布朗运动的理论分析与蒙特卡罗模拟

布朗运动的理论分析与蒙特卡罗模拟 徐建强卢氏县第一高级中学 472200摘要：本文简要给出布朗运动的郎之万理论，利用蒙特卡罗方法中的随机游走理论，通过Matlab编程.直观、形象地模拟了三维空间布郎运动，同时计算了布朗粒子位移平方的平均值与时间的关系，其结果与理论分析一致。 关键词：布朗运动；蒙特卡罗方法；Matlab 中图分类号：O552.11 引言1827 年,苏格兰植物学家布朗在显微镜下观察到花粉在水中作无规则运动,并发现其它悬浮微粒也不停息地作无规则运动。微粒在流体介质中这种随机的连续运动,称为布朗运动;该微粒可以叫做布朗粒子。布朗运动发现之后50 年内,其实质一直不为人知。1877 年,德索耳提出,微粒受到周围媒质分子不平衡的碰撞是产生布朗运动的原因。1905 年爱因斯坦发表了关于布朗运动的论文,并被普遍接受。随后斯莫陆绰斯基(1906 年) 、朗之万(1908年) 都发表了各自关于布朗运动的理论,证明布朗粒子位移平方的平均值正比于时间。 1现在对布朗运动二维可视化研究已很多，本文着重从三维立体空间实现布朗运动的可视化。2 理论分析由郎之万方程： （1）F(t)为涨落力，为斯托克斯公式，a为颗粒（看作小球）半径，为粘滞系数。对（1）式两边乘x得 （2）将（2）式对大量颗粒求平均，即把各布郎粒子的运动方程相加然后用粒子数去除。因F(t)的平均值为零，并对（2）式第二项应用能量均分定理，经整理可得 （3）式（3）是的二阶常系数线性非齐次微分方程，通解为 （4）经过近似处理，并假设所有粒子在t=0时都处在x=0处，则C2=0.因此得 （5）（5）式表明位移平方的平均值与时间成正比，正是理论结论。3 蒙特卡罗方法模拟布郎运动3.1蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte-Carlo）方法是利用连续产生的无规数求解的一种计算方法。蒙特卡罗方法在物理工程中有着广泛的应用，例如对于分子运动学，粒子输运现象，布朗运动，放射性衰变等现象，由于问题本身有一定的无规性，同时又具有一定的统计规律性，用这个方法很合适。2布朗运动本身不仅为分子运动论提供了有力的实验证据, 同时发展成为随机过程研究的一个重要分支.蒙特卡罗中随机行走就是采用伪随机数发生器所产生的伪随机数序列对布朗运动这一类物理过程作计算机仿真的方法.为简化起见，我们研究具有代表性的二维随机行走。设一醉汉从原点出发行走N步, 每一步所行的方向与其前一步的方向完全无关具有随机性,每步的步长则在指定的区间里涨落。这样，各步在x方向和y方向的位移分别为， ， （6）在行走N步之后, 行走者所在位置与原点的距离R就有如下的关系: （7）只要行走是真正随机的, 则行走者向前后左右行走的概率是一样的, 走了相当多的步数之后, 上式中的交叉项就相互抵消, 于是得到: （8）于是有: （9）其中r为步长。从此式可以看出当步长一定的时候，R2与步数n成正比。对于该式成立的条件是n足够大。33.2计算机模拟为了直观在此模拟三维空间中布朗运动，图1为空间中任意一点，坐标图示，图1空间点坐标表示图示用极坐标表示则，为了让这些布朗粒子动起来，我们需要给出运动的方向和步长。这里我们选择步长ss=2（r=2），定义两个角b=theta1, a=theta2并在极坐标下通过随机数产生函数给出分子随机的运动方向，之后再回到笛卡儿坐标系中换算出每个布朗分子位置的x、y，z分量。利用蒙特卡罗中随机游走模仿布朗粒子运动。为了增加立体感这里我们将通过计算机模拟200个分子在三维空间内的随机运动情况，在Matlab中定义一个2003的矩阵来存放这些布朗粒子的位置。其中每一行代表一个分子，第一列存放位置的x分量，类似的第二列存放其y分量，第三列存放其z分量。首先模拟200个布郎粒子的运动，然后跟踪一个粒子的运动，并记录运动路径。相应的Matlab程序段如下：rand(state,sum(100*clock); %产生随机数ns=200; %设定时间np=200; %分子总数ss=2; %设定步长sl=zeros(np,3);for a=1:ns for c=1:np theta1=rand*2*pi; %定义theta1的范围 theta2=rand*pi; sl(c,1)=sl(c,1)+(ss*cos(theta1)*sin(theta2); %求x分量 if sl(c,1)20 sl(c,1)=sl(c,1)-2*(ss*cos(theta1)*sin(theta2); end if sl(c,1)20 sl(c,2)=sl(c,2)-2*(ss*sin(theta1)*sin(theta2); end if sl(c,2)20 sl(c,3)=sl(c,3)-2*ss*cos(theta2); end if sl(c,3)-20 sl(c,3)=sl(c,3)-2*ss*cos(theta2); end end plot3(sl(:,1),sl(:,2),sl(:,3),.r) axis(-20 20 -20 20 -20 20) title(布朗运动动态演示,fontsize,10,color,k) xlabel(x); ylabel(y); zlabel(z); grid on pause(0.001) rt(a,:)=(sl(1,1),sl(1,2),sl(1,3)end%跟踪单个布朗粒子的运动情况m=1;figure %新开一个窗口while m=nsaxis(-20 20 -20 20 -20 20)plot3(rt(m,1),rt(m,2),rt(m,3).)title(单个布朗粒子运动动态过程,fontsize,10,color,k)xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z)grid onhold onpause(0.05)m=m+1endfigureaxis(-20 20 -20 20 -20 20)plot3(rt(:,1),rt(:,2),rt(:,3), rt(:,1),rt(:,2),rt(:,3),.r)title(单个布朗粒子运动路径,fontsize,10,color,k)xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z)；grid on运行结果如下：图1 布郎运动动态演示图2跟踪单个布郎粒子运动动态过程图3跟踪布郎粒子运动路径图1为200个布朗分子最终运动所在空间的位置，可以得出布郎粒子已均匀分布在空间内，图2为跟踪的一个布朗粒子在200秒时间内扩散所经过的位置，图3为跟踪的一个布朗粒子运动的路径，从结果可看出，布郎粒子的运动具有随机性，不成某种趋势分布，图3结果与参考书目45提供资料布郎粒子分布结构相同，从而解决了布郎运动经典实验的困难。理论知布朗粒子位移平方的平均值正比于时间t，那么对于本次模拟是否也符合呢？模拟结果如下： 图4布朗粒子位移平方的平均值正比于时间t从图4可知本次模拟在误差范围内符合理论要求。以上说明用随机有走理论模拟布郎运动具有很好的物理意义。4 结论利用蒙特卡罗理论通过Matlab编程形象模拟了三维空间布郎运动，使微小世界可视化。解决了在经典的布朗运动实验设计中, 由于观察和记录的困难, 造成实验结果误差较大的缺陷。同时计算布朗粒子位移平方的平均值与时间的关系结果表明与理论吻合。在此强调本次模拟规定了步长，没有考虑如流体的粘滞系数和悬浮微粒半径等因素所以为定性。本文的研究方法适合为学生更好的理解布郎运动。参考文献：1汪志诚.热力学统计物理M.北京：高等教育出版社第三版,2003:4122马文淦.计算物理学M. 北京：科学出版社,2006:143王莱.布朗运动和随机行走的计算机仿真J.工科物理,1998,(6):464程守洙、江之水.普通物理学（1）M.北京：高等教育出版社第五版,2005：2715秦允豪.热学M.北京: 高等教育出版社第二版,2004:23On analysis and simulation of brownian motion by monte carlo methodAbstract: The langevin theory is brief introduced in this paper. According to Monte Carlos random walk theory , the computer simulation of brownian motion in the three-dimensional space is brief given by means of Matlab program and the relation between the mean value of square of displacement and time is computed ,which is consistent with therotic analyse.Keywords: Brownian motion; Monte carlo method; Matlab