高中数学 第2章 推理与证明阶段复习课学案 新人教A版选修12

第二课推理与证明核心速填1合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理： 归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理2演绎推理(1)演绎推理是由一般到特殊的推理(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断3直接证明与间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法： 综合法是从条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法；(2)间接证明一种方法是反证法，它是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法题型探究合情推理(1)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_(2)类比三角形内角平分线定理：设ABC的内角A的平分线交BC于点M，则.若在四面体P­ABC中，二面角B­PA­C的平分面PAD交BC于点D，你可得到的结论是_，并加以证明. 【导学号：48662093】1(2)(1)等式的左边的通项为，前n项和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.(2)画出相应图形，如图所示由类比推理得所探索结论为.证明如下：由于平面PAD是二面角B­PA­C的平分面，所以点D到平面BPA与平面CPA的距离相等，所以.又因为.由知成立规律方法1归纳推理的特点及一般步骤2类比推理的特点及一般步骤跟踪训练1(1)观察下图2­1中各正方形图案，每条边上有n(n2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.图2­1按此规律，推出Sn与n的关系式为_(2)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4，_，_，成等比数列(1)Sn4n4(n2，nN*)(2)(1)依图的构造规律可以看出：S22×44，S33×44，S44×44(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)猜想：Sn4n4(n2，nN*)(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列综合法与分析法若a、b、c是ABC的三边长，m0，求证：. 【导学号：48662094】思路探究：根据在ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立证明要证明，只需证明0即可a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，ABC中任意两边之和大于第三边，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，.母题探究：1.(改变条件)本例删掉条件“m0”，证明：>.证明要证>.只需证ab(ab)c>(1ab)c.即证ab>c.而ab>c显然成立所以>.2(改变条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”，求证：.证明要证.即证3，即证1.即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.ABC三个内角A，B，C成等差数列B60°.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60°，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命题得证规律方法分析法，综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.反证法已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1. 【导学号：48662095】证明假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x22x3233，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.规律方法反证法的关注点(1)反证法的思维过程：否定结论推理过程中引出矛盾否定假设肯定结论，即否定推理否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”，即肯定原命题).(2)反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法.跟踪训练2若x，y，z(0,2)，求证：x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1.证明假设x(2y)>1，且y(2z)>1，且z(2x)>1均成立，则三式相乘有xyz(2x)(2y)(2z)>1，由于0<x<2，所以0<x(2x) 1，同理0<y(2y)1,0<z(2z)1，三式相乘得0<xyz(2x)(2y)(2z)1，与矛盾，故假设不成立所以x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1.转化与化归思想的应用已知，k，(kZ)且sin cos 2sin ，sin cos sin2.求证：. 【导学号：48662096】证明要证成立，即证.即证cos2sin2(cos2sin2)，即证12sin2(12sin2)，即证4sin22sin21，因为sin cos 2sin ，sin cos sin 2 ，所以(sin cos )212sin cos 4sin2，所以12sin24sin2，即4sin22sin2 1.故原结论正确规律方法转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归.转化与化归的原则是将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的、易解或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际问题转化为数学问题.本章中无论是推理过程还是用分析法、综合法、反证法、数学归纳法证明问题的过程中都用到了转化与化归思想.跟踪训练3已知函数f(x)在R上是增函数，a，bR.(1)求证：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解(1)证明：当ab0时，ab且ba.f(x)在R上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0”，此命题成立用反证法证明如下：假设ab0，则ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，这与f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立，ab0成立，即(1)中命题的逆命题成立我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。