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高中数学总复习题组法教学案编写体例10.8 用空间向量求角与距离新课标要求能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题，了解法向量在研究立体几何问题中的应用。重点难点聚焦1、熟练应用向量方法求异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的大小；2、熟练掌握用向量方法求各种距离，特别是求点到平面距离的方法. 高考分析及预策1、异面直线所成角的问题，在转化成两相交直线所成的角去处理后，一定要注意角的范围的问题。2、在利用向量法求角的问题时，应注意各种角的范围，更要明白是哪两个向量的夹角，且两向量的起点必须平移到同一起点，否则便不能符合向量夹角的定义了。3、高考中常以棱柱、棱锥为载体，来考查空间距离的有关问题，实质上各种距离之间具有一定的相互转化关系，特别是点面距，他是求线面距和面面距的基础。因此同学们要熟练掌握，求点面距在高考中经常涉及到的方法有等体积转换、向量法等，当然如果能将距离作出来，然后利用解三角形的知识解决，也是一种很好的思路。再现型题组 1、若直线的方向向量与的方向向量的夹角是150度，则与这两条异面直线所成的角等于（ ） A、 B、 C、 或 D、以上均错2、若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于（ ） A、 B、 C、 D、以上均错3、在正三棱柱中，若，则点A到平面的距离为（ ）A、 B、 C、 D、4、设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为（ ） A、 B、 C、 D、5、若两个平面的法向量分别是，则这两个平面所成的锐二面角的度数是 。 巩固型题组 6、已知正三棱柱的棱长为2，底面边长为1，是的中点.（1）在直线上求一点，使；（2）当时，求点到平面的距离.（3）求出与侧面所成的角图97、如图，在正四棱柱中，已知，、分别为、上的点，且（）求证：平面；（）求点到平面的距离.8、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；PABCDE（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离提高型题组9、如图5所示，AF、DE分别是的直径。AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8。BC是的直径，AB=AC=6，OEAD。（1） 求二面角B-AD-F的大小；（2） 求直线BD与EF所成角的余弦值。10、如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1）求MN的长；（2）当为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值。反馈型题组11、已知异面直线a与b所成角为50，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成角都是30的直线有且仅有( )A1条B2条C3条D4条12、已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为 （ ）AarccosBarccosC D13、空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC=，则cos的值是（ ）A B C D014、5正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BC1与平面 A1BD所成的余弦值为（ ）A B C D15、在三棱锥中，又，则点到平面的距离是16如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB= （1）求证BCSC； （2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的 大小17、如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.()证明PQ平面ABCD; ()求异面直线AQ与PB所成的角;QPADCB图4()求点P到平面QAD的距离.10.8 用空间向量求角与距离（解答部分）再现型题组 1、 【提示或答案】A 【基础知识聚焦】考查异面直线夹角定义及其范围。2、 【提示或答案】C 【基础知识聚焦】考查线面角的定义及其范围。3、 【提示或答案】B，设BC中点为M，连接A、M，则所求距离为中A、M边上的高 【基础知识聚焦】考查点面距离的定义及求法。4、 【提示或答案】C 【基础知识聚焦】考查空间中点与点的距离。5、 【提示或答案】 【基础知识聚焦】考查二面角的定义及其范围。巩固型题组 6、（1）解法一：取共点于的三个不共面的已知向量为基向量， （1）解法二： :/ ks5u /7、解：()以为原点，以、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则于是且 平面 （）由()知，为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是故点到平面的距离为8、解：方法一、（1）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在AOE中，AO=1，OE=即AC与PB所成角的余弦值为. （2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC，从而NE面PAC.N点到AB的距离，N点到AP的距离方法二、（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），从而设的夹角为，则AC与PB所成角的余弦值为. （）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE面PAC可得， 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.提高型题组9、解：()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450；()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成角的余弦值为10、 解：（1）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 即, （2）由（1）知: ，(3)取MN的中点G，连接AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGMN,BGMN，AGB即为二面角的平面角。又，所以由余弦定理有。故所求二面角余弦值为。课堂小结1、应用向量作为工具求线线角，线面角，面面角，做题时要注意学会转换，空间角和向量角的范围区别；2、应用向量作为工具求空间中点线距，点面距，面面距，做题时要注意学会转换为，空间距离和向量数量积的区别。反馈型题组11、B 12、C13、D14、C15、 16、（1）证法一：如，底面ABCD是正方形， BCDCSD底面ABCD，DC是SC在平面ABCD上的射影，图1由三垂线定理得BCSC证法二：如图1，底面ABCD是正方形， BCDCSD底面ABCD，SDBC，又DCSD=D，BC平面SDC，BCSC（2）解：如图2，过点S作直线在面ASD上，底面ABCD为正方形，在面BSC上，为面ASD与面BSC的交线CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角（以下同解法一）图2（3）解1：如图2，SD=AD=1，SDA=90，SDA是等腰直角三角形又M是斜边SA的中点，DMSABAAD，BASD，ADSD=D，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影由三垂线定理得DMSB异面直线DM与SB所成的角为90图3解2：如图3，取AB中点P，连结MP，DP在ABS中，由中位线定理得 MP/SB，是异面直线DM与SB所成的角，又在DMP中，有DP2=MP2+DM2，异面直线DM与SB所成的角为90解：解法一（）连结AC、BD，设.由PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD.（）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD. 由（），QO平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，2），B（0，0）.QBCPADzyxO所以于是.从而异面直线AQ与PB所成的角是.()由（），点D的坐标是（0，0），设是平面QAD的一个法向量，由QBCPADOM得.取x=1，得.所以点P到平面QAD的距离.解法二（）取AD的中点，连结PM，QM.因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM. 从而AD平面PQM.又平面PQM，所以PQAD.同理PQAB，所以PQ平面ABCD.（）连结AC、BD设，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.因为OAOC，OPOQ，所以PAQC为平行四边形，AQPC.从而BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.因为，所以.从而异面直线AQ与PB所成的角是.()连结OM，则.所以PMQ90，即PMMQ.由（）知ADPM，所以PM平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.在直角PMO中，.即点P到平面QAD的距离是编者:博兴二中 从玉龙w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ks5u
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