三角形形状的判定

三角形形状的判定方法襄阳四中 徐锐 在数学必修5解三角形的学习中有一类问题是三角形形状的判定，要较好的完成这类问题必须深入地研究边、角间的关系，除了要掌握正、余弦定理并能熟练运用它们外，还应掌握：1、 基本知识点：（1）等腰三角形或A=B（2）直角三角形或（3）钝角三角形或 （4）锐角三角形若为最大边且或A为最大角且 （5）三角形的内角和定理A+B+C=，大边对大角；（6）等；（7）三角形面积公式2、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化。逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：（1） 统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；（2） 统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等；下面结合题目谈谈常见的三角形形状的判定方法。一、利用三角形三边的代数关系直接判断1、 在中，三边、满足，试判断三角形的形状。解析： 则c边最大，且， ，则最大角C为锐角，所以三角形为锐角三角形。二、运用三角函数的关系直接判断2、（05北京）在中，已知那么一定是（ ）A、直角三角形 B、等腰三角形C、等腰直角三角形三角形 D、正三角形解析： 又A，B，C是三角形的内角，选B 3、在中，已知cos2，试判断此三角形的类型.解析： 21将代入上式得 又， 故此三角形是等腰三角形.评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式的逆用.(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形三、运用正（余）弦定理判断4、在ABC中，试判断三角形的形状分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.解法一：利用余弦定理将角化为边. 故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.又 0A，B，AB 即故此三角形是等腰三角形.反思：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。本题的两种解法，就是通过两种不同的转化来实现的。5、在中，若试判断的形状。解一：由已知条件及正弦定理可得，为三角形的内角，或，所以为等腰三角形或直角三角形。解二：由已知条件及正弦定理可得，即，由正弦定理和余弦定理可得=，整理，得，即，为等腰三角形或直角三角形。四、运用向量进行判断6、(06陕西卷) 已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 D、等边三角形解析：非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC为等边三角形，选D7、在中，设若判断的形状。 解析：，同理，两式相减，得，=，同理，故是等边三角形。巩固练习：1在中，若，判断ABC的形状2在中，若，判断ABC的形状3在中，若，试判断三角形的形状4在ABC中，且，判断三角形的形状5在中，若=，且角为锐角，判断三角形的形状。邮编441000 电话189720955234