2021年全国初中数学联赛试题及详解

2021年全国初中数学联赛试题及详解 2021年全国学校数学联赛试题及详解 2021年全国学校数学联合竞赛试题及详解 第一试 、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1计算 4,3 2 ：2 41 24 2 ( ) （A ） .2 1 （ B ）1 （ C ）2 （ D ）2 【答案】（B ） 【解析】原式=42+1）2 3 ,（4 2 3）2 4（、.2 1） （4.2 3） 1，故选（B ） 一 - m 2 m 2 2满足等式 2 m 1的全部实数m 的和为（ ） （A ） 3 （ B ）4 （ C ）5 （ D ）6 【答案】（A ） 【解析】分三种状况进行商量： (1) 若 2 m 1,即m 1时，满足已知等式； 2 1,即m 3时， m 2 m 2 (2) 若 m 2 m ( 1）4 1满足已知等式； 2 m 0 一口 1 (3) 若 2 m 1,即m 1且m 3时，由已 知， 得 2 解得，m m m 2 m 2 m 2 故j 足等 2 m 1的所实数m 的和1 3 （1）=3，故选（A ）. 2 4不定方程 3x 7xy 2x 5y 17 CAB 15o ， ABC 的平分线交圆O 于 点D ，若CD 3，则 AB =() (A ) 2 (B ) 6 (C ) 2.2 (D ) 3 【答案】（A ） 【解析】连接 OC ，过点0作ON CD 于点N ，贝V 3已知AB 是圆O 的直径, C 为圆O 上一点, CN DN OA ,从而 OCA CAB 15o ,由AB 是圆O 的直径， ACB 90,因 CD 平分 ACB ,故 ACD 45, OCN ACD OCA 30, 在 Rt ONC 中， cos OCN CN OC 2OC 2,故选（A ） 2021年全国学校数学联赛试题及详解 0的全部正整数解（x, y）的组数为（ (A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4 2021年全国学校数学联赛试题及详解 (A) 33 【答案】 (B ) 34 (B ) 因1既不是质数, (C ) 2021 ( D ) 2021 设不超过n 的正整数中, n 1 3 5 7 9 11 U 15 2 3 4 4 9 G 6 b. (1 I i w 2 4 6 8 【答案】(B ) 3x 2x 17 【解析】由3x 2 7xy 2x 5y 17 0,得y - ，因x, y 为正整数， 7x 5 故 x 1,y 1,从而 7x 5 0,于是 3x 2 2x 17 7x 5 , 3x 2 5x 22 0 ,即卩 (x 2)(3x 11) 0,由 x 1，知 3x 11 0,故 x 2 0, x 2，故 x 1 或 x 2 当x 1时，y 8 ；当x 2时，y 1. 故原不定方程的全部正整数解 (x, y)有两组：(1,8)，(2,1),故选(B ). 5.矩形ABCD 的边长AD 3, AB 2 , E 为AB 的中点，F 在线段BC 1：2 , AF 分别与DE , DB 交于点M , N ,则MN =( 、3、5 5 .5 9、5 11,5 (A ) (B ) (C ) ( D ) 7 14 28 28 【答案】(C ) BF 1 【解析】因 ，故 FC 2 BF BF 1 1 FN BF 1 ,BF - AD 1,因 BF / AD ，故 BNF s DNA ，故 ，故 DA BC 3 3 AN DA 3 1 FN -AN 1 3 AF - AF . 延长DE,CB 交于点G ,则由 E 为AB 的中点， 知 3 3 4 4 ADE 也 BGE ,故 BG AD 3 , FG BF BG 1 3 4 ,因 FG / AD , 故 AM AD 3 亠 3 3 AMD s FMG ，故 ，故 AM FM AF ，于是 FM FG 4 4 7 上，BF : FC ) 考虑n 为奇数的状况)： 质数的个数为 a n ,合数的个数为b n ,当n 15时，列表如下(只 也不是合数，故“好数”肯定是奇 2021年全国学校数学联赛试题及详解 MN AF AM FN AF 3AF 1AF AF 9.AB2 BF2 9.5 7 4 28 28 28 故选(C). 6设n为正整数，若不超过那么，全部“好数”之和为( n的正整数中质数的个数等于合数的个数，则 称 ) n为“好 数” 2021年全国学校数学联赛试题及详解 由上表可知，1,9,11,13都是“好数” 因05印5 2，当n 16时，在n 15的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶 数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数， 故肯定有b n a n 2, 故当n 16时，n 不行能是“好数”. 因此，全部的“好数”之和为 1 9 11 13 34，故选(B ). 二、填空题(本题满分 28分，每小题7分) 1.已知实数 x,y,z 满足 x y 4, z 1 xy 2y 9,则 x 2y 3z _ . 【答案】 4 【解析】由x y 4,得x 4 y ，代入 z 1 xy 2y 9，得 z 1 2 (4 y)y 2y 9 y 6y 9 2 2 (y 3) 0,故(y 3)2 0， 又(y 3)2 0,故(y 3)2 0,故 y 3,z 1,x 1，于是 x 2y 3z 4 2将一个正方体的表面都染成红色，再切割成 n 3(n 2)个相同的小正方体，若只有一 面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则 n= _ . 【答案】8 、 2 【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为 6(n 2)个，任何面都不是红色的 小正方体的总数为(n 2)3个，依题意有6(n 2)2 3.在 ABC 中， A 60o , C 75o , AB 10， D,E,F 分别在 AB, BC,CA 上，则 DEF 的周长最小值为 _ . 【答案】5.6 【解析】分别作点 E 关于AB, AC 的对称的P,Q . 则 DE PD,EF FQ .连接 AE, AP, AQ, DP,FQ,PQ , 则 PAQ 120,且 AP AE AQ ,从而 APQ 30， AH AB sinB 10 sin 45 5、2，于是 DEF 的周长为 l DE DF EF PD DF FQ PQ 、3AP 、3AE 3AH 5、6(n 2)3，解得 n 8( n 2舍去). AP cos30， PQ -3AP ，过点A 作AH BC 于点H ,则 2021年全国学校数学联赛试题及详解 当且仅当点 E 与点H 重合，且P,D,F,Q 四点共线时取得等号，即 DEF 的周长 1 min 5 6 2 2 2 , 4若实数 x, y,z 满足 x y z xy yz zx 8，用 A 表示 x y,y z,z x 的最大值，贝U A 的最大值为 . 4苗 【答案】 3 【解析】由已知，得(x y)2 (y z)2 (z x)2 16 ,不妨设A |x y ，贝U A 2 x y 2 (y x)2 (y z) (z x) 2 2 (y z)2 (z x)2 2 16 (x y)2 2(16 A 2) 解得A 还.当且仅当x y 也，y z z x 时取等号. 3 3 3 故A 的最大值力. 3 其次试(A ) 、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2 求a 2 b 2 c 2 d 2的值. 又由于 6.即 a 2 b 2 c 2 d 2 由,可得mn mn a 2 b 2 b 2c 2 ac 2 bd ad 2 bc 故 mn ad 2 bc ac bd 0 (1) 2a 2 2b 2 3c 2 3d 2 (2) a b a 由（1）得一 令 2a 2 3c 2 2b 2 3d 2 6 (3) d c d (ad bc)2 6 (4) 注：符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，应满 足 2 ad bc 6, 解：设m a 2 b 2, n 2 2 c d ，贝U 2m 3n (2a 2 2 2 3c ) (2 b 3d 2) 12. 因 2m 3n 2 2m 2 3n 24mn 24mn , 即122 24mn ，故 mn 2021年全国学校数学联赛试题及详解 由于OA OC ,所以 OCA OAC ,由于 COB 所以 2 POB 2 OAC ,所以 POB OAC ,所以 OP / AC 连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故 ACB OBP 90 _2 2 解：由于t 是一元二次方程X x 1 0的一个根，明显t 是无理数，且t a dt,b Ct ,代入（2）得t .6 于是 a d,b 2 討a 于 d ,b C ，代入（3）或（4）,得 c 2 d 2 2 , 故符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，如 a 1,c 迈,d 3 又如a f,b T ,c 1,d 1也是一组，当然还有许多组 二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B,C 9 PB 作圆O 的切线，交于点 P ，连接AC ，若OP 9 AC ，求 的值. 2 AC 解：连接OC ，由于PC,PB 为圆O 的切线，所以 POC POB 二就是 3 组. OCA OAC , 又 POB OAC ，所以 BAC s POB ，所以 AC OB AB OP 9 又OP AC , AB 2r ,OB r （ r 为圆O 的半径），代入，得OP 2 3r, AC 在Rt POB 中，由勾股定理，得PB 、.OP 2 OB 2 2為,所以空碧3门. AC 2 r 3 、（本题满分25分）已知t 是一兀二次方程x 2 X 1 0的一个根，若正整数a,b, m 使得等式 at m bt m 31m 成立，求ab 的值. 1 t . 由 at m bt m 31m ，得 abt 2 m a b t 2 2 m 31m 0，将 t 1 t 代入，得 ab 1 t ma b t m 31m 0，即 卩 ma b 由于a,b,m 是正整数，t 是无理数，所以 m a b ab 0 a b 31 m ab m 2 于是可得 31m m 2 31m 0 ab 因此a, b 是关于x 的一元二次方程 x 2 m 31 x 31m m ab t ab m 31m 0. 2 0的两个正整数根，该方程