【备考】高考数学 （真题模拟新题分类汇编） 计数原理 理

计数原理J1基本计数原理5J12013福建卷 满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14B13C12D105B解析 当a0时，2xb0x，有序数对(0，b)有4个；当a0时，44ab0ab1，有序数对(1，b)有4个，(1，b)有3个，(2，b)有2个，综上共有443213个，故选B.12J12013北京卷 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_1296解析 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A种方法，所以不同的分法种数是4A96.14J1、J22013全国卷 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)14480解析 先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA2420480种22A1、A2，J12013重庆卷 对正整数n，记In1，2，n，Pn.(1)求集合P7中元素的个数；(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并22解：(1)当k4时，mI7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为77346.(2)先证：当n15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使ABPnIn.不妨设1A，则因1322，故3A，即3B.同理6A，10B，又推得15A，但11542，这与A为稀疏集矛盾再证P14符合要求，当k1时，mI14I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A11，2，4，6，9，11，13，B13，5，7，8，10，12，14，则A1，B1为稀疏集，且A1B1I14.当k4时，集mI14中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2，B2.当k9时，集mI14中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A3，B3.最后，集CmI14，kI14，且k1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令AA1A2A3C，BB1B2B3，则A和B是不相交的稀疏集，且ABP14.综上，所求n的最大值为14.注：对P14的分拆方法不是唯一的J2排列、组合8J22013辽宁卷 执行如图所示的程序框图，若输入n10，则输出S()图12A. B. C. D.8A解析 由程序框图可以得到S，故选A.14J1、J22013全国卷 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)14480解析 先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA2420480种10J22013山东卷 用0，1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D27910B解析 (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有998 648(个)没有重复数字的三位数可以组成所有三位数的个数：91010900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900648252.8J22013四川卷 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数是()A9 B10 C18 D208C解析 从1，3，5，7，9中，每次取出两个不同的数作为a，b可以得到不同的差式lg alg b共计A20个，但其中lg 9lg 3lg 3lg 1，lg 3lg 9lg 1lg 3，故不同的值只有18个14K2，J22013新课标全国卷 从n个正整数1，2，3，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n_148解析 和为5的只有两种情况，14，23，故C28n8.14J22013浙江卷 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)14480解析 先在6个位置找3个位置，有C种情况，A，B均在C的同侧，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F有A种情况，故共有4CA480种13J22013重庆卷 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)13590解析 从12名医生中选出5名的选法有C792种，其中只不选骨科医生的选法有C1125种；只不选脑外科医生的选法有C155种；只不选内科医生的选法有C21种；同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种，故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数有792(12555211)590.J3二项式定理9J32013新课标全国卷 设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则 m()A5 B6 C7 D89B解析 (x2y)2m展开式的二项式系数的最大值是C，即aC；(x2y)2m1展开式的二项式系数的最大值是C，即bC，13a7b，13C7C，137，易得m6.11J32013安徽卷 若x8的展开式中x4的系数为7，则实数a_.11.解析 二项式展开式的通项为Tr1Carx8r，令8r4，可得r3，故Ca37，解得a.15B13，J3，M12013福建卷 当xR，|x|0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为()A20 B20 C15 D158A解析 由已知表达式可得：ff(x)6，展开式的通项为Tr1C6r()rC(1)rxr3，令r30，可得r3，所以常数项为T4C20.11J32013四川卷 二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)1110解析 根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为C10.10J32013天津卷 x6的二项展开式中的常数项为_1015解析 由二项式的展开式得Tk1Cx6k(1)kCx6k，令6k0，解之得k4，T5(1)4C15.5J32013新课标全国卷 已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4 B3 C2 D15D解析 已知(1x)(1x)5的展开式中，x2的系数为CaC 5，则a1，故选D.11J32013浙江卷 设二项式5的展开式中常数项为A，则A_1110解析 Tr1Cx(1)rx(1)rCx，则0，r3，故常数项AT4(1)3C10.J4单元综合23J42013江苏卷 设数列an：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，(1)k1k，(1)k1k，k个，即当n(kN*)时，an(1)k1k.记Sna1a2an(nN*)对于lN*，定义集合Pln|Sn是an的整数倍，nN*，且1nl(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2 000中元素的个数23解：(1)由数列an的定义得a11，a22，a32，a43，a53，a63，a74，a84，a94，a104，a115，所以S11，S21，S33，S40，S53，S66，S72，S82，S96，S1010，S115，从而S1a1，S40a4，S5a5，S62a6，S11a11，所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证：Si(2i1)i(2i1)(iN*)事实上，当i1时，Si(2i1)S33，i(2i1)3，故原等式成立；假设im时成立，即Sm(2m1)m(2m1)，则im1时，S(m1)(2m3)Sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)4m3(2m25m3)(m1)(2m3)综合可得Si(2i1)i(2i1)于是S(i1)(2i1)Si(2i1)(2i1)2i(2i1)(2i1)2(2i1)(i1)由上可知Si(2i1)是2i1的倍数，而ai(2i1)j2i1(j1，2，2i1)，所以Si(2i1)jSi(2i1)j(2i1)是ai(2i1)j(j1，2，2i1)的倍数，又S(i1)(2i1)(i1)(2i1)不是2i2的倍数而a(i1)(2i1)j(2i2)(j1，2，2i2)，所以S(i1)(2i1)jS(i1)(2i1)j(2i2)(2i1)(i1)j(2i2)不是a(i1)(2i1)j(j1，2，2i2)的倍数，故当li(2i1)时，集合Pl中元素的个数为13(2i1)i2，于是，当li(2i1)j(1j2i1)时，集合Pl中元素的个数为i2j.又2 00031(2311)47.故集合P2 000中元素的个数为312471 008.12013安徽示范名校联考 如图K371所示，ABC是一个边长为3的正三角形，若在每一边的两个三等分点中，各随机选取一点连成三角形下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)依此方法可能连成的三角形一共有8个；这些可能连成的三角形中，恰有2个是锐角三角形；这些可能连成的三角形中，恰有3个是直角三角形；这些可能连成的三角形中，恰有3个是钝角三角形；这些可能连成的三角形中，恰有2个是正三角形1解析 如图所示编号，边长为3，则选取三角形的边长为1，或2三种之一；每边各选1点，三角形共CCC8个；锐角三角形只有DHF和IGE两个；直角三角形有6个(满足12)；没有钝角三角形；两个正三角形DHF和IGE(边长为)故选.22013湖南师大附中月考 的展开式中，系数最大的项为第_项23或5解析 的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大32013郑州质检 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是()A12 B18C24 D483C解析 分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有A种方法；A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A种方法；考虑A与戊机的排法有A种方法可知共有AAA24种不同的着舰方法42013皖南八校联考 “2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为()A18 B24C27 D364A解析 由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2CCC18个52013肇庆期末统考 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是()A0 B2C4 D65B解析 二项展开式的通项为Tr1Cr10()10rCr10(1)rx，若展开式中含x的正整数指数幂，即(5r)N*，且0r10，rN，所以r2或0.所以一共有两项，故选B.62013三门峡一练 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法种数为_(用数字作答)696解析 第一步，A程序有C种不同安排方法，第二步，将B和C看成一个程序与其他3个程序有A种不同安排方法，第三步，安排B和C的顺序，有A种不同的方法，根据分步计数原理，则不同的安排方法共有CAA96种- 7 -