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导数精选22道大题 1.已知二次函数，关于x的不等式的解集为，其中m为非零常数.设.(1)求a的值；(2)如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；(3)若m=1，且x0，求证：2.设，其中是常数，且（1）求函数的极值；（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立；（3）设，且，证明：对任意正数都有： 3.已知，且直线与曲线相切（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数 都有成立；（3） 求证：4.已知函数，函数是函数的导函数.（1）若，求的单调减区间；（2）若对任意，且，都有，求实数的取值范围；（3）在第（2）问求出的实数的范围内，若存在一个与有关的负数，使得对任意时 恒成立，求的最小值及相应的值.5.已知（，是常数），若对曲线上任意一点处的切线，恒成立，求的取值范围6.已知函数（I)若，是否存在a，bR，yf（x）为偶函数如果存在请举例并证明你的 结论，如果不存在，请说明理由；II）若a2，b1求函数在R上的单调区间；（III )对于给定的实数成立求a的取值范围.7.已知函数，函数的图象在点处的切线平行于轴（1）确定与的关系；（2）试讨论函数的单调性； （3）证明：对任意，都有成立。8.已知函数。（1）当a1时，使不等式，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，）上，函数f（x）的图象恒在直线y2ax的下方，求实数a的取值范围。9.若，其中（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）当时，若，恒成立，求的取值范围10.已知函数（）当在区间上的最大值和最小值；（）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围11.已知函数若为的极值点，求的值；若的图象在点处的切线方程为， 求在区间上的最大值； 求函数的单调区间12.已知函数，其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求f（x）的单调区间13.已知函数 , . （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间； （）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b的取值范围.14.设，函数（1）若，求函数在区间上的最大值；（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围15.已知函数在处的切线方程为.(1)求函数的解析式；(2)若关于的方程恰有两个不同的实根，求实数的值；(3)数列满足，求的整数部分.16.已知向量，（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直,（）求的值及的单调区间；（）已知函数 (为正实数),若对于任意，总存在， 使得，求实数的 取值范围17.已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围18.已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (I) 当时，求的单调区间；(II) 若在上的最大值为，求的值.19.已知函数，其中（）求的极值；（）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围20.已知函数的图象与的图象关于直线对称。() 若直线与的图像相切, 求实数的值；() 判断曲线与曲线公共点的个数. () 设，比较与的大小, 并说明理由. 21.设函数()当时，求曲线在处的切线方程；()当时，求函数的单调区间；()在（）的条件下，设函数，若对于，使成立， 求实数的取值范围. 22.已知函数（）若函数在上不是单调函数，求实数的取值范围；（）当时，讨论函数的零点个数参考答案1.（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：关于的不等式的解集为， 即不等式的解集为， . . . . 2分 (2)解法1:由(1)得.的定义域为. . 3分方程（*）的判别式. 4分当时，方程（*）的两个实根为 5分则时，；时，.函数在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值点. 6分 当时，由,得或， 若，则故时， 函数在上单调递增.函数没有极值点. 7分若时，则时，；时，；时，.函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值点，有极大值点. 8分综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点； 当时，函数有极小值点，有极大值点.9分(其中, )解法2:由(1)得.的定义域为. . 3分若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且至少有一个零点在上. 4分令,得, (*)则,(*) 5分方程（*）的两个实根为, .设,若,则,得,此时,取任意实数, (*)成立. 则时，；时，.函数在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值点. 6分 若,则得又由(*)解得或,故. 7分则时，；时，；时，.函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值点，有极大值点. 8分综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点； 当时，函数有极小值点，有极大值点.9分 (其中, )(2)证法1：， . . 10分令，则 .，11分 12分 . 13分，即. 14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式. 当时，左边，右边，不等式成立；10分 假设当N时，不等式成立，即， 则 11分 12分. 13分也就是说，当时，不等式也成立.由可得，对N，都成立. 14分2.解析：（1）， -1分由得，即，解得，-3分故当时，；当时，；当时，取极大值，但没有极小值-4分（2），又当时，令，则，故，因此原不等式化为，即， -6分令，则，由得：，解得，当时，；当时，故当时，取最小值， -8分令，则故，即因此，存在正数，使原不等式成立 -10分（3）对任意正数，存在实数使，则，原不等式， -14分由（1）恒成立，故，取，即得，即，故所证不等式成立 -14分3.解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 （*）， （*）由（*）、（*）两式，解得， 2分由整理，得，要使不等式恒成立，必须恒成立 设，当时，则是增函数，是增函数，5分因此，实数的取值范围是 6分（2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得因此，的最大值为 10分（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，即 11分令，得， 化简得， 13分 14分（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，根据（1）的推导有，时，即令，得，即因此，时不等式成立 11分（另解：，即）假设当时不等式成立，即，则当时,，要证时命题成立，即证，即证在不等式中，令，得 时命题也成立 13分根据数学归纳法，可得不等式对一切成立 14分【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识4.解：（1）当时， 1分 由解得 2分当时函数的单调减区间为；3分（2）易知依题意知 5分因为，所以，即实数的取值范围是 ；6分（3）解法一：易知，.显然，由（2）知抛物线的对称轴 7分当即时，且令解得 8分此时取较大的根，即 9分， 10分当即时，且令解得 11分此时取较小的根，即 12分， 当且仅当时取等号 13分由于，所以当时，取得最小值 14分解法二：对任意时，“恒成立”等价于“且”由（2）可知实数的取值范围是故的图象是开口向上，对称轴的抛物线7分当时，在区间上单调递增，要使最小，只需要8分若即时，无解若即时，9分解得（舍去） 或故（当且仅当时取等号）10分当时，在区间上单调递减，在递增， 则，11分要使最小，则即 12分解得（舍去）或（当且仅当时取等号）13分综上所述，当时，的最小值为. 14分5.解：依题意，1分，曲线在点处的切线为2分，即，所以3分直接计算得5分，直接计算得等价于7分记，则8分若，则由，得9分，且当时，当时，10分，所以在处取得极小值，从而也是最小值，即，从而恒成立11分。若，取，则且当时，单调递增12分，所以当时，与恒成立矛盾，所以13分，从而的取值范围为14分6.解：（）存在使为偶函数，（2分）证明如下：此时：， ，为偶函数。（4分）（注：也可以）（）=，（5分） 当时，在上为增函数。（6分） 当时，则，令得到， （）当时，在上为减函数。 （） 当时，在上为增函数。（8分）综上所述：的增区间为，减区间为。（9分）（）， ，成立。即：（10分）当时，为增函数或常数函数，当时 恒成立。 综上所述：（12分）当时，在0，1上为减函数， 恒成立。 综上所述：（13分）由得当时，； 当时，.（14分）7.解：（1）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：-3分（2）由（1）得-4分函数的定义域为 当时，在上恒成立，由得，由得，即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；-5分当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；-6分若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；-7分若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增，-8分综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增-9分（3）证法一：由（2）知当时，函数在单调递增，即，-11分令，则，-12分即- -14分【证法二：构造数列，使其前项和，则当时，- -11分显然也满足该式，故只需证-12分令，即证，记，则，在上单调递增，故，成立，即-14分】【证法三：令，则-10分令则，记-12分函数在单调递增，又即，数列单调递增，又，-14分】8.9.解：（1）当，时， （1分），当时， （2分）函数在上单调递增， （3分）故 （4分）（2）当时，f（x）在上增函数， （5分）故当时，； （6分）当时，（7分）（i）当即时，在区间上为增函数，当时，且此时； （8分）（ii）当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数， 故当时，且此时；（10分）（iii）当，即时，在区间1，e上为减函数，故当时，. （11分）综上所述，函数的在上的最小值为（12分）由得；由得无解；得无解； （13分）故所求的取值范围是 (14分)10.解：（I）当时， （2）对于,有,在区间上为增函数。，（5）（II）令，则的定义域为。（6）在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立。= （8）若，令，解得。当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即，同理可知，在区间上，有，也不合题意；（10）若时，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使0,在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是。（12）综合可知，当时，函数的图象恒在直线下方。 （13）11.是极值点，即或2 在上在上，又，解得由可知和是的极值点在区间上的最大值为8令，得当时，此时在单调递减当时： 0+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增当时：00+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减；时，在单调递减，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增12.（）解：当时， 2分由于，所以曲线在点处的切线方程是 4分（）解：， 6分 当时，令，解得 的单调递减区间为；单调递增区间为，8分当时，令，解得 ，或 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 10分 当时，为常值函数，不存在单调区间 11分 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为， 13分13.（）当时， 1分 .2分所以曲线在点处的切线方程.3分（）4分 当时，解，得，解，得所以函数的递增区间为，递减区间为在 5分x f(x)+-+f(x)增减增 时，令得或i）当时，函数的递增区间为，递减区间为7分ii）当时， 在上，在上 8分函数的递增区间为，递减区间为 9分（）由（）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，所以， 11分存在，使 即存在，使，方法一：只需函数在1，2上的最大值大于等于 所以有 即解得： 13分方法二：将 整理得 从而有 所以的取值范围是. 13分14.（1）当，时，（2分）Oayx作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为（4分）（2）（1分）当时，因为，所以，所以在上单调递增（3分）当时，因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减（5分）综上，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是（6分）（3）当时，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解（2分）当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解即（5分）令，在时是增函数，故（7分）所以，实数的取值范围是（8分）15.解: (1) ，1分依题设，有，即，2分解得3分 4分(2)方程，即，得， 5分记，则. 6分令，得 7分当变化时，、的变化情况如下表：当时，F(x)取极小值；当时，F(x)取极大值8分作出直线和函数的大致图象，可知当或时，它们有两个不同的交点，因此方程恰有两个不同的实根， 9分(3) ,得，又。， 10分由，得，11分 ，即12分又13分即，故的整数部分为 l4分16.解：（I）由已知可得：=，由已知， 2分所以 3分由，由的增区间为，减区间为 5分（II）对于任意，总存在， 使得， 6分由（I）知，当时，取得最大值.8分对于，其对称轴为当时， ，从而10分当时， ，从而12分综上可知： 13分 17.解：函数的定义域为， 1分（）当时，函数，所以曲线在点处的切线方程为，即3分（）函数的定义域为 （1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 4分（2）当时，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 7分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 8分（）因为存在一个使得，则，等价于.9分令，等价于“当 时，”. 对求导，得. 10分因为当时，所以在上单调递增. 12分所以，因此. 13分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当 时，. 9分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意. 10分（2）当时，令得.（）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，所以. 11分（）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.12分（）当，即时， 在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为. 13分18.解：（I）因为所以2分因为函数在处取得极值3分当时，随的变化情况如下表：00 极大值 极小值所以的单调递增区间为,单调递减区间为6分(II)因为令,7分因为在 处取得极值，所以当时，在上单调递增，在上单调递减所以在区间上的最大值为，令，解得9分当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得11分当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得，与矛盾12分当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 13分19.（）解：的定义域为， 1分且 2分 当时，故在上单调递减 从而没有极大值，也没有极小值 3分 当时，令，得 和的情况如下：故的单调减区间为；单调增区间为从而的极小值为；没有极大值 5分（）解：的定义域为，且 6分 当时，显然 ，从而在上单调递增 由（）得，此时在上单调递增，符合题意 8分 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意9分 当时，令，得和的情况如下表：当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意 11分当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意 综上，的取值范围是 1320.解：() 由题意知. 1分，设直线与相切与点 。4分() 证明曲线与曲线有唯一公共点，过程如下。，曲线与曲线只有唯一公共点.8分() 解法一：9分令。，且， 14分解法二：9分以为主元，并将其视为，构造函数，则，且 10分且，在上单调递增，当时，在上单调递增，当时， 10分 14分21.解：函数的定义域为， 2分()当时， 在处的切线方程为 5分() 所以当，或时，当时，故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为 8分()当时，由()知函数在区间上为增函数，所以函数在上的最小值为 若对于使成立在上的最小值不大于在1，2上的最小值（*） 10分又当时，在上为增函数，与（*）矛盾当时，由及得， 12分当时，在上为减函数， 此时综上所述，的取值范围是 14分22.解：（），由题意知方程有两个不同的实数解，解得因此，实数的取值范围是-6分（）， -7分设，因为，所以，故在上是增函数， -9分又，因此在内存在唯一的实数，使得， -11分因为在上市增函数，所以在内存在唯一的实数，使得与随的变化情况如下表：O极小值由上表可知，又，故的大致图象右图所示：所以函数在内只有一个零点 -15分
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