电磁场与电磁波第8章 平面电磁波

第八章第八章 平面电磁波平面电磁波 主主 要要 内内 容容 理想介质中的平面波、平面波极化特性、平面边界理想介质中的平面波、平面波极化特性、平面边界上的正投射、任意方向传播的平面波的表示、平面边界上的正投射、任意方向传播的平面波的表示、平面边界上的斜投射、各向异性介质中的平面波上的斜投射、各向异性介质中的平面波1. 波动方程波动方程2. 理想介质中平面波理想介质中平面波3. 导电介质中平面波导电介质中平面波4. 平面波极化特性平面波极化特性5. 平面波对平面边界正投射平面波对平面边界正投射6. 平面波对多层边界上正投射平面波对多层边界上正投射7. 任意方向传播的平面波任意方向传播的平面波8. 平面波对理想介质边界斜投射平面波对理想介质边界斜投射9. 无反射与全反射无反射与全反射10. 平面波对导电介质表面斜投射平面波对导电介质表面斜投射11. 平面波对理想导电表面斜投射平面波对理想导电表面斜投射12. 等离子体中的平面波等离子体中的平面波13. 铁氧体中的平面波铁氧体中的平面波1. 1. 波动方程波动方程 在在无限大无限大的的各向同性均匀线性各向同性均匀线性介质中，时变介质中，时变电磁场的方程为电磁场的方程为 ),(),(),( ),(1),(),(),(222222ttttttttttrJrHrHrrJrErE上式称为上式称为非齐次波动方程非齐次波动方程。式中式中),(),(),(tttrErJrJ电荷体密度电荷体密度 (r, t)与传导电流与传导电流 (E ) 的关系为的关系为t )( E 0),(),( 0),(),(222222ttttttrHrHrErE此式称为此式称为齐次波动方程齐次波动方程。 对于研究平面波的对于研究平面波的传播传播特性，仅需求解特性，仅需求解齐次齐次波波动方程。动方程。 若无若无外源外源( )，且为理想介质，且为理想介质( )，此时传，此时传导电流为零，自然也无体分布的时变电荷导电流为零，自然也无体分布的时变电荷( )，则，则上述波动方程变为上述波动方程变为0 J00对于对于正弦正弦电磁场，则上式变为电磁场，则上式变为 0)()( 0)()(2222rHrHrErEkk此式称为此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程齐次矢量亥姆霍兹方程，式中，式中， 。 k在直角坐标系中，各个在直角坐标系中，各个分量分量分别满足下列方程：分别满足下列方程： 0)()(0)()( 0)()(222222rrrrrrzzyyxxEkEEkEEkE0)()(0)()( 0)()(222222rrrrrrzzyyxxHkHHkHHkH这些方程称为这些方程称为齐次齐次标量标量亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程。 由于各个分量方程由于各个分量方程结构结构相同，其解具有相同，其解具有同一同一形式。形式。 若场量仅与若场量仅与 z 变量有关，则可证明变量有关，则可证明 。0zzHE0 , 0HE因因 ，得，得0zHzEzz代入代入标量亥姆霍兹标量亥姆霍兹方程，即知方程，即知0zzHE考虑到考虑到0222222222zHzHyHxHHzzzzz0222222222zEzEyExEEzzzzzzHzHyHxHzEzEyExEzzyxzzyxHE若场量与变量若场量与变量 x 及及 y 无关，则无关，则2. 理想介质中平面波理想介质中平面波 正弦电磁场在正弦电磁场在无外源无外源的的理想介质理想介质中满足下列方程中满足下列方程0)()( 0)()(2222rHrHrErEkk若电场强度若电场强度E 仅与仅与 z 有关，则不可能存在有关，则不可能存在 z 分量。分量。 令电场强度方向为令电场强度方向为 x 方向，即方向，即 ，则，则磁场强度磁场强度 H 为为 xxEeE jj()xxEHEejj()()xxxxxxEEEeeexxxxxxyzzEEEEExyzzeeee因因zEHxyjyyxyHzEeeHj得得已知已知Ex 满足齐次满足齐次标量标量亥姆霍兹方程，考虑到亥姆霍兹方程，考虑到0yExExx这是一个二阶这是一个二阶常微分方程常微分方程，其通解为，其通解为kzxkzxxEEEj0j0ee上式上式第一项第一项代表向代表向正正 z 轴方向传播的波，第二项轴方向传播的波，第二项反反之。之。0dd222xxEkzEj()xxEHe首先仅考虑向首先仅考虑向正正 z 轴方向传播的波，即轴方向传播的波，即 kzxxEzEj0e)(式中，式中，Ex0 为为 z = 0 处电场强度的有效值。处电场强度的有效值。瞬时值为瞬时值为0( , )2cos( )xxE z tEtkz 电场强度随着电场强度随着时间时间 t 及及空间空间 z 的变化波形如图的变化波形如图所示。所示。42Tt 可见，电磁波向可见，电磁波向正正 z 方向传播。方向传播。t1 = 0Ex(z, t)zO23223Tt 上式中上式中 t 称为称为时间相位时间相位。kz 称为称为空间相位空间相位。) sin(2),(0kztEtzExx空间空间相位相等的点组成的曲面称为相位相等的点组成的曲面称为波面波面。 由上式可见，由上式可见，Z = 常数的平面为波面。因此，常数的平面为波面。因此，这种电磁波称为这种电磁波称为平面波平面波。 因因Ex(z)与与 x, y 无关，在无关，在Z = 常数的波面上，各点场强常数的波面上，各点场强振幅相等。因此，这种平面振幅相等。因此，这种平面波又称为波又称为均匀均匀平面波。平面波。时间相位时间相位 t 变化变化 2 所经历的时间称为所经历的时间称为周期周期( T )。2 T空间相位空间相位 kz 变化变化 2 所经过的距离称为所经过的距离称为波长波长( ) 。2k频率频率描述电磁波的相位随描述电磁波的相位随时间时间的变化特性的变化特性。k 表示表示单位长度单位长度内的相位变化，因此称为内的相位变化，因此称为相位常数相位常数。波长波长描述电磁波的相位随描述电磁波的相位随空间空间的变化特性的变化特性。一秒内一秒内相位相位变化变化 2 的次数称为的次数称为频率频率( f )。fT12k22k2k 空间相位空间相位变化变化 2 相当于一个相当于一个全波全波，k 的大小的大小又可衡量单位长度内具有的全波数目，所以又可衡量单位长度内具有的全波数目，所以 k 又称又称为为波数波数，还可称为，还可称为空间空间频率。频率。 根据相位根据相位不变点不变点的轨迹变化可以计算电磁波的的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这种相位速度以相位变化速度，这种相位速度以 vp 表示。表示。 令令 ，得，得 ，则，则相位速度相位速度 为为 tkz常数0 d d zktktzvddp相位速度相位速度又简称为又简称为相速相速。考虑到考虑到 ，得，得 kccrrrr00111pkv理想介质中相速通常理想介质中相速通常小于小于真空中的光速。真空中的光速。在在理想理想介质中，介质中，相速相速与与介质介质特性有关。特性有关。 有时有时 。因此，。因此，相速相速不一定代表不一定代表能量能量传播传播速度。速度。cv pp1vfv p由上可得由上可得 平面波的平面波的频率频率是由是由波源波源决定的，但是平面波的决定的，但是平面波的相速相速与与介质介质特性有关。因此，平面波的特性有关。因此，平面波的波长波长与与介质介质特性有关。特性有关。rr0rr00p1ffv由上求得由上求得式中式中0001f0 为平面波在为平面波在真空真空中传播时的波长。中传播时的波长。 的现象称为的现象称为波长缩短波长缩短效应，或简称为效应，或简称为缩波缩波效应。效应。00由由 可得可得zEHxyjkzykzxyHEHj0j0ee00 xyEH 可见，在可见，在理想理想介质中，电场与磁场介质中，电场与磁场相位相同相位相同，且两者且两者空间相位空间相位均与变量均与变量z有关，但有关，但振幅振幅不会改变。不会改变。上图表示上图表示 时刻，电场及磁场的空间变化特性。时刻，电场及磁场的空间变化特性。0t 电场强度与磁场强度之比称为电磁波的电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗波阻抗，以以 Z 表示表示,实数实数当平面波在当平面波在真空真空中传播时，波阻抗以中传播时，波阻抗以Z0表示，则表示，则000377 120 ZyxHEZ即即ExHyOz 均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式表示为又可用矢量形式表示为 xzyZEeH1zyxZeHE或或ExHyz 对于对于传播方向传播方向而言，电场及磁场仅具有而言，电场及磁场仅具有横向横向分量，因此称为分量，因此称为横横电磁波，或称为电磁波，或称为TEM波波。以后。以后将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的非非TEM波。波。 均匀均匀平面波是平面波是TEM波，只有波，只有非均匀非均匀平面波才可平面波才可形成形成非非TEM波，但是波，但是TEM波也可以是波也可以是非非均匀平面波。均匀平面波。T Transverse复能流密度矢量复能流密度矢量 Sc 2020*cyzxzyxZHZEeeHES 复能流密度矢量为复能流密度矢量为实数实数，虚部为零。这就表明，虚部为零。这就表明，电磁波能量仅向正电磁波能量仅向正 z 方向方向单向单向流动。流动。若沿能流方向取出一个圆柱体，如图所示。若沿能流方向取出一个圆柱体，如图所示。 lSA 设圆柱体中能量密度为设圆柱体中能量密度为wav，能流密度的平均值为，能流密度的平均值为Sav，则柱中总储能为则柱中总储能为(wav Al)，单位，单位时间内穿过端面时间内穿过端面 A 的总能量的总能量为为(Sav A)。lSA式中比值式中比值 代表代表单位时间单位时间内的能量内的能量位移位移，因此该，因此该比值称为比值称为能量速度能量速度，或简称，或简称能速能速，以，以 ve 表示。表示。tl 若圆柱体中若圆柱体中全部全部储能在储能在 t 时间内全部穿过端面时间内全部穿过端面 A ，则，则lAwAtSavavtlAwtlAwASavavavavavewSv 求得求得又知又知 ， ，代入上式得，代入上式得 ZESx20av20eavav 2xEwwpe1vv在在理想理想介质中介质中 均匀平面波的波面是均匀平面波的波面是无限大无限大的平面，波面上各点的平面，波面上各点的场强振幅又的场强振幅又均匀分布均匀分布，因而波面上各点的，因而波面上各点的能流密度能流密度相同相同，可见这种均匀平面波具有无限大的能量。因此，可见这种均匀平面波具有无限大的能量。因此，实际中实际中不可能不可能存在这种均匀平面波。存在这种均匀平面波。 当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅限于局部区域，则可以者仅限于局部区域，则可以近似近似作为均匀平面波。作为均匀平面波。 利用利用空间傅里叶空间傅里叶变换，可将非平面波展开为很多变换，可将非平面波展开为很多平面波之平面波之和和。例例 已知均匀平面波电场强度的瞬时值为已知均匀平面波电场强度的瞬时值为 V/m ) 2106sin(220) ,(8zttzx eE试求：试求： 频率及波长；频率及波长； 电场强度及磁场强度的电场强度及磁场强度的复矢量；复矢量； 复能流密度矢量；复能流密度矢量； 相速及能速。相速及能速。 解解V/m e20)(2jzxz eE ；A/me611)(2j0zyzZzeEeH2*c W/m310zeHESm/s 1038epkvv ；886 10Hz3 10 Hz22f22m1 m2k电磁波的波段划分及其应用电磁波的波段划分及其应用 名名 称称频率范围频率范围波长范围波长范围典型业务典型业务甚低频甚低频VLF超长波超长波 330kHz10010km导航，声导航，声呐呐低频低频LF长波，长波，LW 30300kHz101km导航，频标导航，频标中频中频MF中波中波, MW 3003000kHz1km100mAM, 海上通信海上通信高频高频HF短波短波, SW 330MHz100m10mAM, 通信通信甚高频甚高频VHF超短波超短波 30300MHz101mTV, FM, MC特高频特高频UHF微波微波 3003000MHz10010cmTV, MC, GPS超高频超高频SHF微波微波 330GHz101cmSDTV, 通信通信,雷达雷达极高频极高频EHF微波微波 30300GHz101mm通信通信, 雷达雷达光频光频 光波光波 150THz3000.006m光纤通信光纤通信中波调幅广播中波调幅广播（AM）：5501650kHz短波调幅广播短波调幅广播（AM）：230MHz调频广播调频广播（FM）：88108MHz电视频道电视频道（ TV）：50100MHz ; 170220MHz 470870MHz无绳电话无绳电话(Cordless Phone): : 50MHz; 900MHz; 2.4GHz ; 5.8GHz蜂窝电话蜂窝电话(Cellular Phone): : 900MHz; 1.8GHz; 1.9GHz卫星直播卫星直播: SDTV: 46GHz; 1214GHz. SDB: 1214GHz全球卫星定位系统全球卫星定位系统（GPS）：L1 =1575.42MHz L2 =1227.60MHz, L3 =1176.45MHz光纤通信：光纤通信： 1.55m ，1.33m ，0.85m ISM波段：波段： 902928MHz，2.42.4835GHz，5.7255.850GHz3. 导电介质中平面波导电介质中平面波 若若 0 ，则在，则在无外源无外源 (J = 0 ) 区域中区域中EEH j 令令 je式中式中 e 称为称为等效介电常数等效介电常数。 由此推知由此推知导电导电媒质中正弦电磁场应满足下列齐次媒质中正弦电磁场应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程矢量亥姆霍兹方程 0 0e22e22HHEEE)j(jEHej)j(eck令令 若仍然令若仍然令 ，且，且 ，则只要，则只要以以 kc 代替代替 k 即可求得其解为即可求得其解为 xxE eE 0yExExxzkxxEEcj0e因常数因常数 kc 为为复数复数，令，令 kkk jc求得求得 1122k 1122 k则则 0 0e22e22HHEE 0 02c22c2HHEEkkzkzkxzkxxEEE j0j0eeec电场强度可表示为电场强度可表示为上式表明电场强度的上式表明电场强度的振幅振幅随随 z 增加不断增加不断衰减衰减，相位相位逐渐滞后。逐渐滞后。相速为相速为11212pkv可见，相速不仅与介质参数有关，还与可见，相速不仅与介质参数有关，还与频率频率有关。有关。 k 称为称为相位常数相位常数，单位为，单位为rad/m； k 称为称为衰减衰减常数常数，单位为，单位为Np/m，而，而 kc 称为称为传播常数传播常数。 波长为波长为 112222k 波长不仅与波长不仅与介介质质参数参数有关，而且与频率的关系是有关，而且与频率的关系是非线性非线性的。的。 各个频率分量以各个频率分量以不同的不同的相速传播，经过一段距离相速传播，经过一段距离后，各个频率分量之间的相位关系将发生变化，导致后，各个频率分量之间的相位关系将发生变化，导致信号失真，这种现象称为信号失真，这种现象称为色散色散。所以导电介质又称为。所以导电介质又称为色散介质色散介质。 11212pkv波阻抗为波阻抗为j1ecZ复数复数复数波阻抗表明电场强度与磁场强度复数波阻抗表明电场强度与磁场强度不同相不同相。磁场强度为磁场强度为 zEHxyjzkxEkcj0cezkzkxE j0ee)j1 ( 可见，磁场的振幅也不断可见，磁场的振幅也不断衰减衰减，且与电场强度的，且与电场强度的相位不同相位不同。 因为电场强度与磁场强度的因为电场强度与磁场强度的相位不同相位不同，复能流，复能流密度的密度的实部实部及及虚部虚部均均不会不会为为零零，这就表明平面波在，这就表明平面波在导电导电介质中传播时，既有单向流动的介质中传播时，既有单向流动的传播传播能量，又能量，又有来回流动的有来回流动的交换交换能量。能量。 HyExOz 第一第一，若，若 ，如，如低低电导率的介质，可以近电导率的介质，可以近似认为似认为222111 k2 k cZ那么那么 可见，电场强度与磁场强度可见，电场强度与磁场强度同相同相，但两者振幅，但两者振幅仍不断仍不断衰减衰减。电导率。电导率 愈大愈大，则振幅衰减，则振幅衰减愈大愈大。 第二第二，若，若 ，如，如良良导体，可以近似认为导体，可以近似认为 21 2fkk fZ) j1 (jc那么那么可见，电场强度与磁场强度可见，电场强度与磁场强度不同相不同相，且因，且因 很大，很大，振幅发生振幅发生急剧衰减急剧衰减，以致于电磁波无法进入良导体，以致于电磁波无法进入良导体深处，这种现象称为深处，这种现象称为集肤效应集肤效应。fk11 集肤深度集肤深度1ee k令令4103 f /MHz0.051 /mm29.80.0660.000 38 一定厚度的金属板即可一定厚度的金属板即可屏屏蔽蔽高频时变电磁场。高频时变电磁场。 对应于比值对应于比值 的频率称为的频率称为界界限频率限频率，它是划分介质属于低耗介质，它是划分介质属于低耗介质或导体的界限。或导体的界限。1310154101116109 .1616104 .104介介 质质频频 率率 / MHz干干 土土 2.6 (短波短波)湿湿 土土 6.0 (短波短波)淡淡 水水 0.22 (中波中波)海海 水水 890 (超短波超短波)硅硅 (微波微波) 锗锗 (微波微波)铂铂 (光波光波)铜铜 (光波光波)可见，可见，非理想介质非理想介质中以中以位移电流位移电流为主，为主，良导体良导体中以中以传导电流传导电流为主。为主。考虑到考虑到EJEJj ,d 电导率电导率 引起引起热热损耗，所以损耗，所以导电导电介介质质又称为又称为有耗有耗介介质质，而，而理想介质理想介质又称为又称为无耗无耗介介质质。 考虑到考虑到极化损耗极化损耗和和磁化损耗磁化损耗时，介电常数及时，介电常数及磁导率皆为磁导率皆为复数复数，复介电常数和复磁导率的复介电常数和复磁导率的虚部虚部代表代表损耗损耗。非铁磁性物质可以不计非铁磁性物质可以不计磁化磁化损耗。损耗。 对于频率低于微波的电磁波，介质的对于频率低于微波的电磁波，介质的极化极化损损耗也可不计。耗也可不计。损耗正切损耗正切 tan ,tanme j j即即解解 10 Hz10576f1180801036110497良导体良导体rad/m 89. 8fkNp/m 89. 8 fk求得求得 例例 已知向正已知向正 z 方向传播的均匀平面波的频率为方向传播的均匀平面波的频率为 5 MHz ， 处电场强度为处电场强度为 x方向，其有效值为方向，其有效值为100V/m。若若 区域为海水，其电磁特性参数为区域为海水，其电磁特性参数为试求试求: 该平面波在海水中的该平面波在海水中的 。 在在 处的处的 。 S/m 4 , 1 ,80rrp, , ,k k vZc( , ),( , ),ttE rH rS0z 0z 0.8mz m 707. 02kj4c(1j)(1j)e 2fZm/s 1053. 36pkv10.112 mfV/m ee100)(j zkzkxz eE 海水中海水中z = 0.8m 处的处的场强的场强的复振幅复振幅为为)(1)(czZzzEeHA/mee100jczkzkyZ e7(0.8, )0.115sin(10 7.11)V/mxttEe7(0.8, )0.0366sin(10 7.70)A/myttHe瞬时值瞬时值为为复能流密度为复能流密度为 24j62*c2*c W/me106644e100zzzkZeeHES 电场电场强度的强度的方向方向随随时间时间变化的规律称为电磁波变化的规律称为电磁波的的极化特性极化特性。 4. 平面波极化特性平面波极化特性设电场强度的瞬时值为设电场强度的瞬时值为 ) sin() ,(mkztEtzxxxeE 在在空间空间任一任一固定点固定点，电场强度矢量的端点随时，电场强度矢量的端点随时间的变化轨迹为与间的变化轨迹为与 x 轴平行的直线。因此，这种极轴平行的直线。因此，这种极化特性称为化特性称为线极化线极化，其，其极化方向极化方向为为 x 方向。方向。 设另一设另一同频率同频率的的 y 方向极化的线极化方向极化的线极化平面波的平面波的瞬时值为瞬时值为 ) sin() ,(mkztEtzyyyeE 上述两个上述两个相互正交相互正交的的线线极化平面波极化平面波 Ex 及及 Ey 合合成后，其瞬时值的大小为成后，其瞬时值的大小为 ) ,() ,(),(22tzEtzEtzEyx) ( sin2m2mkztEEyx 合成波的合成波的大小大小随时间的变化仍为正弦函数，随时间的变化仍为正弦函数， 合合成波的成波的方向方向与与x 轴的夹角轴的夹角 为为 mm),(),(tanxyxyEEtzEtzE 可见，合成波电场强度矢量可见，合成波电场强度矢量端点的变化轨迹是与端点的变化轨迹是与 x 轴夹角为轴夹角为 的一条的一条直线直线。因此，合成波仍。因此，合成波仍然是然是线极化波线极化波。 EyExEyxOEyExEyxOEyExEyxO 两个相位两个相位相同相同或或相反相反、空间相互正交的线极化空间相互正交的线极化平面波平面波，合成后仍然形成一个合成后仍然形成一个线极化线极化平面波平面波。反之反之，任一线极化波可以分解为两个相位任一线极化波可以分解为两个相位相同相同或或相反相反的空的空间相互正交的线极化波间相互正交的线极化波。 若两个线极化波若两个线极化波 Ex 及及 Ey 的相位差为的相位差为 ，但振，但振幅皆为幅皆为Em ,2若若Ex 与与 Ey 的相位相反，结果如何的相位相反，结果如何？若若Ex 与与 Ey 的振幅相等，结果如何的振幅相等，结果如何？) sin(),(mkztEtzxxeE)2 sin(),(mkztEtzyyeE) cos(mkztEye即即则合成波瞬时值的大小为则合成波瞬时值的大小为 m22),(),() ,(EtzEtzEtzEyx合成波矢量与合成波矢量与 x 轴的夹角轴的夹角 为为 ) (cot),(),(tankzttzEtzExy) (2tankzt ) (2kzta即即 电场强度矢量的电场强度矢量的方向方向随时间不断地随时间不断地旋转旋转，但其，但其大大小不变小不变。因此，合成波的电场强度矢量的端点轨迹为。因此，合成波的电场强度矢量的端点轨迹为一个一个圆圆，这种变化规律称为，这种变化规律称为圆极化圆极化。可见，对于某一固定的可见，对于某一固定的 z 点，夹角点，夹角为时间为时间 t 的函数。的函数。上式表明，当上式表明，当t 增加时，夹角增加时，夹角 不断地减小，合成波不断地减小，合成波矢量随着时间的矢量随着时间的旋转方向旋转方向与与传播方向传播方向 ez 构成构成左旋左旋关关系，这种圆极化波称为系，这种圆极化波称为左旋左旋圆极化波。圆极化波。EyExEyxO左旋左旋右旋右旋zy x O) (2kzta 若若Ey比比Ex滞后滞后 ，则合成波矢量与，则合成波矢量与x轴的夹轴的夹角角 。可见，对于空间任一固定点，夹角。可见，对于空间任一固定点，夹角 随时间增加而增加，合成波矢量随着时间的随时间增加而增加，合成波矢量随着时间的旋转方旋转方向向与与传播方向传播方向 ez 构成构成右旋右旋关系，因此，这种极化波称关系，因此，这种极化波称为为右旋圆极化波右旋圆极化波。2)2( kzt2 两个振幅相等，相位相差两个振幅相等，相位相差 的空间相互正交的的空间相互正交的线线极化波，合成后形成一个极化波，合成后形成一个圆圆极化波。反之，一个极化波。反之，一个圆圆极极化波也可以分解为两个振幅相等，相位相差化波也可以分解为两个振幅相等，相位相差 的空间的空间相互正交的相互正交的线线极化波。极化波。2 一个一个线线极化波可以分解为两个极化波可以分解为两个旋转方向旋转方向相反的相反的圆圆极化波。反之亦然。极化波。反之亦然。 若上述两个相互正交的线极化波若上述两个相互正交的线极化波 Ex 和和 Ey 具有具有不同振幅不同振幅及及不同相位不同相位，即，即 ) sin(),( ) sin(),(mmkztEtzkztEtzyyyxxeEeEx则合成波的则合成波的 Ex 分量及分量及 Ey 分量满足下列方程分量满足下列方程2mm2m2msincos2)()(yxyxyyxxEEEEEEEE 这是一个椭圆方程，它表这是一个椭圆方程，它表示合成波矢量的端点轨迹是一示合成波矢量的端点轨迹是一个椭圆，因此，这种平面波称个椭圆，因此，这种平面波称为为椭圆极化波椭圆极化波。 yxExy Ey mEx myxExy Ey mEx m 当当 时，时，Ey 分量比分量比 Ex 滞滞后，与传播方向后，与传播方向ez 形成形成右旋右旋椭圆椭圆极化波；极化波； 当当 时，时， Ey 分量比分量比 Ex 导前，与传播方向导前，与传播方向ez 形成形成左旋左旋椭圆极化波。椭圆极化波。 00 线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况。殊情况。 各种各种极化波均可分解为线极化波的合成，因此，极化波均可分解为线极化波的合成，因此，仅仅讨论讨论线极化线极化平面波的传播特性。平面波的传播特性。长轴与短轴之比称为椭圆极化波的长轴与短轴之比称为椭圆极化波的轴比轴比。5. 平面波对平面边界正投射平面波对平面边界正投射 平面波在边界上的反射平面波在边界上的反射及透射规律与及透射规律与介质特性介质特性及及边边界形状界形状有关。我们仅讨论平有关。我们仅讨论平面波在面波在无限大无限大的的平面平面边界上边界上的反射及透射特性。的反射及透射特性。边界边界透射波透射波反射波反射波入射波入射波正投射正投射边界边界斜投射斜投射 首先讨论平面波向平面边首先讨论平面波向平面边界垂直入射的界垂直入射的正投射正投射。 再讨论平面波以任意角度再讨论平面波以任意角度向平面边界的向平面边界的斜投射斜投射。111222zxy 一个一个 x 方向极化的平方向极化的平面波向两种介质形成一个面波向两种介质形成一个无限大无限大的平面边界正投射的平面边界正投射的情况如图所示。的情况如图所示。S ttxEtyHS rrxEryHS iixEiyH 发生反射与透射时，平面波的发生反射与透射时，平面波的极化特性极化特性不会发不会发生改变。反射波及透射波仅可具有生改变。反射波及透射波仅可具有与入射波相同的与入射波相同的分量分量。111222zxyS rrxEryH反射波反射波zkxxEE1cjr0reS iixEiyHzkxxEEc1ji0ie入射波入射波S ttxEtyHzkxxEE2cjt0te透射波透射波式中式中 ， ， 分别为分别为z = 0 边界边界处各波的振幅。处各波的振幅。 i0 xEr0 xEt0 xE磁场强度分量为磁场强度分量为 zkxyZEH1cj1ci0ie入射波入射波zkxyZEH1cj1cr0re反射波反射波zkxyZEHc2j2ct0te透射波透射波? ? 电场强度电场强度的的切向分量切向分量在在任何任何边界上均是连续的，边界上均是连续的，考虑到所讨论的有限电导率边界上不可能存在考虑到所讨论的有限电导率边界上不可能存在表面电表面电流流，因而，因而磁场强度磁场强度的的切向分量切向分量也是连续的。也是连续的。c12c1c2ci0r0ZZZZEExx1c2c2ci0t02ZZZEExx求得求得2ct01cr01ci0ZEZEZExxxt0r0i0 xxxEEE即在即在 z = 0 的边界上的边界上 边界上边界上反射波电场分量与入射波电场分量之比反射波电场分量与入射波电场分量之比称为称为边界上边界上的的反射系数反射系数，以，以 R 表示，表示， 边界上边界上透射波电场分量与入射波电场分量之比透射波电场分量与入射波电场分量之比称为称为边界上边界上的的透射系数透射系数，以，以 T 表示表示,1c2c1c2ci0r0ZZZZEERxx即即c1c22ci0t02ZZZEETxx即即 介质介质中中任一点任一点的合成电场强度与磁场强度的合成电场强度与磁场强度可以分别表示为可以分别表示为 )e e ()(1c1cjji0zkzkxxREzE)e e ()(c1c1jj1ci0zkzkxyRZEzH 第一第一，若，若介介质质为理想介质为理想介质 ，介介质质为理想导体为理想导体 ，则两种，则两种介介质的波阻抗分别为质的波阻抗分别为)0(1)(2全部电磁能量被边界反射，这种情况称为全部电磁能量被边界反射，这种情况称为全反射全反射。111c1ZZ0jc2Z1c2c1c2cZZZZRc1c22c2ZZZT1R0T因因 ，介质，介质中任一点合成电场为中任一点合成电场为 11ckk)ee ()(11jji0zkzkxxEzEzkEx1i0sin2 j2j1i0esin2zkEx对应的瞬时值为对应的瞬时值为)2 sin(sin22),(1i0tzkEtzExxtzkEx cossin221i0此式表明，介质此式表明，介质中合成电场的中合成电场的相位相位仅与仅与时间时间有关，有关，而而振幅振幅随随 z 的变化为的变化为正弦函数正弦函数。在在 处，处，任何时刻任何时刻的电场为的电场为零零。21nz(0, 1, 2,)n 空间各点空间各点合成波的合成波的相位相同相位相同，同时同时达到最达到最大大或或最最小小。平面波在空间没有移动，因此称为。平面波在空间没有移动，因此称为驻波驻波。4) 12(1nz在在 处，处，任何时刻任何时刻的电场振幅的电场振幅最大最大。Ex 00121z1 = 02 = O 驻波与行波的特性截驻波与行波的特性截然不同，然不同，行波行波的的相位相位沿传沿传播方向播方向不断变化不断变化，而，而驻波驻波的的相位相位与空间与空间无关无关。Ex 00z1O1 = 0 2 = 42Tt 434tTTt833t1 = 02142Tt t1 = 0Ex(z, t)zO23223Tt Tt83310t 24Tt 434tT波节波节波腹波腹zkZEZEzHxzkzkxy11i0jj1i0cos2)ee ()(11介质介质中的合成磁场为中的合成磁场为tzkZEtzHxy sincos22),(11i0对应的瞬时值为对应的瞬时值为Hy 0z1O1 = 0 2 = y01t312tT42Tt 电场的瞬时值为电场的瞬时值为tzkEtzExx cossin22),(1i0 磁场磁场也形成驻波，也形成驻波，但其零值及峰值位置与但其零值及峰值位置与电场驻波的分布恰好电场驻波的分布恰好相相反反，时间相位相差，时间相位相差 。2 由于电场与磁场的相位差为由于电场与磁场的相位差为 。因此，复能。因此，复能流密度的流密度的实部为零实部为零，只存在虚部。这就表明介质，只存在虚部。这就表明介质中没有能量单向流动，能量仅在电场与磁场之中没有能量单向流动，能量仅在电场与磁场之间进行交换。间进行交换。 2i0n12()xSyzyxEHZ JeeHezkZEzHxy11i0cos2)(已知已知介介质质中的合成磁场为中的合成磁场为 在在 边界上，边界上，介介质质中的合成磁场分量中的合成磁场分量为为 ，但，但介介质质中中 ，边界上磁场，边界上磁场强度的切向分量不连续，因此边界上存在强度的切向分量不连续，因此边界上存在表面电表面电流流 JS 。1i02) 0(ZEHxy0) 0(tyH0z 第二第二，若，若介介质质为理想介质为理想介质 = 0 ，介质，介质为一般导电为一般导电介介质，则质，则介介质质的波阻抗及传播常数的波阻抗及传播常数分别为分别为1111cZZ1111ckk反射系数为反射系数为 j12c12ce| RZZZZR式中，式中， 为为R 的振幅；的振幅； 为为 R 的相位。的相位。| R在在 处，电场振幅取得处，电场振幅取得最大值最大值，1)42(nz)e |e ()()( jji011zkzkxxREzEzkzkxRE11j)2( ji0e )e |1 (电场强度可用电场强度可用R表示为表示为|)|1 (|i0maxREExx得得在在 处，电场振幅取得处，电场振幅取得最小值最小值。1)4412(nz01z21maxEminE 电场振幅的最大值与最小值之比称为电场振幅的最大值与最小值之比称为驻波比驻波比，以以 S 表示表示 。|1|1|minmaxRREESSWR|)|1 (|i0minREExx得得 两个相邻振幅最大值或最两个相邻振幅最大值或最小值之间的距离为小值之间的距离为半半波长。波长。 1|0 R反射系数反射系数i02|0 xxEE电场振幅电场振幅 若两种介质均是若两种介质均是理想理想介质，当介质，当 时，时，边界边界处处为电场驻波的为电场驻波的最大点最大点；当；当 时，边界处为电时，边界处为电场驻波的场驻波的最小最小点。点。12ZZ 12ZZ 上述情况不同于前述的上述情况不同于前述的完全完全驻波。此时介质中驻波。此时介质中既有向前传播的行波，又包含能量交换的驻波。既有向前传播的行波，又包含能量交换的驻波。|1|1|minmaxRREES S1当发生全反射时，当发生全反射时， 。SR , 1| 当当 时，时， 。这种无反射的边界。这种无反射的边界称为称为匹配边界匹配边界。12cZZ1 , 0|SR 例例 已知形成无限大平面边界的两种介质的已知形成无限大平面边界的两种介质的参数为参数为 ， ； ， 。当一。当一右右旋旋圆圆极化平面波由介质极化平面波由介质向介质向介质垂直入射时，试垂直入射时，试求反射波和透射波及其极化特性。求反射波和透射波及其极化特性。 0140102902 解解 建立建立直角直角坐标坐标系，令边界平面位于平系，令边界平面位于平面。面。入射波入射波、反射波反射波和和透射波透射波可以分别表示为可以分别表示为 111222zxyS ttxEtyES rrxEryES iixEiyEzkyxE1j0ie )j(eeEzkyxRE1j0re )j(eeEzkyxTE3j0te )j(eeE 反射系数和透射系反射系数和透射系数分别为数分别为511212ZZZZR542122ZZZT 由于反射波及透射波的由于反射波及透射波的 y 分量仍然分量仍然滞后滞后于于 x 分量，分量， 但反射波的传播方向为负但反射波的传播方向为负 z 方向，因此变方向，因此变为为左旋左旋圆极化波。透射波的传播方向仍沿正圆极化波。透射波的传播方向仍沿正 z 方方向，因此向，因此还还是是右右旋圆极化波。旋圆极化波。 111222zxyS ttxEtyES rrxEryES iixEiyE6. 平面波对多层边界正投射平面波对多层边界正投射 以以三种三种介介质形成的多层质形成的多层介介质为例，说明平面质为例，说明平面波在多层波在多层介介质中的质中的传播过程传播过程及其及其求解方法求解方法。 Zc1Zc2Zc3lOz1xE3xE2xE2xE1xE在两条边界上发生在两条边界上发生多次多次反射与透射现象。反射与透射现象。 介质介质和和中仅存在中仅存在两种两种平面波，其一是向平面波，其一是向正正 z 方向传播的波，以方向传播的波，以 及及 表示；另一是向表示；另一是向负负 z 方向传播的波，以方向传播的波，以 及及 表示。在介质表示。在介质中仅存中仅存在在一种一种向正向正 z 方向传播的波方向传播的波 。1xE3xE2xE2xE1xElzEzElzkxxc e)()(j1011lzEzElzkxxc e)()(j10110 e)(2j202zlEzEzkxxczEzEzkxxc0 e)(3j3030 e)(2j202zlEzEzkxxcZc1Zc2Zc3-lOz1xE3xE2xE2xE1xE各层介质中的电场强度可以分别表示为各层介质中的电场强度可以分别表示为lzZEzHlzkxy e)()(j1c1011clzZEzHlzkxyc e)()(j1c10110 e)(2cj2c202zlZEzHzkxy0 e)(2cj2c202zlZEzHzkxyzZEzHzkxy0 e)(c3j3c303相应的相应的磁场强度磁场强度分别为分别为Zc1Zc2Zc3-lOz1xE3xE2xE2xE1xE )0( )( ee302020 j20 j2010102c2czEEElzEEEExxxlkxlkxxx 根据两条边界上根据两条边界上电场切向分量电场切向分量必须连续的边界必须连续的边界条件，得条件，得 根据两条边界上根据两条边界上磁场切向分量磁场切向分量必须连续的边界必须连续的边界条件，得条件，得)0( )( ee3302c202c20 j2c20 j2c201c101c102c2czZEZEZElzZEZEZEZEcxxxlkxlkxxx 是给定的，是给定的，4 4 个方程中只有个方程中只有 ， ， 及及 等等4 4个未知数，因此完全可以求解。个未知数，因此完全可以求解。1xE3xE2xE2xE1xE 对于对于 n 层介质，总共只有层介质，总共只有 (2n2) 个待求的个待求的未知数。但根据未知数。但根据 n 层介质形成的层介质形成的 (n1) 条边界可条边界可以建立以建立 2(n1) 个方程，可见这个方程组足以求解个方程，可见这个方程组足以求解全部的未知数全部的未知数。 如果仅需计算如果仅需计算第一条第一条边界上的边界上的总总反射系数，反射系数，引入引入输入波阻抗输入波阻抗概念可以简化求解过程。概念可以简化求解过程。Zc1Zc2Zc3 n-2 n-1 3 2 1Zc(n-2)Zc(n-1)Zc n 以三种以三种 3 层介质为例，定层介质为例，定义介质义介质中中任一点任一点的的合成合成电场电场与与合成合成磁场之比称为磁场之比称为该点该点的输的输入波阻抗，以入波阻抗，以 Zin 表示，表示，已知已知介介质质中合成电场为中合成电场为 zkxzkxxEEzE2c2cj20j202ee)()ee (2c2cj23j20zkzkxREZc1Zc2Zc3-lOz1xE3xE2xE2xE1xE式中，式中，R23 为为介介质质和和之间的边界上之间的边界上( (z = 0) )的反射的反射系数，即系数，即 2c3c2c3c202023ZZZZEERxx)()()(22inzHzEzZyx即即介介质质中的合成磁场可以表示为中的合成磁场可以表示为 )ee ()(c2c2j23j2c202zkzkxyRZEzHzkZZzkZZZzZ2cc3c22cc2c32cintanjtanj)(求得求得)()( )(in21c101c1021010lZlEZEZElEEExxxxxx 在在 边界上合成电场及合成磁场应该连续，边界上合成电场及合成磁场应该连续，得得zl 1010 xxEER第一条边界上第一条边界上总总反射系数定义为反射系数定义为lkZZlkZZZlZc23c2c2c2c3c2cintanjtanj)(式中式中 对于第对于第1层介质，第层介质，第2层及第层及第3层介质可以看层介质可以看作为波阻抗为作为波阻抗为 Zin(l) 的一种介质。的一种介质。 上述方法的理念是，仅考虑后置介质的上述方法的理念是，仅考虑后置介质的总体总体影响，不关心其内部结构影响，不关心其内部结构 。1cin1cin)()(ZlZZlZR 已知第已知第2层介质的层介质的厚度厚度和电磁参数以及第和电磁参数以及第3介介质的质的电磁参数电磁参数即可求出输入波阻抗即可求出输入波阻抗Zin(l) 。 首先求出第首先求出第 (n2) 条边界处向右看的输入波阻抗条边界处向右看的输入波阻抗 ，则对于第，则对于第 (n2) 层介质，可用波阻抗为层介质，可用波阻抗为 的的介质代替第介质代替第(n1) 层及第层及第 n 层介质。层介质。)2(innZ)2(innZZc1Zc2Zc3 n-2 n-1 3 2 1Zc(n-2)Zc(n-1)Zc n)2(innZ(2)inZ)1(inZ 依次类推，依次类推，自后向前自后向前逐一计算各条边界上向后看逐一计算各条边界上向后看的输入波阻抗，直至求得第一条边界上向后看的输入的输入波阻抗，直至求得第一条边界上向后看的输入波阻抗后，即可计算波阻抗后，即可计算总总反射系数。反射系数。1)1(in1)1(inZZZZR(1)inZZ1)2(inZZ1Z2)3(inZZ3Z1Z2Z1ZnZ3Z2Zn-1Zn-2)2(innZZ1Z3Z2Zn-2 例例 设两种理想介质的波阻抗分别为设两种理想介质的波阻抗分别为Z1 与与Z2 ，为，为了消除边界反射，在两种理想介质中间插入厚度为四了消除边界反射，在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长的理想介质夹层，试求夹层的波阻抗分之一波长的理想介质夹层，试求夹层的波阻抗 Z 。 解解 首先求出第一条边界上首先求出第一条边界上向右看的输入波阻抗。向右看的输入波阻抗。Z1ZZ2422lk222inZZZZZZ求得第一条边界上输入波阻抗为求得第一条边界上输入波阻抗为为了消除反射，必须要求为了消除反射，必须要求 ，得，得1inZZ221ZZZ 21ZZZ 4l考虑到考虑到输入波阻抗的方法是一种输入波阻抗的方法是一种阻抗变换阻抗变换方法。方法。 这种变换仅在给定的这种变换仅在给定的单一频率单一频率点完全匹配，因点完全匹配，因此频带较窄。此频带较窄。 利用利用四分之一四分之一波长的传输线可以实现阻抗变换，波长的传输线可以实现阻抗变换，此时既可变更传输线的此时既可变更传输线的长度长度又能保证又能保证匹配匹配。lkZZlkZZZlZ2c3c2c2c2c3c2cintanjtanj)(可见，如果可见，如果 为实数，输入波阻抗的变化与为实数，输入波阻抗的变化与正切正切函数函数的变化规律一致，那么厚度为的变化规律一致，那么厚度为半波长半波长或或半波半波长整数倍长整数倍的介质夹层没有阻抗变换作用。的介质夹层没有阻抗变换作用。c2k这种介质制成的这种介质制成的天线罩天线罩，其电磁性能十分优越。，其电磁性能十分优越。 当这种夹层置于空气中，平面波向其表面正投射当这种夹层置于空气中，平面波向其表面正投射时，无论夹层的厚度如何，反射现象均不可能发生。时，无论夹层的厚度如何，反射现象均不可能发生。换言之，这种介质对于电磁波似乎是完全换言之，这种介质对于电磁波似乎是完全“透明透明”的的。 如果该例中夹层介质的如果该例中夹层介质的 ，那么，夹层的波阻，那么，夹层的波阻抗等于真空的波阻抗。抗等于真空的波阻抗。rr 普通介质的磁导率很难与介电常数达到同一数量普通介质的磁导率很难与介电常数达到同一数量级。近来研发的级。近来研发的新型磁性材料新型磁性材料可以接近这种需求。可以接近这种需求。7. 任意方向传播的平面波任意方向传播的平面波 设设传播方向传播方向为为eS，则与，则与 eS 垂直的平面称为垂直的平面称为波面波面。 令坐标原点的电场强令坐标原点的电场强度为度为E0，则波面上，则波面上 P0 点点的场强应为的场强应为 kdPj00e)( EEzyxdeSP0E0波面波面P(x, y, z)r令令P点为波面上点为波面上任一点任一点，则该点的位置矢量则该点的位置矢量 r 为为zyxzyxeeer令令r 与与eS的夹角为的夹角为 ，则距离，则距离 d 可以表示为可以表示为cosSdrer那么，那么，P0 点的电场强度可表示为点的电场强度可表示为j 0eSkerEE k 称为称为传播矢量传播矢量，其，其大小大小等于传播常数等于传播常数k，方向方向为为传播方向传播方向 eS 。 若令若令 , ,SkekrkEEj0e则则 传播方向传播方向 eS 的方向角分的方向角分别为别为 、 、 ，则，则coscoscosSxyzeeeecoscoscoskkkzyxeeekzyxdeSP0E0波面波面P(x, y, z)r上式为沿上式为沿任意方向任意方向传播的平面波表达式。传播的平面波表达式。coskkxcoskky coskkz若令若令zzyyxxkkkeeek则则那么，那么，电场强度电场强度又可表示为又可表示为)( j0ezkykxkzyx EE)coscoscos(j0ezyxk EE或者或者考虑到考虑到 ，求得，求得1coscoscos2222222kkkkzyx可见，三个分量可见，三个分量 中只有中只有两个两个是独立的。是独立的。 xyzkkk、 、S理想介质中的均匀平面波满足下列方程理想介质中的均匀平面波满足下列方程 EHk HEk 0Ek0Hk 电场与磁场电场与磁场相互垂直相互垂直，两者又垂直于，两者又垂直于传播方向传播方向，这些特点反映了均匀平面波具有这些特点反映了均匀平面波具有TEM波的性质。波的性质。 HE复复能流密度矢量能流密度矢量Sc 的的实部实部为为 *cReReSEH*1Re E kE)()Re(1*EkEkEE22c001ReSkEESke20SEe考虑到考虑到 ，得，得 0 ,20*kEEEE 试求：试求： 是否是均匀平面波？是否是均匀平面波？ 平面波的频率及波平面波的频率及波长；长； 电场强度的电场强度的 y 分量分量 ； 平面波的极化特性。平面波的极化特性。0yE 例例 已知真空中的平面波为已知真空中的平面波为TEM波，其电场强度为波，其电场强度为式中，式中， 为常数。为常数。0yE)6 . 0 j8 . 06 . 0(3 . 2 j0e )5 j2(zyxzyyxEeeeEzyxzyyxE6 . 0)8 . 06 . 0(3 . 2 j0ee )5 j2(eeeE解解 给定的电场强度可改写为给定的电场强度可改写为 可见，平面波的传播方向位于可见，平面波的传播方向位于 xy 平面内，因此波面平面内，因此波面平行于平行于 z 轴。轴。 由于场强振幅与由于场强振幅与 z 有关，因此，它是一种有关，因此，它是一种非均匀非均匀平面波。平面波。m73. 22k110 MHzvcf222.3 0.60.82.3 rad/mk 根据上式求得根据上式求得传播常数传播常数、波长波长、频率频率分别为分别为 xyzk波面波面因为因为 ，求得，求得 。 0 Ek75. 00yE 因电场强度的因电场强度的 x 分量与分量与 y 分量构成分量构成线极化线极化波，它与波，它与z 分量合成后形成分量合成后形成椭圆极化椭圆极化波。波。 由于分量由于分量 比比 Ez 分分量的相位滞后，因此合成矢量的相位滞后，因此合成矢量形成的椭圆极化波是量形成的椭圆极化波是右旋右旋的。的。 )(yxEE (Ex + Ey)(Ex+Ey +Ez)Ez8. 平面波对理想介质边界斜投射平面波对理想介质边界斜投射 向平面边界向平面边界斜投射斜投射时，透射波的方向将发生偏折，时，透射波的方向将发生偏折，因此，这种透射波称为因此，这种透射波称为折射波折射波。入射角入射角、反射角反射角、折射折射角角，以及，以及入射面入射面、反射面反射面、折射面折射面的定义如下图所示。的定义如下图所示。 it1 12 2xz折射波折射波反射波反射波法线法线yr入射波入射波 可以证明，可以证明，入射线，反射线及折射线位于同入射线，反射线及折射线位于同一平面；一平面； 入射角入射角 i 等于反射角等于反射角 r ； 折射角折射角 t 与入射角与入射角 i 的关系为的关系为12tisinsinkk上述三条总称为上述三条总称为斯耐尔定律斯耐尔定律。111k222k 设入射面位于设入射面位于xz平面内，则平面内，则入入射波的电场强度射波的电场强度可以表示为可以表示为)coscos(ji0)coscoscos(ji0iii1iii1eezxkzyxkEEE)coscoscos(jr0rrrr1ezyxk EE)coscoscos(jt0tttt2ezyxk EE而而反反射波及射波及折折射波分别为射波分别为 上述等式对于上述等式对于任意任意 x 及及 y 变量均应成立，因此各项变量均应成立，因此各项指数中指数中对应对应的系数应该相等。的系数应该相等。由第一式得知，由第一式得知， ，即，即 0coscostr2tr可见，可见，反射线反射线和和折射线折射线均位于均位于 xz 平面。平面。t)coscos(jr0cosji0eerr1i1y