高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ2.3 幂函数学案 新人教A版必修1

2.3幂函数学习目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(重点、易混点)2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，掌握它们的性质(重点、难点)3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)自 主 预 习探 新 知1幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数思考1：幂函数与指数函数的自变量有何区别？提示幂函数是形如yx(R)，自变量在底数上，而指数函数是形如yax(a0且a1)，自变量在指数上2幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象如图231：图231思考2：幂函数图象不可能出现在第几象限？提示第四象限3幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x0，)时，增函数x(，0时，减函数增函数增函数x(0，)时，减函数x(，0)时，减函数基础自测1思考辨析(1)函数yx0(x0)是幂函数()(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)()(3)幂函数的图象都不过第二、四象限()答案(1)(2)(3)2下列函数中不是幂函数的是()AyByx3Cy3x Dyx1C只有y3x不符合幂函数yx的形式，故选C.3已知f(x)(m1)xm22是幂函数，则m()A2 B1C3 D0D由题意可知m11，即m0，f(x)x2.4已知幂函数f(x)x的图象过点，则f(4)_. 【导学号：37102308】由f(2)可知2，即，f(4)4.合 作 探 究攻 重 难幂函数的概念已知y(m22m2)xm212n3是幂函数，求m，n的值解由题意得解得所以m3，n.规律方法判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1跟踪训练1(1)在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为() 【导学号：37102309】A0B1C2 D3(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)3f(2)，则f的值等于_(1)B(2)(1)yx2，所以是幂函数；y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y1不是幂函数(2)设f(x)x，因为f(4)3f(2)，432，解得log23，flog23.幂函数的图象及应用点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x1时，f(x)g(x)；(3)当x(0,1)时，f(x)cbaBabcdCdcabDabdc(1)C(2)B(1)设幂函数的解析式为yxa，因为幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，所以24a，解得a，所以y，其定义域为0，)，且是增函数，当0xbcd.故选B.幂函数性质的综合应用探究问题1幂函数yx在(0，)上的单调性与有什么关系？提示：当0时，幂函数yx在(0，)上单调递增；当30.7.函数yx3是增函数，且0.210.23，0.2131.8.又y1.8x是增函数，且，1.81.8，21.8.0.9，1.1.1.21.1，且yx在0，)上单调递增，1.21.1，即1.20.9.(2)f(x)x的定义域为(0，)任取x1，x2(0，)，且x1x10，所以x1x20，于是f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)x在区间(0，)上是减函数母题探究：1.本例(2)若增加条件“(a1)(32a) ”则实数a的取值范围解因为f(x)x在区间(0，)内是减函数所以(a1)(32a)等价于解得a，所以0.50.5.(2)因为幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又1.(3)因为函数y1x为R上的减函数，又，所以.又因为函数y2x在(0，)上是增函数，且，所以，所以.规律方法比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8.当 堂 达 标固 双 基1下列函数为幂函数的是()Ay2x4By2x31Cy Dyx2D结合幂函数的形式可知D正确2幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式() 【导学号：37102312】Ayx1 ByxCyx2 Dyx3B设f(x)x，则2，f(x)x.选B.3函数yx的图象是()ABCDC函数yx是非奇非偶函数，故排除A、B选项又1，故选C.4若f(x)x在(0，)上单调递增，则的取值范围为_(0，)由f(x)的单调性可知0，即的取值范围为(0，)5比较下列各组数的大小(1)3与3.1；(2)4.1，3.8，(1.9). 【导学号：37102313】解(1)因为函数yx在(0，)上为减函数，又33.1.(2)4.111，03.811，而(1.9)3.8(1.9).6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375