资源描述
等差数列的前n项和一、设计理念1.教师是学生学习的组织者、促进者、合作者在本节课的导学过程中，教师应以学生现在的认知水平和认知结构，选取适当的有利于完成教学目标的教学方法，有利于使学生积极投入到学习活动中，并根据初三学生的年龄特点,精心创设情境，方法要合理多样.2 .学生是学习的主人在教师的指导下，通过学生主动的、富有个性的学习，学生用自己的亲身体验去感悟学习.在整个导学过程中，应保持学生的学习热情高涨，积极思考问题和参与问题的解决.激发学生的情感因素，调动积极性，做到课堂上人人参与，气氛和谐.二、教材地位与作用数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型.人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列.高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列.本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用.在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.等差数列的基本元表示；3.逆序相加求和.不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法.等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其他内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系. 三、教学目标 1.知识与技能掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和.2.过程与方法经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.情感、态度与价值观获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力. 四、教学重点、难点 重点：等差数列前n项和公式.难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.五、教法分析教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段.探索与发现公式推导的思路是教学的重点.如果直接介绍“逆序相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”.所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.应用公式也是教学的重点.为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成.具体体现为：1.引导法：采用“问题情境建立模型解析、讲解拓展与应用”的模式展开导学.2.情境教学法；充分联系生活，尽可能增加导学过程中的趣味性、实践性、利用媒体教学课件和实物模型等丰富学生的学习资源，让学生动手操作和自主参与.3.小组合作学习法：通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究.六、教学要求1.鼓励学生多角度、多方法地分析解决问题，培养学生的发散性思维，避免思维的单一性.2.形成实事求是的态度，形成敢于质疑、善于思考以及乐于合作的学习习惯.3.千方百计地调动学生参与课堂的积极性，让学生成为课堂的主人.七、学法分析建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系.在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力. 本班的学生是学校的中等班，在已具备了一些数列简单知识和具有一定分析能力的情况下，去进一步学习等差数列的前n项和的.这个班的学生，大多数对来源于实际生活的事例具有较高的兴趣，加上本班学生的个别学生思维较为活跃，一部分学生喜欢交流，合作探究问题，导学中应多通过学生的经验和亲身感受来发展思维，应极力推行在“做”中学与在“作”中学，并通过体验式的实验来调动学生的学习欲望.对于个别较为内向的和基础比较薄弱的学生，应在分组时予以特别关注，促使其积极发言.八、教学过程（一）创设问题情境课前给出复习：等差数列的定义、通项公式及性质（多媒体展示）教师说名称，请部分学生回答【设计意图】复习旧知识，引出问题，并用旧知识解决新问题做好准备泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下图），奢靡之程度，可见一斑.你知道这个图案一共花了多少宝石吗？【设计意图】源于历史，富有人文气息；图中算数，激发学习兴趣；承上启下，探讨高斯算法.情境问题：探究发现.学生叙述高斯首尾配对的方法：10岁的高斯用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=10150=5050.学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段.为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题. 问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项.通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和.进而提出有无简单的方法.【设计意图】借助几何图形之直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形.123212120191获得算法：.【设计说明】几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面.只有做到了直观上的理解，才是真正的理解.因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想. 问题2：求1到n的正整数之和.从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学生体验“逆序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进.（二）等差数列前n项和公式推导及公式：1.组织学生开展班内讨论问题3：如何求等差数列an的前n项和Sn.由于前面的铺垫，学生容易得出如下过程： ,.【设计意图】图形直观，水到渠成，学生容易理解，并且应用了等差数列的性质:如果，那么.【设计说明】方法1： 许多的教学设计在介绍“等差数列前n项和”教学时，先复习或介绍等差数列的性质，然后在此基础上采用逆序相加推导公式.方法2：数学第一册（上）（人民教育出版社）介绍的推导方法是先把等差数列用项（首项、尾项）、公差两个基本元表示，然后采用逆序相加推导公式.有观点认为方法1直接干脆，要比方法2好.我们之所以浓墨重彩引出方法2，绝不是一味迷信教材人云亦云，而是源于以下的考虑：方法1是以学生掌握了等差数列的性质（教材内容始终未出现，增加了学生的负担）为基础的，起点比较高，因而方法显得抽象一些，不容易被学生理解和信服.方法2的关键是等差数列的基本元表示只要给定首项（尾项）和公差就可以确定该等差数列，反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列的理解.而且方法仅以等差数列的定义为基础，乃是学生熟悉的背景知识，因而显得比较直观，令人信服.2.引导同学们总结（1）倒序相加法.（2）公式一:.（3）公式二:.【设计意图】一言而蔽之，数学教学应努力做到：以简驭繁，平实近人，返璞归真，循循善诱，引人入胜.（三）公式应用1.选用公式例1：某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：7500，8000,8500,9000,9500,10000,10500，这位长跑运动员7天共跑了多少米？【设计说明】本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和.达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的.通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算.【设计意图】直接应用公式，剖析公式中的基本量及结构特征，使学生有个初步的印象，重在学生对公式的识记.变式练习：数列满足：，求和.2.变用公式例2：等差数列10，6，2，2，的前多少项的和为54？【设计说明】本例已知首项，前n项和，并且可以求出公差，利用公式2求项数.事实上，在两个求和公式中各包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一. 【设计意图】公式的逆用，培养学生辩证的思维能力和提高学生的运算的能力.变式练习：在等差数列中，已知，求n.3.知三求二例3：在等差数列中，已知，求及.【设计说明】本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元.可以使用公式2，先求出首项，再使用通项公式求尾项.也可以使用公式1和通项公式，联立方程组求解.事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，联立方程组，就可求其余二个.【设计意图】深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识培养学生的创新意识.养成勤动手、动脑、善于总结、归纳的习惯，知识循序渐进.变式练习：等差数列中，求n和a1七、课堂小结1.回顾从特殊到一般的研究方法.2.体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法及数形结合的数学思想.3.掌握等差数列的两个求和公式及简单应用.八、作业布置A必做题：课本118页，练习、；习题3.3第题（、）.B选做题：在等差数列中，1.已知，求.2. 已知，求.【设计说明】必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用.根据我校的特点，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决问题的能力，我们设计了选做题，达到分层教学的目的.九、板书设计等差数列的前n项和1.复习等差数列通项公式： 2.公式的推导：3. 等差数列的前n项公式： 例题1：例题2：例题3：变式练习1（学生板演）变式练习2（学生板演）变式练习3（学生板演）十、教学反思1情境设置生活化本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步了解“数学来源于生活”， 采用历史故事的形式创设问题情境，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2问题探究活动化教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3辨析质疑结构化在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.4通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养 9 / 9
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