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第九章 直线、平面、简单几何体四 简单的几何体与球【考点阐述】多面体正多面体棱柱棱锥球【考试要求】（8）了解多面体、凸多面体的概念了解正多面体的概念（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图。（11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式【考题分类】（一）选择题（共12题）1.（北京卷理8）如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），则四面体PE的体积（）与，都有关 （）与有关，与，无关（）与有关，与，无关 （）与有关，与，无关【答案】D解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，的面积永远不变，为面面积的，而当点变化时，它到面的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。2.（北京卷文8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；3.（福建卷理6）如图,若是长方体被平面截去几何体- 2 - / 12后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是（ ）A. B.四边形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台【答案】D【解析】因为，所以，又平面，所以平面，又平面，平面平面=，所以，故，所以选项A、C正确；因为平面，所以平面，又平面， 故，所以选项B也正确，故选D。【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。4.（江西卷理10）过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,所成的角都相等，这样的直线L可以作A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 5.（江西卷文11）如图，M是正方体的棱的中点，给出下列命题过M点有且只有一条直线与直线、都相交；过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；过M点有且只有一个平面与直线、都相交；过M点有且只有一个平面与直线、都平行. 其中真命题是：A B C D 【答案】C【解析】考查立体几何图形中相交平行垂直性质6.（辽宁卷理12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 (A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,）7.（辽宁卷文11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为8.（全国卷理12文12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 【答案】.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.9.（全国新卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) (B) (C) (D) 【答案】B 解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知，所以球的半径满足：，故10.（全国新卷文7）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2【答案】B 解析：根据题意球的半径满足，所以11（全国卷理9）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） （C）2 （D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.12.（四川卷理11文12）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（A） （B） （C） （D）解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBAC cosBAC连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC，同理AN，且MNCD而ACR,CDR故MN：CDAN:AC MN，连结OM、ON，有OMONR于是cosMON所以M、N两点间的球面距离是答案：A（二）填空题（共8题）1.（湖北卷理13文14）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm【答案】4【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.2.（江西卷理16）如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 。【答案】 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。3.（江西卷文16）长方体的顶点均在同一个球面上，则，两点间的球面距离为 .【答案】【解析】考查球面距离，可先利用长方体三边长求出球半径，在三角形中求出球心角，再利用球面距离公式得出答案4.（全国卷理16文16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 【答案】3 【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，所以，由球的截面性质，有，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得， 5.（上海卷理12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为6.（上海卷文6）.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。解析：考查棱锥体积公式7.（上海春卷10）各棱长为1的正四棱锥的体积V=_。答案：解析：由题知斜高，则，故。8.（上海春卷13） 在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=_cm2。答案：解析：将侧面展开可得。（三）解答题（共3题）1.（上海卷理21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）解析: 2.（上海卷文21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.3.（上海春卷21）已知地球半径约为6371千米。上海的位置约为东经121、北纬31，大连的位置约为东经121、北纬39，里斯本的位置约为西经10、北纬39。若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米） 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
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