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球面距离的计算及其计算公式 在球面上,不在同一直径上的两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度,我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离(也叫球面上的短程线或测地线)如图1,A、B为球面上不在同一直径上的两点,为圆心,为过A、B的大圆,为过A、B的任一个小圆,我们把这两个圆画在同一个平面内(见图1)设,球半径为,半径为则有大圆弧长,小圆弧长 (1)但,即 (2)将(2)代入(1)得 (3) ,由(2)式知.由于,故只需证明函数在内为单调递减即可. ,当时,有) 在单调递减,由(3)式不难得到,即. 故大圆劣弧最短。 球面距离公式:设一个球面的半径为,球面上有两点、. 其中,为点的经度数,、为点的纬度数,过、两点的大圆劣弧所对的圆心角为,则有(弧度)A、B间的球面距离为: 证明:如图1,与分别为过A、B的纬度圈,过A、C的大圆,过、D的大圆分别为A、B的经度圈,而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直,作面,垂足位于上,连结、. 则在中,由余弦定理,得:故又,比较上述两式,化简整理得:,从而可证得关于与的两个式子. 计算球面距离的三种类型现行课本中,介绍了球面距离的概念,这方面的习题很多,同学们学习时普遍感到困难下面给出这类习题解答的示范,以供同学们参考1位于同一纬度线上两点的球面距离例1 已知,两地都位于北纬,又分别位于东经和,设地球半径为,求,的球面距离分析:要求两点,的球面距离,过,作大圆,根据弧长公式,关键要求圆心角的大小(见图1),而要求往往首先要求弦的长,即要求两点的球面距离,往往要先求这两点的直线距离解:作出直观图(见图2),设为球心,为北纬圈的圆心,连结,由于地轴平面与为纬度,为二面角的平面角(经度差)中,中,由余弦定理,中,由余弦定理:,的球面距离约为2位于同一经线上两点的球面距离例2 求东经线上,纬度分别为北纬和的两地,的球面距离(设地球半径为)解:经过两地的大圆就是已知经线,3位于不同经线,不同纬线上两点的球面距离例3 地位于北纬,东经,地位于北纬,东经,求,两地之间的球面距离(见图4)解: 设为球心,分别为北纬和北纬圈的圆心,连结,中,由纬度为知,,中,,注意到与是异面直线,它们的公垂线为,所成的角为经度差,利用异面直线上两点间的距离公式(为经度差)中,的球面距离约为3思维
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