)12=2+3,即ABC面积的最大值为2+3.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375