高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末综合检测2 北师大版选修21

6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第二章第二章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 (时间：100 分钟，满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 已知向量a a、b b， 且ABa a2b b，BC5a a6b b，CD7a a2b b， 则一定共线的三点是( ) AA、B、D BA、B、C CB、C、D DA、C、D 解析：选 A.BDBCCD2(a a2b b)2AB，B为公共点， A、B、D三点共线 2化简PMPNMN所得的结果是( ) A.PM BNP C0 0 DMN 解析：选 C.PMPNMNNMMN0 0. 3若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间一组基底的关系是( ) A.OM13OA13OB13OC B.MAMBMC C.OMOAOBOC D.MA2MBMC 解析：选 C.对于选项 A，由结论OMxOAyOBzOC(xyz1)M，A，B，C四点共面知，MA，MB，MC共面；对于 B，D 选项，易知MA，MB，MC共面，故只有选项 C 中MA，MB，MC不共面 4平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若AC1xAB2yBC3zC1C，则xyz等于( ) A1 B76 C.56 D23 解析：选 B.在平行六面体中，AC1xAB2yBC3zC1CABBCCC1ABBCC1C. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 比较系数知x1，y12，z13， xyz76. 5已知两个平面的一个法向量分别是m m(1，2，1)，n n(1，1，0)，则这两个平面所成的二面角的平面角的余弦值为( ) A36 B36 C36或36 D33或33 解析：选 C.cosm m，n nm mn n|m m|n n|16 236， 由于两平面所成角的二面角与m m，n n相等或互补故选 C. 6 已知a a(2， 1， 2)，b b(2， 2， 1)， 则以a a、b b为邻边的平行四边形的面积为( ) A. 65 B652 C4 D8 解析：选 A.cosa a，b ba ab b|a a|b b|43349， sina a，b b1492659， S|a a|b b|sina a，b b9659 65. 7 在正方体ABCDA1B1C1D1中， 棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点， 则MN与平面B1BCC1的位置关系是( ) A相交 B平行 C垂直 D不能确定 解析：选 B. 建立如图所示的空间直角坐标系， C1D1(0，a，0)为平面B1BCC1的一个法向量， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 M(a，12a，12a)， N(12a，12a，a)， MN(12a，0，12a)， 由于C1D1MN0，且MN平面B1BCC1， MN平面B1BCC1. 8 如图， 在ABC中，ABBC4， ABC30，AD是边BC上的高， 则ADAC的值等于( ) A0 B94 C4 D94 解析：选 C.在ABC中，由余弦定理得，|AC|24242244cos 303216 3， |AC|2( 6 2)，cosCADcosAD，ACcos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 306 24， 又AD12AB2， ADAC|AD|AC|cosAD，AC4( 6 2)6 244，故选 C. 9在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是( ) A.24 B23 C.63 D32 解析：选 C. 以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为 1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1) DA1(1，0，1)，DB(1，1，0)，BC1(1，0，1) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 设n n(x，y，z)是平面DA1B的一个法向量， 则DA1n n0，DBn n0，即xz0，xy0， xyz. 令x1，得n n(1，1，1) 设直线BC1与平面A1BD所成的角为， 则 sin |cosn n，BC1|n nBC1|n n|BC1|23 263. 10四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAAB2，E，F分别为PB，PD的中点，则P到直线EF的距离为( ) A1 B22 C.32 D62 解析：选 D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 设AC与BD的交点为O，|PB|PD|， POBD， 又O(1，1，0)， P点到BD的距离为|PO| （10）2（10）2（02）2 6， 又EF綊12BD， P到EF的距离为62. 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中横线上) 11已知向量a a(0，1，1)，b b(4，1，0)，|a ab b| 29，且0，则_ 解析：a ab b(0，1，1)(4，1，0)(4，1，)，由已知得|a ab b|42（1）22 29，且0，解得3. 答案：3 12 若A(x， 5x， 2x1)，B(1，x2， 2x)， 当|AB|取最小值时，x的值等于_ 解析：AB(1x，2x3，3x3)， 所以|AB| （1x）2（2x3）2（3x3）2 14x232x1914（x87）257， 当x87时，|AB|取得最小值 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 答案：87 13已知a a(3，2，3)，b b(1，x1，1)，且a a与b b的夹角为钝角，则x的取值范围是_ 解析：a ab b32(x1)32x4，由题意知 cosa a，b b(1，0)，即12x422x22x30，解之得x2 且x53. 答案：(2，53)(53，) 14在三棱柱ABCA1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面AA1C1C所成角的大小是_ 解析：法一：取AC的中点D，连接BD，MD，由于BD平面AA1C1C，故BMD即为所求直线与平面所成角，设三棱柱棱长为a，其中BD32a，DMa2， 故 tanBMDBDDM 3，解得BMD60. 法二：由题意知此三棱柱为各棱长均相等的正三棱柱，设棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B( 3，1，0)，M(0，1，1)，BM( 3，0，1)， 取平面ACC1A1的一个法向量n n(1，0，0)， cosBM，n n 32132， 设BM与平面ACC1A1所成的角为， 则 sin 32，60. 答案：60 15.如图所示，在棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为_ 解析：A1B1平面D1EF， G到平面D1EF之距等于A1点到平面D1EF之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F(1，1，12)，E(1，0，12)，设平面D1EF的法向量为n n(x，y，z)，由n nEF0n nED10， 易求得平面D1EF的一个法向量n n(1，0，2)，A1E(0，0，12)， d|A1En n|n n| 55. 答案：55 三、解答题(本大题共 5 小题，共 55 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16(本小题满分 10 分)(2014德州高二检测)已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)，若向量a a分别与向量AB，AC垂直，且|a a| 3，求向量a a的坐标 解：AB(2，1，3)，AC(1，3，2)，设a a(x，y，z)， 由题意知a aAB0a aAC0 x2y2z23，即2xy3z0 x3y2z0 x2y2z23， 解得x1y1z1或x1y1z1. a a(1，1，1)或a a(1，1，1) 17(本小题满分 10 分) 已知在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点， 点G在MN上， 且MG2GN，如图所示，记OAa a，OBb b，OCc c，试用向量a a，b b，c c表示向量OG. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 解：ON12(b bc c)，OM12a a，MN12b b12c c12a a， MG2GN，MG23MN13b b13c c13a a， OGOMMG12a a13b b13c c13a a16a a13b b13c c. 18(本小题满分 10 分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AA1上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CGEF？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由 解：存在如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则E(1，12，0)，F(1，0，13)，C(0，1，0)，假设在DD1上存在一点G，使CGEF，则CGEF，由于点G在z轴上，设G(0，0，z)，EF(0，12，13)，CG(0，1，z) CGEF，CGEF，即(0，1，z)(0，12，13)， 00，112，z13，解得2，z23. 由于z230，1，所以点G在线段DD1上，其坐标为(0，0，23)， 故在线段DD1上存在一点G，使CGEF，点G是DD1上靠近点D1的三等分点 19(本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥PABC中，PC底面ABC，且ACB90，ACBCCP2. (1)求二面角BAPC的余弦值； (2)求点C到平面PAB的距离 解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系 则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2) 易得面PAC的法向量为n n1(1，0，0)， PA(0，2，2)，PB(2，0，2)， n n2(x，y，z)为平面PAB的法向量， n n2PA0n n2PB0，即2y2z02x2z0. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 可取n n2(1，1，1) cosn n1，n n2n n1 1n n2|n n1|n n2|1333. 二面角BAPC的余弦值为33. (2)d|CAn n2|n n2|232 33， 点C到平面PAB的距离为2 33. 20(本小题满分 13 分) 已知在几何体ABCED中，ACB90，CE平面ABC，平面BCED为梯形，且ACCEBC4，DB1. (1)求异面直线DE与AB所成角的余弦值； (2)试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ，并说明理由 解：(1)由题知，CA，CB，CE两两垂直，以C为原点，以CA，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 则A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，1)，E(0，0，4)， DE(0，4，3)，AB(4，4，0)， cosDE，AB2 25， 异面直线DE与AB所成角的余弦值为2 25. (2)设满足题设的点Q存在，其坐标为(0，m，n)，则AQ(4，m，n)， BQ(0，m4，n)，EQ(0，m，n4)，QD(0，4m，1n) AQBQ，m(m4)n20， 点Q在ED上，存在R R(0)使得EQQD， (0，m，n4)(0，4m，1n)，m41， n41. 由得41216（1）2， 28160，解得4. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 m165，n85. 满足题设的点Q存在，其坐标为0，165，85.