高中数学 第二章 数列 阶段复习课 第2课 数列学案 新人教A版必修5

第二课数列核心速填等差、等比数列的性质项目等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1anam(nm)danamqnm中项若三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，且A若三个数a，G，b成等比数列，这时G叫做a与b的等比中项，且G±前n项和公式Snna1dq1时，Snq1时，Snna1性质下标性质m、n、p、qN*且mnpqamanapaqam·anap·aqSm，S2mSm，S3mS2m成等差数列成等比数列体系构建题型探究等差(比)数列的基本运算等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解(1)设an的公比为q，由已知得162q3，解得q2，an2×2n12n.(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有解得所以bn1612(n1)12n28.所以数列bn的前n项和Sn6n222n.规律方法在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.跟踪训练1已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围.【导学号：91432240】解(1)因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1×(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2)因为数列an的公差d1，且S5>a1a9，所以5a110>a8a1，即a3a110<0，解得5<a1<2.求数列的通项公式(1)已知数列an的前n项和Sn32n，求an.(2)数列an的前n项和为Sn且a11，an1Sn，求an.思路探究：(1)已知Sn求an时，应分n1与n2讨论；(2)在已知式中既有Sn又有an时，应转化为Sn或an形式求解解(1)当n2时，anSnSn132n(32n1)2n1，当n1时，a1S15不适合上式an(2)Sn3an1， n2时，Sn13an. 得SnSn13an13an，3an14an，又a2S1a1.n2时，an·n2，不适合n1.an 规律方法数列通项公式的求法（1）定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.（2）已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式an求解.（3）)累加或累乘法,形如anan1f（n）（n2）的递推式，可用累加法求通项公式；形如f（n）（n2）的递推式，可用累乘法求通项公式. 跟踪训练2设数列an是首项为1的正项数列，且an1anan1·an0(nN*)，求an的通项公式.【导学号：91432241】解an1anan1·an0，1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列故n.an.等差(比)数列的判定数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)(1)设bnan12an，求证：bn是等比数列(2)设cn，求证：cn是等差数列思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明证明(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.2.因为S2a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知bn3·2n1an12an，所以3.所以cn1cn3，且c12，所以数列cn是等差数列，公差为3，首项为2.规律方法等差数列、等比数列的判断方法（1）定义法：an1and（常数）an是等差数列；（q为常数，q0）an是等比数列.（2）中项公式法：2an1anan2an是等差数列；是等比数列.（3）通项公式法：anknb（k，b是常数）an是等差数列；anc·qn（c，q为非零常数）an是等比数列.（4）前n项和公式法：SnAn2Bn（A，B为常数，nN*）an是等差数列；SnAqnA（A，q为常数，且A0，q0，q1，nN*）an是等比数列.特别提醒：前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可.跟踪训练3(2018·全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1.数列求和探究问题1若数列cn是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q(q1)的等比数列，且ancnbn，如何求数列an的前n项和？提示：数列an的前n项和等于数列cn和bn的前n项和的和2有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和试用此种方法求和：122232429921002.提示：122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5 050.3我们知道，试用此公式求和：.提示：由得 11.已知数列an的前n项和Snkcnk(其中c、k为常数)，且a24，a68a3，(1)求an；(2)求数列nan的前n项和Tn.【导学号：91432242】思路探究：(1)已知Sn，据an与Sn的关系an确定an；(2)若an为等比数列，则nan是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列，则可用错位相减法求和解(1)当n>1时，anSnSn1k(cncn1)，则a6k(c6c5)，a3k(c3c2)，c38，c2.a24，即k(c2c1)4，解得k2，an2n.当n1时，a1S12.综上所述，an2n(nN*)(2)nann·2n，则Tn22·223·23n·2n，2Tn1·222·233·24(n1)·2nn·2n1，两式作差得Tn222232nn·2n1，Tn2(n1)·2n1.母题探究：1.(变结论)例题中的条件不变，(2)中“求数列nan的前n项和Tn”变为“求数列nan的前n项和Tn”解由题知Tn12222323n2n(123n)(2222n)2n12.2(变结论)例题中的条件不变，将(2)中“求数列nan的前n项和Tn”变为“求数列的前n项和Tn”解由题Tn，Tn，得：Tn1n，Tn22.规律方法数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式；(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成 的数列求和.(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导.我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。