高中数学 第三章 圆锥曲线与方程章末综合检测2 北师大版选修21

6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第三章第三章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 (时间：100 分钟，满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 已知椭圆x225y2161 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为 3， 则P到另一焦点的距离为( ) A2 B3 C5 D7 解析：选 D.设另一个焦点为F，由椭圆定义知 3|PF|10，|PF|7. 2抛物线yx2的焦点坐标为( ) A(0，18) B(14，0) C(0，14) D(0，12) 解析：选 C.方程化为标准形式为x2y，故其焦点坐标为(0，14) 3双曲线x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B22 C1 D 2 解析：选 B.双曲线x2y21 的顶点坐标为(1，0)，渐近线为yx，xy0，顶点到渐近线的距离为d|10|222. 4已知抛物线y2px2(p0)的准线与圆x2y24y50 相切，则p的值为( ) A10 B6 C.18 D124 解析： 选 C.抛物线方程可化为x212py(p0)， 由于圆x2(y2)29 与抛物线的准线y18p相切，3218p，p18. 5 已知中心在原点， 焦点在y轴上的双曲线的离心率为 5， 则它的渐近线方程为( ) Ay2x By52x 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 Cy12x Dy 6x 解析：选 C.由题意知双曲线的渐近线方程为yabx， e2c2a21(ba)25，ba2，故渐近线方程为y12x. 6 若直线l过点(3， 0)与双曲线 4x29y236 只有一个公共点， 则这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析：选 C.双曲线方程可化为x29y241，知(3，0)为双曲线的右顶点，故符合要求的直线l有 3 条，其中一条是切线，另两条是交线(分别与两渐近线平行) 7已知定直线l与平面成 60角，点P是平面内的一动点，且点P到直线l的距离为 3，则动点P的轨迹是( ) A圆 B椭圆的一部分 C抛物线的一部分 D椭圆 解析：选 D.以l为轴底面半径为 3 的圆柱被与l成 60的平面所截，截线为椭圆 8 设P为双曲线x2y231 上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点， 若|PF1|PF2|53，则PF1F2的面积是( ) A4 2 B6 C7 D8 解析：选 B.a1，c2，|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|53， 由得|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|4， PF2F190， 故SPF1F212|PF2|F1F2|12346. 9已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B3 C. 5 D92 解析：选 A.如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x12的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点M(0， 2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点M(0，2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0，2)到点F12，0 的距离，则距离之6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 和的最小值为 414172. 10椭圆x2a2y2b21(ab0)的内接矩形的最大面积的取值范围是3b2，4b2，则该椭圆的离心率e的取值范围是( ) A33，22 B53，32 C22，53 D33，32 解析：选 B.由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行x轴，y轴，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)(x0，y0)， S矩形4xy2ab(2xayb)2ab(x2a2y2b2)2ab3b2，4b2， 3b22ab4b2，即12ba23，e2c2a21(ba)259，34，故e53，32 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中横线上) 11椭圆x2m2y23m1 的一个焦点为(0，1)，则m_ 解析：由题意a23m，b2m2，又c1，12a2b23mm2，即m2m20， m2 或m1，均满足 3mm2. 答案：2 或 1 12如图，共顶点的椭圆，与双曲线，的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为_ 解析：对椭圆，离心率越小，椭圆越圆，0e1e21； 对双曲线，离心率越大，张口越大，1e4e3，故e1e2e4e3. 答案：e1e2e40)最近的点恰好是抛物线的顶点，则m的取值范围是_ 解析：设P(x，y)为抛物线上任一点，则|PM|2(xm)2y2x22(m1)xm2 x(m1)22m1. m0，m11. 由于x0，且由题意知当x0 时，|PM|最小 则对称轴xm1 应满足1m10，0b0)，由题意知：2a18，2a6c，所以解得a9，c3，故b2a2c272，所以椭圆C的方程是x281y2721，离心率eca3913. 17(本小题满分 10 分) k代表实数，讨论方程kx22y280 所表示的曲线 解：当k0 时，曲线y24x28k1 为焦点在y轴上的双曲线； 当k0 时，曲线 2y280 为两条平行于x轴的直线y2 或y2； 当 0k2 时，曲线y24x28k1 为焦点在y轴上的椭圆 18(本小题满分 10 分)已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点 (1)求证：OAOB； (2)当OAB的面积等于 10时，求k的值 解：(1)证明：如图所示，由方程组y2x，yk（x1）消去x后，整理，得ky2yk0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y21. A，B在抛物线y2x上， y21x1，y22x2.y21y22x1x2. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 kOAkOBy1x1y2x2y1y2x1x21y1y21， OAOB. (2)设直线AB与x轴交于点N，显然k0. 令y0，则x1，即N(1，0) SOABSOANSOBN 12|ON|y1|12|ON|y2| 12|ON|y1y2|， SOAB121 （y1y2）24y1y2 12 1k24. SOAB 10， 1012 1k24， 解得k16. 19(本小题满分 12 分)已知：双曲线x22y22 的左、右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|PF2|4. (1)求：动点P的轨迹E的方程； (2)若M是曲线E上的一个动点，求|MF2|的最小值并说明理由 解：(1)F1( 3，0)，F2( 3，0)， 且|PF1|PF2|42 3， P点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， 且a2，c 3，从而b1.动点P的轨迹方程为x24y21. (2)设M(x，y)，则|MF2|（x 3）2y2， x24y21， y21x24， |MF2|34x22 3x4（32x2）232x2 . ME，x2，2， |MF2|232x，x2，2 显然|MF2|在2，2上为减函数， |MF2|有最小值 2 3. 20 (本小题满分 13 分)如图，F1、F2分别是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 F1AF260. (1)求椭圆C的离心率； (2)已知AF1B的面积为 40 3，求a，b的值 解：(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e12. (2)法一：a24c2，b23c2， 直线AB的方程为y 3(xc)， 将其代入椭圆方程 3x24y212c2，得B85c，3 35c， 所以|AB| 1385c0 165c. 由SAF1B12|AF1|AB|sinF1AB12a165c322 35a240 3， 解得a10，b5 3. 法二：设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at， 再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，t85a. 由SAF1B12a85a322 35a240 3知，a10，b5 3.