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专题对点练16空间中的平行与垂直1.(2017江苏无锡一模,16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1A1B,求证:AC1BC.证明 (1)连接BC1,取AB的中点E.侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,O为AC1的中点.E是AB的中点,OEBC1.OE平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,OE平面BCC1B1.OE平面BCC1B1,E,E重合,E是AB的中点.(2)侧面AA1C1C是菱形,AC1A1C.AC1A1B,A1CA1B=A1,A1C平面A1BC,A1B平面A1BC,AC1平面A1BC,BC平面A1BC,AC1BC.2.(2017江苏南京三模,15)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD平面AEF.(1)求证:EF平面ABD;(2)若AE平面BCD,BDCD,求证:平面AEF平面ACD.证明 (1)BD平面AEF,BD平面BCD,平面BCD平面AEF=EF,BDEF.又BD平面ABD,EF平面ABD,EF平面ABD.(2)AE平面BCD,CD平面BCD,AECD.由(1)可知BDEF.BDCD,EFCD.又AEEF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,CD平面AEF.又CD平面ACD,平面AEF平面ACD.3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点,求证:(1)DE平面ABC;(2)B1F平面AEF.证明 如图,建立空间直角坐标系Axyz,不妨设AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).(1)取AB的中点为N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),DE=(-2,4,0),NC=(-2,4,0),DE=NC,DENC.NC平面ABC,DE平面ABC,DE平面ABC.(2)B1F=(-2,2,-4),EF=(2,-2,-2),AF=(2,2,0).B1FEF=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0,B1FAF=(-2)2+22+(-4)0=0.B1FEF,B1FAF,即B1FEF,B1FAF.又AFEF=F,B1F平面AEF.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D平面ABD;(2)平面EGF平面ABD.证明 (1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),C1(0,2,4).设BA=a,则A(a,0,0),所以BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),B1D=(0,2,-2),B1DBA=0,B1DBD=0+4-4=0,即B1DBA,B1DBD.又BABD=B,BA,BD平面ABD,因此B1D平面ABD.(2)由(1)知,E(0,0,3),Ga2,1,4,F(0,1,4),则EG=a2,1,1,EF=(0,1,1),B1DEG=0+2-2=0,B1DEF=0+2-2=0,即B1DEG,B1DEF.又EGEF=E,EG,EF平面EGF,因此B1D平面EGF.结合(1)可知平面EGF平面ABD.5.(2017北京房山一模,理16)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60,将BCD沿对角线BD折起到BCD的位置,使平面BCD平面ABD,E是BD的中点,FA平面ABD,且FA=23,如图2.(1)求证:FA平面BCD;(2)求平面ABD与平面FBC所成角的余弦值;(3)在线段AD上是否存在一点M,使得CM平面FBC?若存在,求AMAD的值;若不存在,请说明理由.(1)证明 BC=CD,E为BD的中点,CEBD.又平面BCD平面ABD,且平面BCD平面ABD=BD,CE平面ABD.FA平面ABD,FACE.又CE平面BCD,FA平面BCD,FA平面BCD.(2)解 以DB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,EC所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,-3,0),D(-1,0,0),F(0,-3,23),C(0,0,3),BF=(-1,-3,23),BC=(-1,0,3).设平面FBC的一个法向量为m=(x,y,z),则mBF=-x-3y+23z=0,mBC=-x+3z=0,取z=1,则m=(3,1,1).平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1),cos=mn|m|n|=151=55.则平面ABD与平面FBC所成角的余弦值为55.(3)解 假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得CM平面FBC,设AM=AD,则(x,y+3,z)=(-1,3,0)=(-,3,0),x=-,y=3(-1),z=0.而CM=(-,3(-1),-3),由mCM,得-3=3(-1)1=-31,无解.线段AD上不存在点M,使得CM平面FBC.6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.(1)求证:CE平面C1E1F;(2)求证:平面C1E1F平面CEF.证明 以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E11,12,2.(1)设平面C1E1F的法向量为n=(x,y,z).C1E1=1,-12,0,FC1=(-1,0,1),nC1E1=0,nFC1=0,即x-12y=0,-x+z=0.令x=1,得n=(1,2,1).CE=(1,-1,1),nCE=1-2+1=0,CEn.又CE平面C1E1F,CE平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m=(a,b,c),由EF=(0,1,0),FC=(-1,0,-1),mEF=0,mFC=0,即b=0,-a-c=0.令a=-1,得m=(-1,0,1).mn=1(-1)+20+11=-1+1=0,平面C1E1F平面CEF.导学号168041987.(2017安徽安庆二模,理18)在如图所示的五面体中,四边形ABCD为直角梯形,BAD=ADC=2,平面ADE平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,ADE是边长为2的正三角形.(1)证明:BE平面ACF;(2)求二面角A-BC-F的余弦值.(1)证明 取AD的中点O,以O为原点,OA为x轴,过O作AB的平行线为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),E(0,0,3),A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,4,3),BE=(-1,-1,3),AF=(-1,4,3),AC=(-2,2,0),BEAF=1-4+3=0,BEAC=2-2=0,BEAF,BEAC.又AFAC=A,BE平面ACF.(2)解 BC=(-2,1,0),BF=(-1,3,3).设平面BCF的法向量n=(x,y,z),则nBC=-2x+y=0,nBF=-x+3y+3z=0,取x=1,得n=1,2,-53.易知平面ABC的一个法向量m=(0,0,1).设二面角A-BC-F的平面角为,则cos =mn|m|n|=-5311+4+253=-104.二面角A-BC-F的余弦值为-104.导学号168041998.(2017北京西城二模,理16)如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,EFCD,ADFC.点M在棱FC上,平面ADM与棱FB交于点N.(1)求证:ADMN;(2)求证:平面ADMN平面CDEF;(3)若CDEA,EF=ED,CD=2EF,平面ADE平面BCF=l,求二面角A-l-B的大小.(1)证明 因为四边形ABCD为矩形,所以ADBC,所以AD平面FBC.又因为平面ADMN平面FBC=MN,所以ADMN.(2)证明 因为四边形ABCD为矩形,所以ADCD.因为ADFC,所以AD平面CDEF.所以平面ADMN平面CDEF.(3)解 因为EACD,ADCD,所以CD平面ADE,所以CDDE.由(2)得AD平面CDEF,所以ADDE.所以DA,DC,DE两两互相垂直.建立空间直角坐标系Dxyz.不妨设EF=ED=1,则CD=2.设AD=a(a0),由题意,得A(a,0,0),B(a,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1).所以CB=(a,0,0),CF=(0,-1,1).设平面FBC的法向量为n=(x,y,z),则nCB=0,nCF=0,即ax=0,-y+z=0,令z=1,则y=1.所以n=(0,1,1).又平面ADE的一个法向量为DC=(0,2,0),所以|cos|=|nDC|n|DC|=22.因为二面角A-l-B的平面角是锐角,所以二面角A-l-B的大小是45.我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。
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