高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式评估验收卷 新人教A版选修45

6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第三讲第三讲 柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式 评估验收卷(三) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1设xy0，则x24y2y21x2的最小值为( ) A9 B9 C10 D0 解析：x22y21x2y2x1x2yy29. 答案：B 2学校要开运动会，需要买价格不同的奖品 40 件、50 件、20 件，现在选择商店中为5 元、3 元、2 元的奖品，则至少要花( ) A300 元 B360 元 C320 元 D340 元 解析：由排序原理，反序和最小 所以最小值为 502403205320(元) 答案：C 3锐角三角形ABC中，设Pabc2，Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的大小关系为( ) APQ BPQ CPQ D不能确定 解析：不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C， 则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)， Qacos Cbcos Bccos Abcos Accos Bacos CR(2sin Bcos A2sin Ccos B2sin Acos C)， 上面两式相加，得Qacos Cbcos Bccos A12R(2sin Acos B2sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos B2sin Ccos A2sin Acos C)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)abc2P(R为锐角三角形ABC的外接圆的半径) 答案：C 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 4已知 3x22y21，则 3x2y的取值范围是( ) A0， 5 B 5，0 C 5， 5 D5，5 解析：因为(3x22y2)( 3)2( 2)2( 3x 3 2y 2)2(3x2y)2， 即 5(3x22y2)(3x2y)2(当且仅当xy时等号成立)， 又 3x22y21，所以(3x2y)25，所以 53x2y 5. 答案：C 5设a，b，c为正数，则(abc)4a9b36c的最小值为( ) A54 6 B9 C121 D8 3 解析：因为a，b，c为正数， 所以(abc)4a9b36c(a)2(b)2(c)22a23b26c2(236)2121. 当且仅当a2，b3，c6 时取等号 答案：C 6已知半圆的直径AB2R，P是弧AB上一点，则 2|PA|3|PB|的最大值是( ) A. 6R B. 13R C2 13R D4 13R 解析：由 2|PA|3|PB| （2232）（|PA|2|PB|2） 13|AB|2 132R. 答案：C 7函数f(x) 1cos 2xcos x，则f(x)的最大值是( ) A. 3 B. 2 C1 D2 解析：f(x) 2 sin2 xcos x. 又( 2 sin2 xcos x)2(21)(sin2 xcos2 x)3，所以f(x)的最大值为 3. 答案：A 8已知x21x22x231，y21y22y232，则x1y1x2y2x3y3的最大值是( ) A2 B3 C. 2 D. 3 解析：因为x21x22x231，y21y22y232， 所以(x1y1x2y2x3y3)2(x21x22x23)(y21y22y23)122， 所以x1y1x2y2x3y3 2. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 当x1y1x2y2x3y322时，取“”，故选 C. 答案：C 9已知x，y，z0，且1x2y3z1，则xy2z3的最小值是( ) A5 B6 C8 D9 解析：xy2z31x2y3zxy2z3 1xx2yy23zz329. 所以xy2z3min9.故应选 D. 答案：D 10设a1，a2，a3为正数，则a1a2a3a2a3a1a3a1a2与a1a2a3大小为( ) A B C D 解析：不妨设a1a2a30，于是1a11a21a3，a2a3a3a1a1a2， 由排序不等式：顺序和乱序和，得 a1a2a3a3a1a2a2a3a11a2a2a31a3a3a11a1a1a2a3a1a2. 即a1a2a3a2a3a1a3a1a2a1a2a3. 答案：B 11已知x，y，a，b为正数，且ab10，axby1，xy的最小值为 18，则a，b的值分别为( ) Aa2，b8 Ba8，b2 Ca2，b8 或a8，b2 Da2，b2 或a8，b8 解析：因为xy(xy)axby(ab)2ab2ab18. 又ab10，所以ab16. 所以a2，b8 或a8，b2. 答案：C 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 12设c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则a1c1a2c2ancn的最小值是( ) An B.1n C.n D2n 解析：不妨设 0a1a2an， 则1a11a21an，1c1，1c2，1cn是1a1，1a2，1an的一个排列 再利用排序不等式的反序和乱序和求解， 所以a1c1a2c2ancna1a1a2a2anann， 当且仅当a1a2an时等号成立故选 A. 答案：A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上) 13已知a，b，c为非零实数，则(a2b2c2)1a21b21c2的最小值为_ 解析：由(a2b2c2)1a21b21c2 a1ab1bc1c29， 所以所求最小值为 9. 答案：9 14设a，b0，若a2b25，则a2b的最大值为_ 解析：(1222)(a2b2)(a2b)2，即 25(a2b)2. 所以(a2b)max5. 答案：5 15已知x，y，z(0，)，xyz9，则xyz的最大值是_ 解析：(xyz)2(121212)(xyz)3927.所以xyz3 3. 答案：3 3 16设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z的最小值为_ 解析：由柯西不等式，得(x2y2z2)12(2)222(x2y2z)2，故(x2y2z)24936. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 当且仅当x1y2z2k，k23时，上式取得等号 当k23时，x2y2z取得最小值6. 答案：6 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)设a(1，0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，求ab的最大值 解：因为a(1，0，2)，b(x，y，z)， 所以abx2z. 由柯西不等式120(2)2(x2y2z2)(x02z)2516(x2z)245x2z4 54 5ab4 5， 故ab的最大值为 4 5. 18 (本小题满分 12 分)已知 0abc， 求证c2abb2aca2bca2abb2bcc2ca. 证明：因为 0abc， 所以 0abcabc， 所以1ab1ca1bc0， 又 0a2b2c2， 所以c2abb2aca2bc是顺序和，a2abb2bcc2ca是乱序和， 由排序原理可知顺序和大于等于乱序和， 即不等式c2abb2aca2bca2abb2bcc2ca成立 19(本小题满分 12 分)设a，b，c都是正实数，求证：aabbcc(abc)abc3. 证明：不妨设abc0，则 lg alg blg c， 据排序不等式，有alg ablg bclg c blg aclg balg c， alg ablg bclg cclg aalg bblg c， 且alg ablg bclg calg ablg bclg c， 以上三式相加整理，得 3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)， 即 lg(aabbcc)abc3lg(abc)故aabbcc(abc)abc3. 20(本小题满分 12 分)设不等式|x2|1 的解集与关于x的不等式x2axb0 的6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 解集相同 (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)a x3b5x的最大值，以及取得最大值时x的值 解：(1)不等式|x2|1 的解集为x|x1 或x3， 所以，不等式x2axb0 的解集为x|x1 或x3， 所以a4，b3. (2)函数的定义域为3，5，显然有f(x)0，由柯西不等式可得： f(x)4x33 5x 4232 （x3）2（ 5x）25 2， 当且仅当 4 5x3x3时等号成立， 即x10725时，函数取得最大值 5 2. 21 (本小题满分 12 分)已知函数f(x)k|x3|，kR， 且f(x3)0 的解集为1，1 (1)求k的值； (2)若a，b，c是正实数，且1ka12kb13kc1.求证：a2b3c9. (1)解：因为f(x)k|x3|， 所以f(x3)0 等价于|x|k， 由|x|k有解，得k0，且解集为k，k 因为f(x3)0 的解集为1，1 因此k1. (2)证明：由(1)知1a12b13c1，因为a，b，c为正实数 所以a2b3c(a2b3c)1a12b13c3a2b2baa3c3ca2b3c3c2b32a2b2ba2a3c3ca22b3c3c2b9， 当且仅当a2b3c时等号成立 因此a2b3c9. 22(本小题满分 12 分)已知a，b，c为实数，且abc22m0，a214b219c2m10. (1)求证：a214b219c2（abc）214； 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 (2)求实数m的取值范围 (1)证明：由柯西不等式，得 a212b213c2(122232)(abc)2. 即a214b219c214(abc)2. 所以a214b219c2（abc）214， 当且仅当|a|14|b|19|c|时取等号 (2)解：由已知，得abc2m2， a214b219c21m， 所以 14(1m)(2m2)2，即 2m23m50， 所以52m1， 又因为a214b219c21m0， 所以m1，所以52m1.