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专题对点练154.14.2组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案 A解析 由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5=5(a1+a5)2=5a3=5.2.(2017全国,理3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案 B解析 设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由x(1-27)1-2=381,可得x=3,故选B.3.已知等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)2答案 A解析 a2,a4,a8成等比数列,a42=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.4.(2017宁夏银川一中二模,理8)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于()A.18B.24C.30D.60答案 C解析 设等差数列an的公差为d0.由题意,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即2a1+3d=0.S8=16,8a1+872d=16,联立解得a1=-32,d=1.则S10=10-32+10921=30.5.等比数列an的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19D.-19答案 C解析 设数列an的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q1.当q1时,S3=a1(1-q3)1-q=a1q+10a1,1-q31-q=q+10,整理得q2=9.a5=a1q4=9,即81a1=9,a1=19.6.已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案 D解析 an为等比数列,a5a6=a4a7=-8.联立a4+a7=2,a4a7=-8,可解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.当a4=4,a7=-2时,q3=-12,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7;当a4=-2,a7=4时,q3=-2,同理,有a1+a10=-7.故选D.7.设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案 C解析 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.d=am+1-am=3-2=1.Sm=ma1+m(m-1)21=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m1=3,-m-12+m=3.m=5.故选C.8.(2017江西新余一中模拟,理8)设等差数列an满足3a8=5a15,且a10,Sn为其前n项和,则数列Sn的最大项为()A.S23B.S24C.S25D.S26答案 C解析 设等差数列an的公差为d,3a8=5a15,3(a1+7d)=5(a1+14d),即2a1+49d=0.a10,d0,等差数列an单调递减.Sn=na1+n(n-1)2d=n-49d2+n(n-1)2d=d2(n-25)2-6252d.当n=25时,数列Sn取得最大值,故选C.9.(2017辽宁沈阳三模,理11)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=32n-1,则S2 017=()导学号16804195A.22 018-1B.22 018+1C.22 017-1D.22 017+1答案 C解析 由a1=1和an+1=32n-1-an,可知数列an唯一确定,且a2=2,a3=4,a4=8,猜测an=2n-1,经验证an=2n-1是满足题意的唯一解.S2 017=1-22 0171-2=22 017-1.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017辽宁鞍山一模,理15)已知等差数列an,a1=tan 225,a5=13a1,设Sn为数列(-1)nan的前n项和,则S2 017=.答案 -3 025解析 设an的公差为d,由题意,得a1=tan 225=tan 45=1,a5=13a1=13,a5-a1=4d=12,d=3,an=1+3(n-1)=3n-2,S2 017=-1+(-3)2 0162=-3 025,故答案为-3 025.11.(2017江苏无锡一模,9)设等比数列an的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为.答案 2解析 等比数列an的前n项和为Sn,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,2a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q,a1q+a1q4=4,解得a1q=8,q3=-12,a8=a1q7=(a1q)(q3)2=814=2.12.已知等差数列an,a3=9,a5=17,记数列1an的前n项和为Sn.若S2n+1-Snm10(mZ)对任意的nN*成立,则整数m的最小值为.导学号16804196答案 4解析 设公差为d,由a3=9,a5=17,得a1+2d=9,a1+4d=17,解得a1=1,d=4,an=4n-3,Sn=1+15+19+14n-3,令bn=S2n+1-Sn=14n+1+18n+1,则bn+1-bn=14(n+1)+1+18(n+1)+1-14n+1+18n+1=18n+9-14n+12 010的n的最小值.(1)证明 当n=1时,2a1=a1+1,a1=1.2an=Sn+n,nN*,2an-1=Sn-1+n-1,n2,两式相减,得an=2an-1+1,n2,即an+1=2(an-1+1),n2,数列an+1为以2为首项,2为公比的等比数列,an+1=2n,an=2n-1,nN*.(2)解 bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)2n,Tn=32+522+(2n+1)2n,2Tn=322+523+(2n+1)2n+1,两式相减可得-Tn=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1,Tn=(2n-1)2n+1+2,Tn-22n-12 010可化为2n+12 010.210=1 024,211=2 048,满足不等式Tn-22n-12 010的n的最小值为10.15.(2017河南新乡二模,理17)在数列an和bn中,a1=12,an的前n项和为Sn,满足Sn+1+12n+1=Sn+12n(nN*),bn=(2n+1)an,bn的前n项和为Tn.(1)求数列bn的通项公式bn以及Tn;(2)若T1+T3,mT2,3(T2+T3)成等差数列,求实数m的值.解 (1)Sn+1+12n+1=Sn+12n(nN*),an+1=Sn+1-Sn=12n-12n+1=12n+1.当n2时,an=12n.又a1=12,因此当n=1时也成立.an=12n,bn=(2n+1)an=(2n+1)12n.Tn=32+522+723+2n+12n,12Tn=322+523+2n-12n+2n+12n+1,12Tn=32+2122+123+12n-2n+12n+1=32+2141-12n-11-12-2n+12n+1,Tn=5-2n+52n.(2)由(1)可得T1=32,T2=114,T3=298.T1+T3,mT2,3(T2+T3)成等差数列,32+298+3114+298=2m114,解得m=9722.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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