河南省中原名校高三上学期第一次质量考评数学理解析版

2018届河南省中原名校高三上学期第一次质量考评+数学（理）（解析版）第卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的1. 已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是A. CU（AB）C B. CU（BC）A C. ACU（BC） D. CU（AB）C【答案】C【解析】阴影部分由属于集合A，但不属于BC的元素构成.故选：C点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 已知xC，若关于x实系数一元二次方程ax2bxc0（a，b，cR，a0）有一根为1i则该方程的另一根为A. 1i B. 1i C. 1i D. 1【答案】B【解析】两根之和为实数，排除A，D两根之积为实数，排除C故选：B3. 已知函数f（x）e1xe1x，则满足f（x2）e21的x的取值范围是A. x3 B. 0x3 C. 1xe D. 1x3【答案】D【解析】由题意,可知: f（x）为偶函数, f（x）在0，+上单调递增且f（1）=e21f（x2）e21=f1，即x21,解得：1x3故选：D4. 己知数列an为正项等比数列，且a1a32a3a5a5a74，则a2a6A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】数列an为正项等比数列，且a1a32a3a5a5a74，即a2+a62=4，a2+a6=2故选：B5. 市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器。经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为1720，而实体店里的家用小电器的合格率约为910。现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是A. B. C. D. 【答案】A【解析】不合格小电器在网上购买的概率为，不合格小电器在实体店购买的概率为15110=150，这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是.故选:A 6. 已知：sincos，则cos2cos2的取值范围是A. 2，2 B. ，2 C. 2， D. ，【答案】D【解析】cos2cos2=1-2sin2+2cos2-1=2sincoscos-sin又sincos，cos=32-sin，易得：sin12，1cos-sin=32-2sin-12，12，2sincoscos-sin=3cos-sin，.故选：D7. 某篮球运动员6场比赛得分如下表：（注：第n场比赛得分为an）n123456an1012891110在对上面数据分析时，一部分计算如右算法流程图（其中a是这6个数据的平均数），则输出的s的值是A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】a=10+12+8+9+11+106=10，由题意，易得：= 故选：C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 已知：x(x2)8a0a1（x1）a2（x1）2a9（x1）9，则a6A. 28 B. 448 C. 112 D. 448【答案】A【解析】x(x2)8=x-1+1x-1-18，当第一个因子取时，第二个因子取当第一个因子取1时，第二个因子取C82x-16-12=28故a6-56+28=-28故选：A9. 某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是A. 27 B. 272C. 9 D. 274【答案】A【解析】根据三视图可知，该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥，故外接球直径即正方体的体对角线长2R=33，S球=4R2=27故选：A10. 已知抛物线C：y24x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E若2BE，则直线l的斜率为A. 3 B. 22 C. 3 D. 1【答案】B【解析】分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线，交准线于D、C两点垂足分别为D，C，设AF=m，BF=n，由抛物线的定义可知：BC=n，AD=m，由AE2BE，则B为AE的中点，则AD=2BC，即m=2n在RTCBE中，BC=n，BE=AB=3n，CE=22ntanCBE=CEBC=22，直线l的斜率k=tanAFx=tanCBE=22，故选：B11. 设r是方程f（x）0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0）做曲线yf（x）的切线l，l的方程为yf（x0）f(x0)（xx0），求出l与x轴交点的横坐标x1x0，称x1为r的一次近似值。过点（x1，f（x1）做曲线yf（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2x1f(x1)f(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，xn1xnf(xn)f(xn)，称为r的n1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。已知6是方程x260的一个根，若取x02作为r的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，A. 24494 B. 24495 C. 24496 D. 24497【答案】B【解析】fx=2x,f2=4，点2，-2处的切线方程为：y+2=4x-2,解得：x1=2.5又xn+1xnf(xn)f(xn)=xn-xn2-62xn=12xn+3xnx2=12x1+3x1=2.45 x3=12x2+3x22.4495.故选：B12. 己知函数f（x）在定义域（，）上是单调增函数，则实数a的取值范围是A. （， B. ，） C. ， D. (，)【答案】C【解析】函数f（x）在定义域（，）上是单调增函数，所以y=2alnx在（1，）上单调递增（1），y=exax2在-，1上单调的增（2），且e-a2a（3）（1）显然恒成立，aR；（2）y=ex-2ax0在-，1上恒成立，当时，；当x-，0时，2aexx，即gx=exx，gx=exx-1x2,gx在-，0上单调递减，x-时，gx0，即gx0g1e0，解得：0a2e-33e2故答案为：(0,2e-33e2)点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题：（1721题每题12分；22、23题二选一 10分）17. ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c已知：（1tanA）（1tanB）2（1）求角C；（2）若b22，c4，求ABC的面积SABC【答案】（1）45（2）2+23【解析】试题分析：（1）利用两角和正切公式，得到：tanA+B=-1，即A+B=34，故C=4；(2)利用正弦定理bsinB=csinC得到：sinB=12，即B=6，又试题解析：由（1tanA）（1tanB）2，得1-tanA-tanB+tanAtanB=2，即tanA+tanB1-tanAtanB=-1，tanA+B=-1，A+B=34，由三角形内角和定理知：C=4.(2)由正弦定理知：bsinB=csinC，易得：sinB=12，又bc，B=6，C=4，故A=712，再由SABC=12bcsinA求出结果.sinA=sin4+6=6+24，SABC=12bcsinA=122246+24=2+23点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAD平面ABCD，PAAB（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若PAPDADDC，求二面角APBC的余弦值【答案】（1）略（2）77【解析】试题分析：（1）利用面面垂直得到PE平面ABCD,进而得到PEAB，又PAAB，AB平面PAD，ABAD，四边形ABCD是矩形；（2）以A为的原点，AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量m=0，3，-1，平面PBC的法向量n=3，0，2，cosm，n=-77，求得二面角APBC的余弦值试题解析：（1）证明：过P在平面PAD内作PEAD于E点，又平面PAD平面ABCD，PE平面ABCD，AB平面ABCD，PEAB，又PAAB，且PEPA=PAB平面PAD，AD平面PAD，ABAD，又底面ABCD是平行四边形四边形ABCD是矩形；（2）由（1）可知：E为AD的中点.以A为的原点，AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系，设AB=2易得：A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0,P(0,1,3),AB=2,0,0,AP=(0,1,3),BC=0,2,0,CP=-2,-1,3设平面PAB的法向量m=x1，y1，z1,mAB=0mAP=0,即2x1=0y1+3z1=0，m=0，3，-1设平面PBC的法向量n=x2，y2，z2nBC=0nCP=0,即2y2=0-2x2-y2+3z2=0，n=3，0，2cosm，n=mnmn=-247=-77所以二面角APBC的余弦值-77.点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名 （1）试问此次参赛的学生总数约为多少人? （2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人?附：P（X）0683，P（X2）0954，P（X3）0997【答案】（1）696 （2）110【解析】试题分析：（1）由题意首先确定正态分布中，的值，然后结合正态分布的性质求解参赛人数即可；（2）利用（1）的结论结合正态分布图象的对称性即可确定需要奖励的学生人数试题解析：设参赛学生的成绩为X，因为XN（70，100），所以=70，=10，则=121-0.954=0.023，160.023696（人）因此，此次参赛学生的总数约为696人（2）由P（X80）=P（X60）=121-P60X80=121-P-X+=121-0.683=0.1585得6960.1585110因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人20. 如图，设M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l1：x3的距离的比是常数33， （1）求点M的轨迹曲线C的方程： （2）过定点F的直线l2交曲线C于A、B两点，以O、A、B三点（O为坐标原点）为顶点作平行四边形OAPB,若点P刚好在曲线C上，求直线l 2的方程【答案】（1）x23+y22=1(2)y=(2x2)【解析】试题分析：（）设点M（x，y），利用条件可得等式，化简，可得曲线C的轨迹方程；（）联立方程，即，利用韦达定理得到P，带入椭圆方程得到，从而求出直线l 2的方程.试题解析：（）设点M（x，y），则据题意有x-12+y2x-3=33，则3（x1）2+y2=（x3）2，即2x2+3y2=6，x23+y22=1，故曲线C的方程为x23+y22=1.（）当直线l 2的斜率不存在时，显然不适合题意；当直线l 2的斜率存在时，设直线l 2的方程：y=kx-1联立方程：x23+y22=1y=kx-1，得2+3k2x2-6k2x+3k2-6=0，设Ax1，y1，Ax2，y2，则x1+x2=6k22+3k2，即P6k22+3k2，-4k2+3k2,又点P刚好在曲线C上，解得：k=2.所以直线l 2的方程为：y=(2x-2)21. 己知：f（x）（2x）exa（x1）2 （aR） （1）讨论函数f（x）的单调区间： （2）若对任意的xR，都有f（x）2ex，求a的取值范围【答案】(1)当a0时，函数在(,1)上递增，在(1,+)上递减；当0ae2时，函数在(,1)，(ln2a,+)上递减在(1,ln2a)上递增；当a=e2时，函数在R上递减;（2）孤立a,a122e12【解析】试题分析：（1）求出导函数f（x）1-xex-2a，分类讨论得到函数f（x）的单调区间；（2）对任意的xR，都有f（x）2ex等价于a（x1）2xex对任意的xR恒成立，当x1时，axexx-12，记gx=xexx-12，求出gx的最小值即可.试题解析：（1）由f（x）（2x）exa（x1）2，得：f（x）1-xex-2a,当a0时，ex-2a0，函数在(-,1)上递增，在(1,+)上递减；当0ae2时，函数在(-,1)，(ln2a,+)上递减在(1,ln2a)上递增；当a=e2时，函数在R上递减;（2）（2x）exa（x1）22ex对任意的xR恒成立，等价于a（x1）2xex对任意的xR恒成立.当x=1时，aR当x1时，axexx-12，记gx=xexx-12gx=exx1x2-2x-1x-14,gx在-，1-2上单调递减，1-2，1上单调递增，1，1+2上单调递减，1+2，+上单调递增，gx的最小值在g1-2，g1+2取到，经比较最小值为：g1-2=1-22e1-2故a1-22e1-2.22. 【选修44：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线l的参数方程为x12aty12t（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin （1）在直角坐标系中，若以过原点的直线的倾斜角为参数，求出曲线C的参数方程 （2）求直线l与曲线C相交弦的最小值【答案】(1)x=2sincosy=2sin2（为参数）；(2)2【解析】试题分析：（1）曲线C的极坐标方程为=2sin，即2=2sin，利用互化公式可得：x2+y2=2y，配方利用平方关系可得参数方程（2）直线l的参数方程为x12aty12t（t为参数），可得直线l经过定点P12，12当直线lCP时，直线l与曲线C相交弦的弦长最短，利用勾股定理、两点之间的距离公式即可得出试题解析：（1）曲线C的极坐标方程为=2sin，即2=2sin，利用互化公式可得：x2+y2=2y，配方为：x2+（y1）2=1，圆心C（0，1），半径r=1可得参数方程：x=cosy=1+sin，（为参数）（2）直线l的参数方程为x12aty12+t（t为参数），可得直线l经过定点 P12，12当直线lCP时，直线l与曲线C相交弦的弦长最短为212-122+12-12=223. 【选修45：不等式选讲】 已知：f（x）xax1 （1）当a1时，求不等式f（x）3的解集； （2）若对任意的xR，f（x）3恒成立，求a的取值范围【答案】（1）(-1.5,1.5);(2)a2或a4【解析】试题分析：（1）f（x）2x,x12,-1x1-2x,x-1，分成三段解不等式即可；（2）对任意的xR，f（x）3恒成立，即f（x）的最小值3，而f（x）xa-x1=a+1，从而得到a的取值范围试题解析：（1）当a1时，f（x）x1x1=2x,x12,-1x1-2x,x-1,依题意，有：x12x3或-1x123或x-1-2x3解得：1x1.5,或-1x1或-1.5x-1，故解集为：(-1.5,1.5)(2)f（x）xax1xa-x1=a+1若对任意的xR，f（x）3恒成立，则a+13，解得：a2或a-4点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向