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第十五章 新增内容和创新题目二、几何证明【考题分类】（一）填空题（共9题）1.（北京卷理12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD AE，AB4, BC2, AD3,则DE ；CE 。【答案】5，解析：首先由割线定理不难知道，于是，又，故为直径，因此，由勾股定理可知，故2.（广东卷理14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，OAP=30，则CP_.【答案】【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知， .在中，.由相交线定理知，即，所以 3.（广东卷文14）如图3，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= .解：连结DE，可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半， EF=.4.（湖南卷理10）如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A，B两点，已知- 1 - / 5PA2，点P到的切线长PT 4，则弦AB的长为_.【答案】6【解析】根据切线长定理所以【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理，属容易题。5. （湖北卷理15）设a0,b0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。【答案】CD CE【解析】在RtADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.6.（陕西卷理15B）如图，已知RtABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则 【解析】（方法一）易知，又由切割线定理得，.于是，.故所求.（方法二）连，易知是斜边上的高，由射影定理得，.故所求.【试题评析】本题主要考查平面几何中的直线与圆的综合，要注意有关定理的灵活运用.7.（陕西卷文15B）如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD cm.【答案】 cm【解析】易知，又由切割线定理得，.8.（天津卷理14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为 。【答案】【解析】因为ABCD四点共圆，所以PCB，CDA=PBC，因为P为公共角，所以，所以，设PC=x，PB=y，则有，即，所以=。【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。9.（天津卷文11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则的值为 。【答案】【解析】因为ABCD四点共圆，所以PCB，CDA=PBC，因为P为公共角，所以，所以，所以=。【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。（二）解答题（共3题）1.（江苏卷21）AB是O的直径，D为O上一点，过点D作O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC 解析 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结OD，则：ODDC， 又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=300，DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）证明：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以ADB=900，AB=2 OB。因为DC 是圆O的切线，所以CDO=900。又因为DA=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。2.（辽宁卷理22）如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（I）证明：（II）若的面积，求的大小。3.（全国新卷理22文22）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：（）=。（）=BE CD。解：（I）因为,所以.又因为与圆相切于点，故，所以.（II）因为,所以，故，即. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
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