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方法技巧5离散型随机变量的应用【考情快递】 主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差的应用，常以解答题形式出现方法1：公式法解题步骤直接用公式计算离散型随机变量的分布列、期望与方差适用情况适用于可直接用公式求解的问题.【例1】(2012黄冈中学月考)某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，并进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案，参加者每次从盒中抽取两张卡片，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是.求抽奖者获奖的概率；(2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及E()，D()解(1)设“世博会会徽”卡有n张，由，得n6，故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为.(2)由题意知，符合二项分布，且B，故的分布列为P(k)Ck4k(k0,1,2,3,4)或01234P4C3C22C34由的分布列知，E()4，D()4.方法2：方程法解题步骤 利用题干条件列方程；利用方程计算概率问题适用情况适用于基本事件的个数可以用集合理论来说明的问题.【例2】某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品(1)求一个零件经过检测，为合格品的概率是多少？(2)依次任意抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？(3)依次任意抽取该零件4个，设表示其中合格品的个数，求E与D.解(1)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，由题意得：解得或所以PP1P2，即一个零件经过检测，为合格品的概率为.(2)任意抽出5个零件进行检测，其中至多3个零件是合格品的概率为1C5C5.(3)依题意知B，故E()42，D()41.方法运用训练51(2011雅礼中学英特班质检)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止设X表示游戏终止时掷硬币的次数(1)求X的取值范围；(2)求X的数学期望E(X)解(1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则可得：当m5，n0或m0，n5时，x5.当m6，n1或m1，n6时，X7.当m7，n2或m2，n7时，X9.所以X的所有可能取值为：5,7,9.(2)P(X5)25；P(X7)2C7；P(X9)1；E(X)579.2甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数的分布列与期望E()解令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)P(B1C2A3).(2)的所有可能值为2,3,4,5,6，且P(2)P(A1A2)P(B1B2)，P(3)P(A1C2C3)P(B1C2C3)，P(4)P(A1C2B3B4)P(B1C2A3A4)，P(5)P(A1C2B3A4A5)P(B1C2A3B4B5)，P(6)P(A1C2B3A4C5)P(B1C2A3B4C5)，故有分布列23456P从而E()23456(局)3在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345P0.03P1P2P3P4(1)求q2的值；(2)求随机变量的数学期望E()；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小解(1)设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A)0.25，P()0.75，P(B)q2，P()1q2.根据分布列知0时，P( )P()P()P()0.75(1q2)20.03，所以1q20.2，q20.8.(2)当2时，P1P(B B)P(B)P(B)P()P(B)P()P()P()P(B)0.75q2(1q2)21.5q2(1q2)0.24.当3时，P2P(A )P(A)P()P()0.25(1q2)20.01，当4时，P3P(BB)P()P(B)P(B)0.75q0.48，当5时，P4P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P()P(B)P(A)P(B)0.25q2(1q2)0.25q20.24，所以随机变量的分布列为02345P0.030.240.010.480.24随机变量的数学期望E()00.0320.2430.0140.4850.243.63.(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBBBBB)P(BB)P(BB)P(BB)2(1q2)qq0.896；该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.480.240.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大4(2011效实中学1次月考)一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)若袋中共有10个球，求白球的个数；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望E()(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于.并指出袋中哪种颜色的球个数最少(1)解记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)1，得到x5.故白球有5个随机变量的取值为0,1,2,3，由于P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，的分布列是0123P的数学期望E()0123.(2)证明设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得yn，由2yn,2yn1，所以.记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则P(B).所以白球的个数比黑球多，白球个数多于n，红球的个数少于.故袋中红球个数最少6
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