数值分析课程设计—课程设计

课 程 论 文 任 务 书学生姓名 指导教师 论文题目 数值分析课程设计 论文内容（需明确列出研究的问题）： 本文主要描述运用数值分析的知识来解决数学研究问题中的计算问题，包括运用拉格朗日插值公式以及牛顿插值公式来根据观测点来构造一个反应函数的特征并计算未观测到点的函数值、运用最小二乘法确定系数以及列主元Gauss消去法求解方程组 。资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 发出任务书日期 完成论文（设计）日期 学科组或教研室意见（签字） 院、系（系）主任意见（签字） 目录【摘要】【关键词】AbstractKeywords一、插值问题与插值多项式 1（一）基础知识1（二）题目：2（三）程序清单：5（四）实验结果分析：7二、最小二乘法7（一）基础知识7（二）题目：8（三）程序清单：9（四）实验结果分析：10三、列主元Gauss消去法11（一）基础知识11（二）题目12（三）程序清单：12（四）实验结果分析：13四、实验心得：14数值分析课程设计【摘要】 数值分析是研究各种数学问题求解的数值计算方法，是数学中计算数学分支的重要内容。近几十年来，随着计算机的飞速发展，数值计算方法的学习与研究越来越离不开计算机。实际计算中遇到的数值问题只有与计算机相结合，算法与程序密切联系，形成切实可靠的数值软件才能为社会创造更大的社会财富。本文主要描述运用数值分析的知识来解决数学研究问题中的计算问题，包括运用拉格朗日插值公式以及牛顿插值公式来根据观测点来构造一个反应函数的特征并计算未观测到点的函数值、运用最小二乘法确定系数以及列主元Gauss消去法求解方程组 。【关键词】插值问题与插值多项式 最小二乘法 列主元Gauss消去法11Course Design for Numerical AnalysisAbstract Numerical analysis is an important branch of mathematics, which offers various mumerical methods to solve mathematical problem solving. In recent decades, with the rapid development of computers ,numerical methods of learning and research are increasingly inseparable from the computer. Actual numerical problems encountered in the calculation only combined with the computer, as well as algorithms and procedures contacted closely in order to form a practical and reliable numerical software, can it create a great of social wealth. This paper use numerical analysis of mathematical knowledge to solve research problems and computational problems, including by using column pivot gauss elimination method for the solution of equations, Newtons iterative method for finding the root of a equation； Including using Lagrange interpolation formula and the Newton interpolation formula to according to the characteristics of the observation point to construct a response function not observation to point and calculate the function value, using the least squares method to determine coefficient, and column pca Gauss elimination method of solving equations.Keywords With the interpolation polynomial interpolation problem The least square method Column pca Gauss elimination method1一、插值问题与y=f(x)插值多项式（一）基础知识定义1 设为区间上y=f(x)函数，为上互不相同的点，为给定的某一函数类，若上有函数，满足 . (1)则称为关于节点在上的插值函数，称点为插值节点；称为插值型值点，简称型值点或插值点;称为被插函数.定义2 已知函数在区间上的个点的值，即已知，寻求一个解析形式的函数，使之满足 (2)则称为插值结点,为被插值函数，为插值函数，称条件为插值条件，若为次数不超过的多项式，即， . (3)其中为实数，则称为插值多项式.定理1在个相异结点满足插值条件而次数不高于的多项式是唯一的.拉格朗日插值多项式定义：对某个多项式函数，已知有给定的k+1个取值点：其中xj对应着自变量的位置，而yj对应着函数在这个位置的取值。假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：拉格朗日基本多项式的特点是在xj 上取值为1，在其它的点 上取值0。 求拉格朗日插值多项式的算法：输入：数据对应的坐标点构成的向量x，y和要求的点x0；输出：拉格朗日插值多项式已经特值对应的y值Step1: 对于i=1:n 对于j=1：n 如果j不等于i，执行step2； 执行step3Step2: l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j);/这就是计算出的拉格朗日基本多项式step3：f=f+l;/计算插值多项式 （二）题目：根据下表所列的数据点求出其拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式，并计算当x=2.0时的值。123-45248272 118222621.拉格朗日多项式解：编写拉格朗日多项式插值方法函数 x=1 2 3 -4 5; y=2 48 272 1182 2262; f=largance(x,y) f = 2.+t2-3.*t-2.*t3+4.*t4 f=largance(x,y,2.0)f = 48 2.牛顿插值多项式x=1 2 3 -4 5;y=2 48 272 1182 2262;f=Newton(x,y) f = 2.-3.*t+t2-2.*t3+4.*t4 x=1 1.2 1.8 2.5 4; y=1 1.44 3.24 6.25 16;f=Newton(x,y) f = .182711e-14-.482154e-14*t+1.00000*t2-.169177e-14*t3+.211471e-15*t4 f=Newton(x,y,2.0)f = 4 （三）程序清单：1.拉格朗日插值多项式function f=largance(x,y,x0)syms t;%确保输入数据正确if(length(x)=length(y) n=length(x);else disp(x和y的维数不同) return ;end f=0.0;for(i=1:n) l=y(i); %计算拉格朗日基本多项式 for(j=1:n) if(j=i) l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; end %计算插值多项式 f=f+l; %简化多项式 simplify(f); if(i=n) if(nargin=3) f=subs(f,t,x0);%将特定值x0带入多项式 else f=collect(f);%合并同类项 f=vpa(f,6);%指定计算数据的精度 end endEnd2.牛顿插值公式function f=Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x)=length(y) n=length(x); c(1:n)=0.0;else disp(x和y的维数不相等！); return;endf=y(1);yl=0;l=1;for (i=1:n-1) for (j=i+1:n) y1(j)=(y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i)=y1(i+1); l=l*(t-x(i); f=f+c(i)*l; simplify(f); y=y1; if(i=n-1) if(nargin=3) f=subs(f,t,x0); else f=collect(f); f=vpa(f,6); end endend（4） 实验结果分析：通过比较实验结果可知他们计算的插值基点得函数值基本相同，具有较高的稳定性；拉格朗日插值多项式形式对称，但是用它计算时，若要增加一个插值点，则原先计算的插值多项式对计算后来的多项式没有用，这样增加了计算工作量；而对于牛顿插值公式构造的插值多项式，若增加一个插值基点，原先计算的结果对于后来的计算过程仍有用。用matlab编写程序后可以准确算出结果。2、 最小二乘法（1） 基础知识在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2. xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中: (式1-1)其中：、 是任意实数为建立这直线方程就要确定和，应用最小二乘法原理，将实测值与利用(式1-1)计算值()的离差()的平方和最小为“优化判据”。 令: (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得: (式1-3)当平方最小时，可用函数 对、求偏导数，令这两个偏导数等于零。亦即： (式1-4) (式1-5)得到的两个关于、 为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： (式1-6) (式1-7)这时把、 代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：。在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2.xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 (式1-10) 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。（二）题目：液体的表面张力是温度的线性函数，用最小二乘法确定系数.01020304080909568.067.166.4 65.664.661.861.060.0实验结果：ans = -0.0799 67.9593 （三）程序清单： T=0 10 20 30 40 80 90 95; S=68.0 67.1 66.4 65.6 64.6 61.8 61.0 60.0; polyfit(T,S,1)（4） 实验结果分析：通过运用matlab软件，编写程序对液体的表面张力是温度的线性函数的分析可知，在已知T和S的情况下，运用程序能够准确的求解出线性函数的系数a和b.并且准确度是相当高，实验结果较为可信。三、列主元Gauss消去法（1） 基础知识1.高斯消去法就是通过矩阵的行变换达到消元的目的，从而将方程组的系数矩阵由对称矩阵变为三角矩阵，最后获得方程组的解。算法步骤： 输入 方程组的阶数n；增广矩阵A,b 输出： 方程组的解x1,x2,.xn;Step1: 对k=1,2,.,n-1做step25 Step2 选主元：求使 = Step3 若=0，则输出（A is singular）;停机 Step4 若k,则；,j=k,k+1,.n+1.(交换增广矩阵的第 行与第k行) Step5 对i=k+1，.n做step67. Step6 = Step7 对j=k+1,.n+1 Step8 若=0，则输出（A is singular）;停机；否则， Step9 对k=n-1，.1 Step10 输出；停机（二）题目用列主元Gauss消去法解方程组运行结果： clear A=2,4,-6;1,5,3;1,3,2; b=-4;10;5; x=gaussc(A,b)x =-3 2 1（三）程序清单：function x=gaussc(A,b)n,m=size(A); A=A,b;for k=1:n-1 for p=k+1:n if abs(A(p,k)abs(A(k,k) for j=k:n+1 t=A(k,j); A(k,j)=A(p,j); A(p,j)=t; end end end %搜索主元并交换 for i=k+1:n l=-A(i,k)/A(k,k); for j=k+1:n+1 A(i,j)=A(i,j)+l*A(k,j); end endend %消去过程结束x(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+A(i,j)*x(j); end x(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i);End（4） 实验结果分析：采用gauss消去法时，如果消元时对角线上的元素较大，不进行列主元计算，计算结果一般可以达到要求，否则必须进行列主元这一步，以减小误差影响。通过检验可以得出结果是准确的，正确反应了实验程序的编写的正确性。并且Gauss消去法的消元过程不至于中断，并且舍入误差较小，实验结果较为精确。4、 实验心得：通过这次数值分析课程设计，我运用matlab软件分别解决了包括运用拉格朗日插值公式以及牛顿插值公式来根据观测点来构造一个反应函数的特征并计算未观测到点的函数值、运用最小二乘法确定系数以及列主元Gauss消去法求解方程组在内的问题，这其中自己遇到很多不懂得地方，但是通过查阅图书资料，加之一遍又一遍的调试程序，还是顺利的完成了课程设计，在这个过程中，我学会了很多以前不懂得程序解法，懂得了如何快速调试程序，然后运行成功。当然，我深知自己理论知识的不够，我定将加强自己理论的研究，体验数学的魅力！参考文献1黄友谦，程诗杰，陈浙鹏，数值试验，北京：高等教育出版社，19892计算方法邓建中等编，西安交大出版社，1985。3数值计算和C程序集蒋长锦编著，中国科学技术大学出版社，1998。4计算方法引论徐萃薇编，高等教育出版社，1999。5陈宝林数值分析合肥：中国科学技术大学出版社，2010.7，112-1236林成森数值分析北京：科学出版社，2007，1923 119130 7蔡大用，数值分析与实验学习指导，北京：清华大学出版社与施普林格出版社，2001课程论文成绩评定表学生姓名专业班级论文题目数值分析课程设计指导教师评语及意见：指导教师评阅成绩： 指导教师签字 年 月 日评阅人评语及意见：评阅人评阅成绩： 评阅人签字 年 月 日总评成绩（以百分记）： 年 月 日15