数学建模课题

马王堆汉墓入葬年代的测定问题 课题：马王堆汉墓在湖南省长沙市区东郊四千米处的浏阳河旁的马王堆乡，汉墓陈列馆现设在湖南省博物馆院内。1972年至1974年先后在长沙市区东郊浏阳河旁的马王堆乡挖掘出土。其中一号汉墓出土的女尸，形体完整，全身润泽，部分关节可以活动，软结蒂组织尚有弹性，几乎与新鲜尸体相似。它既不同于木乃伊，又不同于尸腊和泥炭鞣尸。是一具特殊类型的尸体，是防腐学上的奇迹，震惊世界，吸引不少学者、游人观光。一号汉墓出土的彩绘漆棺，色泽如新，棺面漆绘的流云漫卷，形态诡谲的动物和神怪，体态生动，活灵活现，具有很高的艺术水平。提出问题：长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中C14平均原子蜕变数为29.78次/分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中C-14原子蜕变数为38.37次/分钟。又知C-14的半衰期为5730年，试建立相应的数学模型来推断墓入葬的大致年代？相关知识背景：放射性物质的半衰期指放射性物质的原子数衰减一半所需要的时间。放射性物质衰变的速率是不受影响的，它总是和该元素当前的量成正比，运用碳14测定文物或化石年代的方法是基于下面的理由：（1） 宇宙射线不断轰击大气层，使大气层中产生碳14而同时碳14又不断衰变，从而大气层中碳14含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上是不变的。（2） 碳14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的碳14也处于动态平衡中，其含量在生物体中所占的百分比自古至今都是一样的 。（3） 动植物的尸体由于停止了从环境中摄取碳14，从而其体内碳14含量将由于衰变而不断减少，碳定年代法就是根据碳14的减少量来判断生物体的大致死亡时间。模型的假设（1） 为方便计算设每一百年的衰变率为k;（2） 马王堆一号墓从入葬到发掘经历的时间为q（百年）;（3） 碳14的半衰期为p(百年),p=57.3；（4） 马王堆一号墓入葬年代为T。模型建立：由于放射性物质衰变的速率是不受影响的，它总是和该元素当前的量成正比，因此可通过C14平均原子蜕变数为来反映元素当前的量。建立方程组如下： 其中p=57.3 【1】方程组中（2）式的获得是由于C-14的半衰期为5730年，即C-14经过5730年后元素的量变为原来的一半。模型求解：由于此方程组中未知数k,q分别处于幂的底数和指数的位置，可通过方程两边同时取对数进行转换。将方程组【1】简单化简得到 【2】将方程组【2】中的每个方程式两边同时取自然对数得到 将（1）（2）两式相除得到即利用普通计算器便可得到上式中q=20.95(百年)。即马王堆一号墓从入葬到发掘经历的时间为2095年;最后求解马王堆一号墓入葬年代T: 即马王堆一号墓入葬年代大约是公元前123年左右的西汉中期。模型验证：据马王堆汉墓相关资料的介绍可知马王堆汉墓大约葬于2100年前，这与模型求得的结论比较吻合。模型的推广与应用：此模型借助碳元素蜕变率的不同来求得古墓由入葬到出土时经历的时间，具有一定的推广性，可用来测定其它含碳元素的出土文物的入葬年代，如古墓、古字画，壁画等。推广公式，a1表示出土文物当时的碳14蜕变率，a2表示新砍伐烧成的木炭中C-14蜕变率。指导老师评价与建意：建模过程中的优点是宋守阳（08.29）同学在建模过程中巧妙地通过C14平均原子蜕变数为来反映元素当前的量，从而建立方程关系。在求解方程组的过程中又灵活运用了指数运算与对数运算的相互转化来求解q,体现了对所学指数及对数运算，指数函数等相关知识的灵活应用。需要改进的是模型建立时思维跨度比较大，通过通过C14平均原子蜕变数为来反映元素当前的量而建立的数学模型理解起来比较困难。模型改进： （1）设新烧成的木炭中C14的含量为a，出土的木炭标本中C14的含量为b，马王堆一号墓从入葬到发掘经历的时间为q年；(2)根据放射性物质衰变的速率是不受影响的，它总是和该元素当前的量成正比，设比例系数为k即有下列关系式：（1）又根据C-14的半衰期为5730年，即C-14经过5730年后碳元素的含量变为原来的一半。得到方程式。（*）将方程组（1）中的a,b分别用k表示出之后代入（*）式得到求解过程类似上述。后记：马王堆汉墓的入葬年代学生上网可查，这有利于学生自我检验所建模型的正确性，是学生解决问题的一个有利因素。但此课题的建模需要学生知道相关的化学知识：炭元素的衰变率、半衰期等，但学生很少有了解此相关化学知识的，因此由指导教师介绍相关的知识背景，以降低学生建模的难度。为让其他学生体会模型的应用，教师又给出了一个类似的课题让学生可做练习。1950年在巴比伦发掘出一刻有Hammurabi（汉莫拉比）王朝字样的木炭，经测定C-14衰减数为4.09个/(克*分钟)，新砍伐烧成的木炭中C-14衰减为6.68个/（克*分钟）；已知C-14的半衰期为5730年，由此可推出该王朝约存在多少年之前？ 附：为开阔学生视野，增长知识面，指导老师查阅了关于马王堆汉墓相关信息，剪辑整理成文后可供感兴趣的同学阅读。 课题完成者：宋守阳指导老师：房华5