高中数学限时巩固训练苏教版选修21315空间向量的数量积

3.1.5空间向量的数量积双基达标(限时20分钟)1若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的_条件解析ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，不能成立答案充分不必要2已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|_.解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 60913.|a3b|.答案3如果a是一个非零向量，则ab(ca)c(ab)_.解析原式(ab)(ca)(ac)(ab)0.答案04已知向量a，b，c两两垂直，且|a|1，|b|2，|c|3，则(a2b3c)(3abc)_.解析因为向量a，b，c两两垂直，所以abaccb0，所以(a2b3c)(3abc)3a22b23c27ab8acbc16.答案165已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则_.解析由题意可知EFFG，EFFG，所以|cos.答案6.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，直线EF和BC1所成的角大小解设ABBCAA11，则AB1，BC1，由题意，所以cos，cos，所以，60.直线EF与BC1所成的角为60.综合提高（限时25分钟）7向量a与c不平行，b与c不平行，(ab)a(bc)c，dac，则b，d的夹角为_解析由题意可得abbc0，从而bdb(ac)0，所以b，d的夹角为.答案8若向量a，b，满足|a|b|ab|1，则|ab|_.解析因为|ab|1，所以|ab|21，即2ab1，所以|ab|222ab3，所以|ab|.答案9已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，向量ae1e2，be12e2，则a，b_.解析ab(e1e2)(e12e2)e122e22e1e212，|a|，|b|2，所以cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案10已知向量a，b，c满足|abc|，|a|3，|b|，|c|，则abbcca_.解析|abc|两边平方即得：|a|2|b|2|c|22(abbcca)|abc|2，即abbcca.答案11已知四边形ABCD是边长为1的正方形，SA底面ABCD，SA2，设G是ABC的重心，E是SD上的一点，且SE3ED.(1)试用基底，表示向量；(2)求线段GE的长解(1)延长AG交BC于F，则F是BC的中点，又()()()().(2)因为|2()()，所以|.12在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离解如图，因为ACD90，所以0，同理，0.因为AB与CD成60角，所以，为60或120因为，所以2222222222232cos，所以24或22，所以|2或，即B、D间的距离为2或.13(创新拓展)A，B，C是空间任意三个不同的点，它们关于某一点O，设a，b，c，求证：A，B，C三点在同一条直线上的充要条件是存在三个不为零的实数，使得 a b c0，且0.证明必要性：假设A，B，C三个不同的点在同一条直线上，则，是共线向量，而且它们都不是零向量，于是存在实数，使，这里，0且1(因为0时，为零向量；1时，C点与B点重合，这两种情况都不可能)由得：()，所以ca(ba)，所以(1)abc0，令1，1，则 a b c0，均不为零，且0.充分性：如果条件成立，即有不等于零的数，使 a b c0，且0，则()，故 a b()c0，即(ca)(bc)，两端各加(ca)，有()(ca)(ba)，所以ca(ba)，即 .所以与共线，又它们有同一始点A，所以与是同一直线上的两个向量，而且由于不等于零且不等于1，故A，B，C是三个不同的点综上，A，B，C三点共线