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目录中文摘要i英文摘要ii1. 引言12. 预备知识13. 正项级数的两种常用判别法的强弱性比较14. 任意项级数的三种常用判别法的强弱性比较4致谢7参考文献8常用数项级数敛散性判别法的强弱性比较摘 要: 本文比较五种数项级数敛散性判别法的强弱性, 并给出相应的证明和反例, 其中五种数项级数敛散性判别法为: 柯西判别法、达朗贝尔判别法、阿贝尔判别法、狄立克莱判别法和莱布尼兹判别法.关键词: 数项级数; 敛散性; 判别法; 强弱性比较The Comparison of strength and weakness about Discriminance of Convergence and Divergence of Universal Number SeriesAbstract：In this paper, we compare the strength of five discriminance of convergence and divergence about number series, and give the corresponding proof and counter-examples, where five discriminance of convergence and divergence about number series are: Cauchy Discriminance, DAlembert Discriminance, Abel Discriminance, Dirichlet Discriminance and Leibniz Discriminance.Key words：Number series; Convergence and Divergence; Discriminance; Comparison of strength and weaknessii1引 言 数项级数敛散性判别法是研究数项级数中的一个重要而有趣的领域，是判断数项级数收敛的有效方法, 有广泛的应用, 见1-7. 关于数项级数敛散性判别法有很多种，我们可以选择不同的判别法来确定数项级数的敛散性. 在2中, 给出几种常用的数项级数的敛散性判别法, 其中有：比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、狄立克莱判别法、阿贝尔判别法、莱布尼兹判别法等. 对于一个给定的数项级数可用某些判别法确定之，而不能用另外一些判别法确定之，这就出现了数项级数敛散性判别法的强弱性. 本文就是比较这些判别法之间的敛散性的强弱性. 以便于运用判别法的有效选择. 对于数项级数中的正项级数的敛散性判别法的强弱性问题，常用的主要有比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法. 其中比较判别法是最强的, 因为柯西判别法、达朗贝尔判别法的证明就是依据比较判别法来证明的. 因此，本文只对柯西判别法、达朗贝尔判别法的强弱性进行比较. 对于任意项级数，主要有阿贝尔判别法、狄立克莱判别法和莱布尼兹判别法.它们都是多条件判别法，虽然各个条件分别各有其强弱性，但从狄立克莱判别法可以推导出阿贝尔判别法，从狄立克莱判别法也可以得到莱布尼兹判别法. 所以它们之间也有强弱性，本文给出强弱性结果和相应的证明与反例.2预备知识正项级数的比较判别法 若两个正项级数和之间成立着关系：存在常数0, 使(1, 2, 3, )或者自某项以后(即, 当时)成立以上关系, 那么:(i)当级数收敛时，级数亦收敛;(ii)当级数发散时，级数亦发散(证明略, 参见2）3正项级数的两种常用判别法的强弱性比较I.柯西(Cauchy)判别法 设为正项级数, 若从某一项起(即, 当时)成立着(为某确定的常数), 则级数收敛; 若从某一项起成立着, 则级数发散.证明 若当时, 成立, 则有. 由于级数是收敛的, 根据比较判别法得级数收敛. 若当时, , 则有. 从而级数的一般项不趋于0, 故级数发散.这个判别法也可以写成极限形式： 对于正项级数, 设, 那么当时, 此级数必为收敛级数; 当, 此级数必为发散级数; 当时, 此级数的敛散性须进一步判定. (参见2)II.达朗贝尔(DAlembert)判别法 设为正项级数, 若从某一项起 (即, 当时)成立着(为某一确定的常数), 则级数收敛, 若从某一项起, , 则级数发散.证明 若当时, 成立, 则有. 故.由于级数是收敛的, 根据比较判别法有级数收敛. 若当时, 成立, 即, 则.又因, 则. 故不趋于0. 所以级数发散.这个判别法也可以写成极限形式：对于正项级数, 当时, 级数收敛; 当时, 级数发散; 而当或者时, 级数的敛散性须进一步判定. (参见2)定理1柯西判别法强于达朗贝尔判别法. 即对于正项级数, 能用达朗贝尔判别法确定其敛散性, 则必可用柯西判别法确定之.证明 这里只须证明:.而这里只证明第一个不等式, 第二个不等式恒成立, 第三个不等式类似于第一个不等式的证明. 令, 任取, 使得, 则存在, 当时, 有, 即, 故 .所以, 即. 所以 .由于此式对一切均成立. 故 .定理得证.注1 对于给定的正项级数, 能用柯西判别法确定其敛散性, 未必能用达朗贝尔判别法确定之. 下举一例子说明.例1 设级数, 分别用柯西判别法和达朗贝尔判别法判断该级数的敛散性.解: 先用柯西判别法判别其敛散性.由于, 又因. 故.即.由柯西判别法得, 级数收敛. 但 .所以, , 故不能用达朗贝尔判别法判断其敛散性.4 任意项级数的三种常用判别法的强弱性比较III.阿贝尔(Abel)判别法 如果：(i)级数收敛;(ii)数列单调有界， (1, 2, 3, ).则级数收敛.（证明略，参见2）IV.狄立克莱(Dirichlet)判别法 如果：(i)级数的部分和有界， (1, 2, 3, )；(ii)数列单调趋于零.则级数收敛.（证明略, 参见2）V.莱布尼兹(Leibniz)判别法 如果一个交错级数的项满足以下两个条件:(i)单调减少 (1, 2, 3, );(ii).则级数收敛. （证明略, 参见2）定理2 狄立克莱判别法强于阿贝尔判别法. 即凡能用阿贝尔判别法确定其敛散性的数项级数, 必可用狄立克莱判别法确定之.证明：由阿贝尔判别法的假设条件（ii）可知, 数列的极限存在，设此极限为，则 .由阿贝尔判别法的条件（i）可知, 级数收敛. 所以级数部分和有界，即存在, 使(1, 2, 3, ). 因单调趋于0. 由狄立克莱判别法知, 级数收敛. 又因级数收敛, 所以级数收敛. 定理得证.注2 对于给定的数项级数, 能用狄立克莱判别法确定其敛散性. 该数项级数未必能用阿贝尔判别法确定之. 下举一例子说明.例2 设级数, 分别用狄立克莱判别法和阿贝尔判别法判断其敛散性.解：因 (2, 3, 4, )由积化和差公式: , 得.所以(2, 3, 4, ). 又因时, 单调趋于0，故由狄立克莱判别法知级数收敛. 但由于不收敛于0. 由收敛级数的项必定趋于0, 可以得到级数不收敛. 所以不能用阿贝尔判别法判断级数的敛散性.定理3 狄立克莱判别法强于莱布尼兹判别法, 即凡能用莱布尼兹判别法确定其敛散性的数项级数, 必可用狄立克莱判别法确定之.证明 对于数项级数满足莱布尼兹判别法的两个条件, 可根据狄立克莱判别法证明其收敛. 如下:令, (1, 2, 3, ). 因为 (1, 2, 3, )且. 所以数列单调趋于0. 又因, 令, 则, 有界. 所以, 由狄立克莱判别法知级数收敛. 即级数收敛. 定理得证.注3 对于给定的任意项级数, 能用狄立克莱判别法确定其敛散性. 该级数未必能用莱布尼兹判别法确定之. 例如: 例2中级数能用狄立克莱判别法确定其敛散性, 但由于该级数不是交错级数, 显然不能用莱布尼兹判别法确定之. 其实, 莱布尼兹判别法可以作为狄立克莱判别法的一个特殊情况. 因为, 对于狄立克莱判别法中的级数, 令, , 由数列单调趋于零, 可得到: (i)单调减少(充分大时); (ii). 就是莱布尼兹判别法了. 参考文献1 汪林, 戴正德, 杨富春, 郑喜印编. 数学分析问题研究与评注. 北京: 科学出版社. 1995.2 复旦大学数学系陈传璋编. 数学分析(第二版). 北京: 高等教育出版社. 2005.3 许绍溥, 姜东平, 宋国柱, 任福贤编. 数学分析教程. 南京: 南京大学出版社. 2000.4 汪林编. 数学分析中的问题和反例. 昆明: 云南科技出版社. 1990.5 云南大学教务处编. 2006云南大学本科生优秀毕业论文(设计)集粹(理科). 昆明: 云南民族大学印刷厂印制. 2006.6 杨钟玄. 关于正项级数敛散性判别法及其联系. 天水师专学报. 1999, 第19卷(47期): 8083.7 钱志良. 对Abel和Dirichlet判别法的扩充. 常州信息职业技术学院学报. 2004, 第3卷(3期): 4142.7
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