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章末综合测评(二)随机变量及其分布(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法不正确的是()A某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C公式E(X)np可以用来计算离散型随机变量的均值D从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布C公式E(X)np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算故选C.2某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是() 【导学号：95032222】Anp(1p)BnpCn Dp(1p)B依题意知，用电单位XB(n，p)，所以E(X)np.3设随机变量X的分布列为P(Xk)m，k1,2,3，则m的值为()A. B.C. D.BP(X1)，P(X2)，P(X3)，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X1)P(X2)P(X3)1，即1，解得m.4已知的分布列为1012P则的均值为()A0 B1C DDE()1012.5一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率依次为，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为() 【导学号：95032223】A. B.C. D1BPP(A)P(B)P(C).6若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于()A10 B100C D.C由正态分布密度曲线上的最高点知，即，D(X)2.7已知B，B，且E()15，则E(36)等于() 【导学号：95032224】A30 B16C36 D10C因为B，所以E().又E()15，则n30，所以B.故E()3010.E(36)3E()6368如果随机变量XN(4,1)，则P(X2)等于()(注：P(2X2)0.954 5)A0.210 B0.022 8C0.045 6 D0.021 5BP(X2)(1P(2X6)1P(42X42)(10.954 5)0.022 8.9对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()A. B.C. D.D记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)，P(AB).故P(B|A).10盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为() 【导学号：95032225】A恰有1只是坏的B4只全是好的C恰有2只是好的D至多有2只是坏的CXk表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(Xk)(k1,2,3,4)P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，故表示恰好有2个是好的11已知随机变量X的概率分布列如下表：X12345678910Pm则P(X10)()A. B.C. D.C由离散型随机变量分布列的性质可知m1，m112.12某商家进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1 000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则商家返还中奖顾客现金1 000元小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券设小王这次消费的实际支出为(元)，则E()等于() 【导学号：95032226】A1 850元 B1 720元C1 560元 D1 480元AP(2 450)，P(1 450)C，P(450)C，P(550)C.E()2 4501 450450(550)1 850(元)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为_都未解决的概率为.14同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_. 【导学号：95032227】法一(直接法)：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X0)，P(X1)C，P(X2).所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012P则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)012.法二(公式法)：此试验满足二项分布，其中p，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)np2.15据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第_名229依题意，P(602080)(10.954 5)0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 0000.022 8228(人)所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名16甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关. 【导学号：95032228】从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1，A2，A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1，A2，A3两两互斥，故正确，易知P(A1)，P(A2)，P(A3)，则P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，故对错；P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)，故错误综上知，正确结论的序号为.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率解记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)0.7，P(Bi)0.6，且Ai，Bi(i1,2,3)相互独立(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，则P( A3)P()P()P(A3)0.30.30.70.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)设“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.法一(直接法)因为CA1B1A1B1，且A1，B1，A1B1彼此互斥，所以P(C)P(A1)P(B1)P(A1B1)P(A1)P()P()P(B1)P(A1)P(B1)0.70.40.30.60.70.60.88.法二(间接法)P(C)1P()P()10.30.40.88.所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.18(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表试对这两名工人的技术水平进行比较. 【导学号：95032229】X012PY012P解工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)0120.7，D(X)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)0120.7，D(Y)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.61.由E(X)E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)D(Y)，可见乙的技术比较稳定19(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P20.(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)解(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列为X123P从而E(X)123.21(本小题满分12分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 【导学号：95032230】解设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n()A30，根据分步计数原理n(A)AA20，于是P(A).(2)因为n(AB)A12，于是P(AB).(3)法一(公式法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A).法二：(直接法)因为n(AB)12，n(A)20，所以P(B|A).22(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利80元)已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利元，求的分布列，并求出均值E(). 【导学号：95032231】解(1)设“该海产品不能销售”为事件A，则P(A)1.所以，该海产品不能销售的概率为.(2)由已知，可知的可能取值为320，200，80,40,160.P(320)，P(200)C，P(80)C，P(40)C，P(160).所以的分布列为3202008040160PE()320200804016040.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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