高考数学（理）一轮规范练【50】椭圆（含答案）

课时规范练50椭圆课时规范练第76页一、选择题1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为() A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:由题意知a=13,c=5,b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程为=1.2.设F1,F2是椭圆E:=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.答案:C解析:设直线x=与x轴交于点M,则PF2M=60,在RtPF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos60=,解得,故离心率e=.3.已知F1,F2是椭圆=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.3答案:A解析:根据椭圆定义,知AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.4.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:B解析:点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径,|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.5.设椭圆=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1,F2,P为这两条曲线的一个交点,则cosF1PF2的值为()A.B.C.D.-答案:B解析:由题意可知m-2=3+1,解得m=6.由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2).由题意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,|F1F2|=4,解得|PF1|=,|PF2|=.由余弦定理可得cosF1PF2=.6.设椭圆=1(ab0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在()A.圆x2+y2=2上B.圆x2+y2=2内C.圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能答案:B解析:由题意知e=(x1+x2)2-2x1x2=+1=2-)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.答案:解析:如图所示,设椭圆右焦点为F1,AB与x轴交于点H,则|AF|=2a-|AF1|,ABF的周长为2|AF|+2|AH|=2(2a-|AF1|+|AH|),AF1H为直角三角形,|AF1|AH|,仅当|AF1|=|AH|,即F1与H重合时,AFB的周长最大,即最大周长为2(|AF|+|AF1|)=4a=12,a=3.而b=,c=2,离心率e=.三、解答题10.如图所示,椭圆=1(ab0)的离心率e=,左焦点为F,A,B,C为其三个顶点,直线CF与AB交于D点,求tanBDC的值.解:由e=.由图知tanDBC=tanABO=,tanDCB=tanFCO=.tanBDC=-tan(DBC+DCB)=-=-3.11.已知椭圆C:=1(ab0)的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为b.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.解:(1)由点F(-ae,0),点A(0,b),及b=a得直线FA的方程为=1,即x-ey+ae=0.原点O到直线FA的距离b=ae,a=ea.解得e=.(2)(方法一)设椭圆C的左焦点F关于直线l:2x+y=0的对称点为P(x0,y0),则有解得x0=a,y0=a.P在圆x2+y2=4上,=4.a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故椭圆C的方程为=1,点P的坐标为.(方法二)F关于直线l的对称点P在圆O上,又直线l:2x+y=0经过圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),F也在圆O上.从而+02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故椭圆C的方程为=1.F(-2,0)与P(x0,y0)关于直线l对称,解得x0=,y0=.故点P的坐标为.12.(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.解:(1)设椭圆C的方程为=1(ab0),由题意知解得a=,b=1.因此椭圆C的方程为+y2=1.(2)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意-m0或0m0,所以t=2或t=.当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+h.将其代入椭圆的方程+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由判别式0可得1+2k2h2,此时x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2h=,所以|AB|=2.因为点O到直线AB的距离d=,所以SAOB=|AB|d=2=|h|.又SAOB=,所以|h|=.令n=1+2k2,代入整理得3n2-16h2n+16h4=0,解得n=4h2或n=h2,即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.又=tt()=t(x1+x2,y1+y2)=,因为P为椭圆C上一点,所以t2=1,即t2=1.将代入得t2=4或t2=,又知t0,故t=2或t=.经检验,适合题意.综上所得t=2或t=. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！