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作业7：××函数性质综合参考时量：××××60分钟 完成时间： 月 日 一、选择题1、设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ C ）A是偶函数 B 是奇函数 C. 是奇函数 D是奇函数2、设函数f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)<0的解集是(D)Ax|3<x<0或x>3 Bx|x<3或0<x<3Cx|x<3或x>3 Dx|3<x<0或0<x<3解析：由xf(x)<0得或，而f(3)0，f(3)0，即或，因为函数f(x)为奇函数，且在(0，)内是增函数， 所以函数在(，0)内也是增函数， 故得3<x<0或0<x<3.答案：D3、已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（ D ）（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件4、若偶函数yf(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)(x1)(xa)(3x3)，则f(6)等于 ( B ) A2 B1 C1 D2 解：yf(x)为偶函数，且f(x)(x1)(xa)(3x3) f(x)x2(1a)xa,1a0 a1.f(x)(x1)(x1)(3x3) f(6)f(66)f(0)1. 5、函数在是增函数,则的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】D6、设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为（ ）(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【答案】B【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当，f(x)=f(2x)=(2x)3，当时，g(x)=xcos；当时，g(x)= xcos，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B二、填空题7、函数的最小值为 -14 8、已知是定义在上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是0，120 .9、已知函数f(x)，则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的范围是_解析：f(x)的图象如图所示不等式f(1x2)>f(2x)等价于或解得1<x<1答案：(1，1)10、设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时f(x)1x，则2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析：由已知条件：f(x2)f(x) 则yf(x)是以2为周期的周期函数正确当1x0时0x1 f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示：当3<x<4时，1<x4<0f(x)f(x4)x3，因此正确不正确答案：三、解答题11、已知函数yf(x)在定义域1,1上是奇函数，又是减函数(1)求证：对任意x1、x21,1，有f(x1)f(x2)·(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，f(x)在1,1上是减函数且为奇函数， f(x1)f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)0. f(x1)f(x2)(x1x2)<0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0， f(x1)f(x2)(x1x2)0成立(2)f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，由f(x)在定义域1,1上是减函数得即解得0a1.故所求a的取值范围是0,1)12、已知函数f(x)ax2bxc(a>0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1恒成立，试求b的取值范围解：(1)由已知c1，abc0，且1. 解得a1，b2，f(x)(x1)2，F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1恒成立即bx且bx在(0,1恒成立，x的最小值为0，x的最大值为2.所以2b0.13、已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”.(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;(2)求函数 图像对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得, 由于函数是奇函数, 由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是. (2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数. 设则,即. 由不等式的解集关于原点对称,得. 此时. 任取,由,得, 所以函数图像对称中心的坐标是. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数. 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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