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第二节随机抽样2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；3.了解分层抽样和系统抽样方法。2015，湖南卷，12,5分(系统抽样)2014，天津卷，9,5分(分层抽样)2015，湖北卷，2,5分(简单随机抽样)1.主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力方法，是统计学中最基础的知识；2.高考试题中主要以选择题或填空题的形式出现，题目多为中低档题，重在考查抽样方法的应用。微知识小题练自|主|排|查1简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法。2系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本。(1)先将总体的N个个体编号。(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k。(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk)。(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(lk)，再加k得到第3个个体编号(l2k)，依次进行下去，直到获取整个样本。3分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照_一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样。微点提醒1随机数法编号要求：应保证各号数的位数相同，而抽签法则无限制。2不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的。3系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差的整数倍。4分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比。小|题|快|练一 、走进教材1(必修3P64A组T6改编)在一次游戏中，获奖者可以得到5件不同的奖品，这些奖品要从由150编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定5件奖品的编号可以为()A5,15,25,35,45 B1,3,5,7,9C11,22,33,44,50 D12,15,19,23,28【解析】采用系统抽样的等距抽样法，抽样间距为10，随机抽取第1个奖品号，设为a(0a10)，则其他奖品号分别为10a,20a,30a,40a，所以可知A正确。【答案】A2(必修3P100A组T2(2)改编)一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为()A2B3C5D13【解析】由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为x，则，所以x2。故选A。【答案】A3(必修3P64A组T5改编)一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为()A40 B60C80 D120【解析】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。由B层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是。所以总体中的个体数为10120。故选D。【答案】D二、双基查验1为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是()A总体是240B个体是每一个学生C样本是40名学生 D样本容量是40【解析】总体容量是240；总体是240名学生的身高；个体是每名学生的身高；样本是40名学生的身高；样本容量是40。故选D。【答案】D2总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B07C02 D01【解析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号为01。故选D。【答案】D3某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，3549岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为()A33人，34人，33人 B25人，56人，19人C30人，40人，30人 D30人，50人，20人【解析】因为12528095255619，所以抽取人数分别为25人，56人，19人。故选B。【答案】B4已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为_。【解析】每组袋数：d20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列。a611160201 211。【答案】1 211微考点大课堂考点一 简单随机抽样【典例1】(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验。在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查；某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛。A0B1C2 D3(2)(2016泰安模拟)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋奶按000,001，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号_。(下面摘取了随机数表第7行至第9行)【解析】(1)不是简单随机抽样。因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的。不是简单随机抽样。因为它是放回抽样。不是简单随机抽样。因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取。不是简单随机抽样。因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样。故选A。(2)找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785；第二个数916799，舍去；第三个数955799，舍去；第四个数567符合题意，这样再依次读出结果为199,507,175。【答案】(1)A(2)785,567,199,507,175反思归纳抽签法与随机数表法的适用情况1抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况。2一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀。一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法。【变式训练】(1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖B某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验(2)(2015湖北高考)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石 B169石C338石 D1 365石【解析】(1)A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样。故选D。(2)设这批米内夹谷x石，则由题意知，即x1 534169。故选B。【答案】(1)D(2)B考点二 系统抽样母题发散【典例2】(1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A50 B40C25 D20(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为()A11 B12C13 D14【解析】(1)由25，可得分段间隔为25。故选C。(2)由系统抽样定义可知，所分组距为20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间481,720的数目为(720480)2012。故选B。【答案】(1)C(2)B【母题变式】1.本典例(2)中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是_。【解析】在第八组中抽得的号码为(83)2044144。【答案】1442本典例(2)中条件不变，若在编号为481,720中抽取8人，则样本容量为_。【解析】因为在编号481,720中共有720480240人，又在481,720中抽取8人，所以抽样比应为2408301，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为28。【答案】28反思归纳解决系统抽样问题的两个关键步骤1分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本。2起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了。【拓展变式】(2015湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示。13003456688891411122233445556678150122333若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是_。【解析】3575，因此可将编号为135的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间139,151上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人。【答案】4考点三 分层抽样多维探究角度一：分层抽样的计算【典例3】(2016安徽江南十校联考)2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动。已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2 400人，30岁至40岁的约3 600人，40岁以上的约6 000人。为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N_。【解析】由题意可得，故N200。【答案】200角度二：分层抽样与概率的综合问题【典例4】最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120y40学生xz130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z2y。(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率。【解析】(1)由题意知0.3，所以x150，所以yz60。因为z2y，所以y20，z40。则应抽取“不赞成改革”的教师人数为202，应抽取“不赞成改革”的学生人数为404。(2)至少有1名教师被选出的概率【答案】(1)教师为2名，学生为4名(2)微考场新提升1为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A简单随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样解析不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样。故选C。答案C2某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A6 B8C10 D12解析设样本容量为N，则N6，N14，高二年级所抽学生人数为148。故选B。答案B3从2 007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率()A不全相等 B均不相等C都相等，且为 D都相等，且为解析从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于。先从2 007人中剔除7人，即从中选2 000人，每人被选到的概率为，再从2 000人中选50人，每人被选到的概率为，故每人入选的概率为。故选C。答案C4某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生。解析抽取比例与学生比例一致。设应从高二年级抽取x名学生，则x50310。解得x15。答案155用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1160编号，按编号顺序平均分成20组(18号，916号，153160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是_。解析由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x(n1)8，所以第16组应抽出的号码为x(161)8123，解得x3，所以第2组中应抽出个体的号码为3(21)811。答案11我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。
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