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浅议数学建模 模拟论文 浅议数学建模 模拟论文 导读： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、X上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括X上查到的资料），必须按照规定的 浅议数学建模 模拟论文 导读： 而另外的40%只租一次。假设X站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了X站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从mcm.edu./mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是X站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是X站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。 字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会 员的在线订单中。（注：表2数据位于文件B2005Table2.xls中, 可从mcm.edu./mcm05/problems2005c.asp下载）摘要： 本文在DVD在线租赁背景下，对DVD 的租赁与归还，I叫方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。首先，对题中给出的表示会员对各DVD 的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Poission过程模拟DVD 归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD 采购量的问题。随后，建立 1整数线性规划模型并结合Lingo软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。结合抽样统计的知识，建立01规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题。关键词：随机服务模型；0-1整数规划；多目标规划：抽样统计；VIP机制一.问题重述随着信息时代的到来，X络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多X站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了X络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的 3 4 5 6 7 8 9 10 浅议数学建模 模拟论文 导读： 互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员， DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，X站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。X站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进X站提供的信封里寄回（邮费由X站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1.X站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设X站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2.表2中列出了X站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单（表2表格格式示例如下表2,具体数据请从mcm.edu./mcm05/problems2005c.下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。 3.继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是X站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？二模型假设 设每月租赁两次DVD的会员为A类会员，每月租赁一次DVD的会员为B类会员。1. 假设问卷调查所得数据符合统计规律。2. 假设邮寄时问可以忽略不计。3.假设不同会员对某种DVD的偏好指数是相互独立的。同?会员对不同种DVD的偏好 指数也是相互独立的。4. 假设DVD碟一经归还，立即租出。5. 假设A类会员在每月1日租借的碟15曰归还，再租借其它的碟到月底归还。B类会员 在每月1日租借碟，到月底归还6. 不同DVD的采购价格相同。三.参数说明mi：在一个月内第i种DVD准备的张数（i?1,2,3,4,5）;xj:一个月内租两次DVD的人在第一周期租到第j组（三张一组）DVD的人数（j?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）;x(1)j：一个月内租两次DVD的人在第二周期租到第j组（三张一组）DVD的人数;yj：一个月内租一次DVD的人租到第j组（三张一组）DVD的人数;tk: 第k个月借两次的会员对DVD1愿意租借的人数（k=1,2,3）;（同上假设，现为3个月，周期延长，可分别同理假设mi 3 4 5 6 7 8 9 10 浅议数学建模 模拟论文 导读：D2，DVD3，记为123，x2个人借到124，x3个人借到125x10个人借到345。当60%的人归还第一次借的DVD后，再借的DVD数类似上面(1)(1)假设设为x1,x1(10)。,x2对于DVD1为了有足够的DVD借给会员，必有?6?xi?m1?i?1?610?x?x(1)?100000?20%?60%?50%?6000?i?i?i?7?i?1(1)(2)10当一个月内租两次的会员借完第二次DVD以后，余下的 (1),mi(2),mi(3)，i?1,2,3,4,5；(3)(4)(5)(1)(2)；。 x(2),x,x,xy,yjjjjjj；j?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）xijij：表示第i个会员对第j种DVD的偏爱程度; ijy:表示第i个会员租到第j种DVD的数量，且y=0或1;?1?x,xij?0cij?ij：表示第i个会员对第j种DVD的偏爱程度。?0，其它? 四.问题分析 为了求表1中五种DVD的最少准备数，在获得最大满意度的前提下，以尽量租完五种DVD为目标找一种租赁方案，使得其准备量最少，这样就可以解决问题（1）。对于问题（2）和（3），我们在约束条件下求最大的满意度，由于数据比较多，人工计算很难实现问题的解决，于是我们可以用数学软件lingo在合理的线形条件下可以解出问题的最优解。 五.模型建立与求解 模型一在一个月的时间内，为了求表一中的DVD最少准备张数，我们设计方案使得表一中的五中DVD尽量被借完，此时求得的值即为DVD最少准备张数。由于60%的会员一个月可以借两次，其余可以借一次，于是设计下面方案使得表一中的DVD尽量被借完，先借给60%的会员，待其半个月归还后再借给另外40%的会员。 先考虑60%的会员租赁DVD假设五种DVD准备张数分别为m1,m2,m3,m4,m5,其对应的愿意观看人数分别为100000?20%?60%，100000?10%?60%。假设有x1个人借到DVD1，DVD2，DVD3，记为123，x2个人借到124，x3个人借到125x10个人借到345。当60%的人归还第一次借的DVD后，再借的DVD数类似上面(1)(1)假设设为x1,x1(10)。 ,x2对于DVD1为了有足够的DVD借给会员，必有?6?xi?m1?i?1?610?x?x(1)?100000?20%?60%?50%?6000?i?i?i?7?i?1(1)(2)10当一个月内租两次的会员借完第二次DVD以后，余下的DVD1数量为m1?xi(1)，下i?7面由余下40%的会员借，类似上面假设定义y1,y2,y3y10,为使余下的DVD被借完必有106?(1)(3)?m1?xi?yi?i?7i?1?6?y?100000?20%?40%?50%?4000(4)?i?i?1 由式子（1）、（2）、（3）、（4）得m1?6000?m1?400解得m1?5000。同理可求得m2?2500,m3?1250,m4?625,m5?250。故：DVD1的最少存储量为5000，DVD2的最少存储量为2500，DVD3的最少存储量为1250，DVD4的最少存储量为625，DVD5的最少存储量为250。 当时间是三个月的时候，同样以半个月为周期，先让60 3 4 5 6 7 8 9 10 浅议数学建模 模拟论文 导读：2?2357，m3?1179，m4?589，m5?295。故：DVD1的最少存储量为4750，DVD2的最少存储量为2357，DVD3的最少存储量为1179，DVD4的最少存储量为589，DVD5的最少存储量为295。模型二由前面假设?1?x,xij?0cij?ij：表示第i个会员对第j种DVD的偏爱程度；?0，其它?0，第i个会员没有租到第j种DVDy?ij第i个会员租到第j种DVD %的一个月借两次的会员借，待半个月后让另外40%的会员借，60%的会员先还后借，后面依次交替借还，假设五种DVD准备张数分别为m1,m2,m3,m4,m5。 (1)(1)(1)同上定义x1、x2、x3x10,y1,y2,y3y10和x1,x10，此问题与上面一,x2个月时的问题最大的区别是DVD是在三个月后才被借完的，因此假设60%的借两次的会员对DVD1愿意租借的人数100000?20%?60%分三个月承担，分别设为t1、t2、t3,则t1?t2?t3=12000。 其它变量的定义类似第一小问，具体设置如下表：对于DVD1，由上面所说的借还先后顺序可列出下面不等式：10?6(1)?xi?xi?95%t1?i?1i?7?6?y?95%?2t?i1?3?i?1106 ?(1)(1)?m1?m1?xi?yii?7i?1? ?6(2)10(3)?xi?xi?95%t2i?7?i?1 ?6(1)2 ?yi?95%?t23?i?1 106?(2)(1)(3)(1) m?m?x?y?11ii?i?7i?1 ?6(4)10(5) ?xi?xi?95%t3i?7?i?1?6(2)2?yi?95%?t3 3?i?1 最后DVD被租完，m(2)1?xi?710(5)i?yi(2)i?16。又由题意显然有：?xi?16i?m1； ?xi?16(2)i?m1； ?xi(4)?m1； i?16由以上不等式可得：2m1?95%(t1?t2?t3)+95%?(t1?t2?t3)-3m1； 3解得m1的最小值为4750，同理可得m2?2357，m3?1179，m4?589，m5?295。 故：DVD1的最少存储量为4750，DVD2的最少存储量为2357，DVD3的最少存储量为1179，DVD4的最少存储量为589，DVD5的最少存储量为295。 模型二 由前面假设?1?x,xij?0cij?ij：表示第i个会员对第j种DVD的偏爱程度；?0，其它?0，第i个会员没有租到第j种DVD y? ij第i个会员租到第j种DVD?1，（i=1，2，100;j=1,2,20；cij= 0时表示对应的DVD不在会员的在线定单中）。设Z表示会员获得的满意度，故有：目标函数：maxZ?cijy；i?1j?1ij10020 ?202，100)?yij?0或3;(i?1，?j?1?100ST:?y?bj;（j?1,2,20；bj表示第j种DVD的存储量）。ij?i?1?0或1;(i?1,2，100;j?1,2，20)?yij?具体运算过程见附 3 4 5 6 7 8 9 10 浅议数学建模 模拟论文 导读：六.模型检验把模型解出的最优解代回原问题中去，发现与题意非常符合，再把模型一、模型二、模型三放到实际生活中进行检验，我们发现在实际应用中，DVD在线租赁问题与模型基本相吻合，说明这三个模型对X站如何根据会员的满意度来决定DVD的购买量起到一定的参考作用，具有实际意义。七.模型改进（1）模型（一）是考虑到先将 录一 模型三同模型二假设xij为会员的在线定单数字，y表示第i个会员租到第j种DVD的数ij量，且y=0或1。ij目标函数：maxZ?cijy；i?1j?1ij10020?10020?yij?95%?100?3?i?1j?1?20ST：?yij?0或3?j?1?y?0或1；(i?1,2.100;j?1,2.20)?ij?用数学软件lingo可解出yij；则DVDj的购买量为?yij。100 六.模型检验把模型解出的最优解代回原问题中去，发现与题意非常符合，再把模型一、模型二、 模型三放到实际生活中进行检验，我们发现在实际应用中，DVD在线租赁问题与模型基本相吻合，说明这三个模型对X站如何根据会员的满意度来决定DVD的购买量起到一定的参考作用，具有实际意义。 七.模型改进（1）模型（一）是考虑到先将DVD全部借给60%的会员，待其半个月归还后再借给另外40%的会员。虽然这样可以得到DVD的最少准备量，但是对40%的人来说是不公平的。（2）模型（二）会员的满意度除了受会员的偏爱程度和购买该种DVD的人数影响外，还受其它因数影响。例如：价格和DVD的质量。(3)此问题的模型中会员的还款周期为半个月或一个月，不太符合现实生活，因为顾客在借完碟后一般情况下在短时间内就可还碟，而且厂家为了赚取更多的利润，必定希望顾客的还碟周期缩短，因此把把半个月缩短为一周更符合实际情况。 八. 浅议数学建模 模拟论文 导读：00000X(C0001,D010)0.000000-0.2000000X(C0001,D011)0.000000-0.1430000X(C0001,D012)0.0000000.000000X(C0001,D013)12345678910 my(i,j):x(i,j)<=Q(j);for(m(i):bin(c(i);for(m(i):sum(my(i,j):x(i,j)=3*c(i); DATA:m=ole(E:2005D.XLS,cy);n=ole(E:2005D.XLS,dvd);ay=ole(E:2005D.XLS,ayt2); Q=ole(E:2005D.XLS,Q); ENDDATAEND Global optimal solution found at iteration: 95Objective value: 152.9950 Variable Value Reduced CostX( C0001, D001) 0.000000 0.000000X( C0001, D002) 0.000000 0.000000 X( C0001, D003) 1.000000 -0.5000000 X( C0001, D004) 0.000000 0.000000 X( C0001, D005) 0.000000 0.000000 X( C0001, D006) 0.000000 0.000000 X( C0001, D007) 0.000000 -0.1110000 X( C0001, D008) 0.000000 -1.000000 X( C0001, D009) 0.000000 0.000000 X( C0001, D010) 0.000000 -0.2000000 X( C0001, D011) 0.000000 -0.1430000 X( C0001, D012) 0.000000 0.000000 X( C0001, D013) 3 4 5 6 7 8 9 10 浅议数学建模 模拟论文 导读：014)0.000000-0.1250000X(C0001,D015)016)0.000000-0.3330000X(C0001,D017)1.000000-0.1670000X(C0001,D018)019)020)1.000000-0.2500000X(C0002,D001)1.00 0.000000 0.000000 X( C0001, D014) 0.000000 -0.1250000 X( C0001, D015) 0.000000 0.000000 X( C0001, D016) 0.000000 -0.3330000 X( C0001, D017) 1.000000 -0.1670000 X( C0001, D018) 0.000000 0.000000 X( C0001, D019) 0.000000 0.000000 X( C0001, D020) 1.000000 -0.2500000 X( C0002, D001) 1.000000 -1.000000 X( C0002, D002) 0.000000 0.000000 X( C0002, D003) 0.000000 -0.1110000 X( C0002, D004) 0.000000 0.000000 X( C0002, D005) 0.000000 0.000000 X( C0002, D006) 1.000000 -0.1430000 X( C0002, D007) 0.000000 0.000000 X( C0002, D008) 0.000000 0.000000 X( C0002, D009) 0.000000 -0.2500000 X( C0002, D010) 0.000000 0.000000 3 4 5 6 7 8 9 10 浅议数学建模 模拟论文 导读：0-0.5000000X(C0002,D013)0.0000000.000000X(C0002,D014)0.000000-0.1670000X(C0002,D015)0.000000-0.3330000X(C0002,D016)0.0000000.000000X(C0 X( C0002, D011) 0.000000 0.000000 X( C0002, D012) 1.000000 -0.5000000 X( C0002, D013) 0.000000 0.000000 X( C0002, D014) 0.000000 -0.1670000 X( C0002, D015) 0.000000 -0.3330000 X( C0002, D016) 0.000000 0.000000 X( C0002, D017) 0.000000 0.000000 X( C0002, D018) 0.000000 -0.1250000 X( C0002, D019) 0.000000 -0.2000000 X( C0002, D020) 0.000000 0.000000 X( C0003, D001) 0.000000 0.000000 X( C0003, D002) 0.000000 -0.1670000 X( C0003, D003) 0.000000 0.000000 X( C0003, D004) 0.000000 0.000000 X( C0003, D005) 0.000000 0.000000 X( C0003, D006) 0.000000 -0.1430000 X( C0003, D007) 0.000000 0.000000 X( C0003, D008) 0.000000 0.00000 3 4 5 6 7 8 9 10 浅议数学建模 模拟论文 导读：0.000000X(C0003,D010)0.0000000.000000X(C0003,D011)0.0000000.000000X(C0003,D012)0.000000-0.2500000X(C0003,D013)1.000000-1.000000 0 X( C0003, D009) 0.000000 0.000000 X( C0003, D010) 0.000000 0.000000 X( C0003, D011) 0.000000 0.000000 X( C0003, D012) 0.000000 -0.2500000 X( C0003, D013) 1.000000 -1.000000 X( C0003, D014) 0.000000 -0.3330000 X( C0003, D015) 0.000000 -0.1250000 X( C0003, D016) 0.000000 0.000000 X( C0003, D017) 1.000000 -0.5000000 X( C0003, D018) 0.000000 0.000000 X( C0003, D019) 0.000000 -0.1110000 X( C0003, D020) 1.000000 -0.2000000 X( C0098, D006) 1.000000 -0.5000000 X( C0098, D007) 1.000000 -0.1430000 X( C0098, D008) 0.000000 0.000000 X( C0098, D009) 0.000000 0.000000 X( C0098, D010) 0.000000 -0.2500000 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11