江苏省常州市2020高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案

江苏省常州市2020届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案常州市教育学会学业水平监测高三数学试题参考公式：圆锥的体积公式：，其中是圆锥的底面积,是高.样本数据,的方差，其中.一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,共70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.1.若集合,则集合 .2命题“，”是 命题（选填“真”或“假”)3.若复数满足（其中为虚数单位)，则 .若一组样本数据,，的平均数为，则该组样本数据的方差为5.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是 .6函数的定义域记作集合，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数,，)，记骰子向上的点数为,则事件“”的概率为 .7.已知圆锥的高为,体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是，则该圆台的高为 .8.各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 .9.在平面直角坐标系中，设直线：与双曲线：的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧,则双曲线的离心率的取值范围是 .10.已知实数，满足则的取值范围是 .11.已知函数,其中,若过原点且斜率为的直线与曲线相切,则的值为 .12.如图，在平面直角坐标系中，函数的图像与轴的交点,满足,则 13.在中，,，,为内一点（含边界），若满足，则的取值范围为 14.已知中，所在平面内存在点使得,则面积的最大值为 .二、解答题:本大题共6小题，共计0分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知中,，分别为三个内角，,的对边，（1）求角；(2）若，求的值.16.如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，,点是棱上异于、的一点.（1)求证:;（）过点和的平面截四棱锥得到截面（点在棱上),求证：.已知小明（如图中所示)身高米，路灯高米,，均垂直于水平地面，分别与地面交于点,.点光源从发出，小明在地上的影子记作.(1）小明沿着圆心为,半径为米的圆周在地面上走一圈,求扫过的图形面积;(2）若米,小明从出发,以米/秒的速度沿线段走到,且米.秒时,小明在地面上的影子长度记为(单位:米),求的表达式与最小值18.如图,在平面直角坐标系中,椭圆:的右焦点为,点是椭圆的左顶点,过原点的直线与椭圆交于,两点(在第三象限),与椭圆的右准线交于点.已知,且.（）求椭圆的离心率;(2)若,求椭圆的标准方程 19.已知各项均为正数的无穷数列的前项和为,且满足（其中为常数),数列满足.(1)证明数列是等差数列,并求出的通项公式;(2）若无穷等比数列满足:对任意的，数列中总存在两个不同的项,使得，求的公比. 0.已知函数，其中为常数.（1）若,求函数的极值;（2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;（3）若，设函数在上的极值点为，求证:.常州市教育学会学业水平监测数学（附加题)2.【选做题】在A、B、D四小题只能选做两题,每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1：几何证明选讲在中，是边上一点,且，与的外接圆相切，求的值.B选修-2：矩阵与变换已知矩阵不存在逆矩阵,求：（1)实数的值;（2）矩阵的特征向量.C.选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系曲线的参数方程为（为参数）,直线的极坐标方程为，直线与曲线交于,两点，求的长.D.选修4-：不等式选讲已知，求证：.【必做题】第题、第23题，每题10分,共计2分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2.已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量的值：若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);若这两条棱所在的直线平行，则;若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制)（)求的值；(）求随机变量的分布列及数学期望.23记(且)的展开式中含项的系数为,含项的系数为(1）求；()若,对成立,求实数的值；(）对（）中的实数用数字归纳法证明:对任意且，都成立.常州市教育学会学业水平监测高三数学参考答案一、填空题1. 2.真 3. 5 6.7. 8. . 11. 11. .二、解答题5.解:(1）由正弦定理得, 中,，所以,所以，,所以;（2）因为,由正弦定理得，所以，.16.(1)证明：平面，平面,所以,记,交于点,平行四边形对角线互相平分,则为的中点,又中，,所以，又，,平面，所以平面，又平面所以;(2）四边形是平行四边形,所以，又平面,平面,所以平面,又平面，平面平面，所以，又，所以.1解:(1)由题意，则，所以,小明在地面上的身影扫过的图形是圆环，其面积为（平方米)；(2)经过秒,小明走到了处,身影为,由(1)知,所以化简得,，当时，的最小值为.答：,当（秒）时，的最小值为(米)18.解:（)由题意,消去得,解得，所以，,所以;(2)由(1）,右准线方程为，直线的方程为,所以，,所以,，所以，椭圆的标准方程为.9解:（1)方法一：因为，所以，由得,，即，又，则,即.在中令得,即.综上,对任意，都有,故数列是以为公差的等差数列.又,则.方法二:因为,所以,又,则数列是以为首项，为公差的等差数列，因此，即.当时，,又也符合上式,故.故对任意,都有，即数列是以为公差的等差数列(）令，则数列是递减数列,所以.考察函数，因为,所以在上递增,因此,从而.因为对任意,总存在数列中的两个不同项,，使得,所以对任意的都有，明显.若，当时，有，不符合题意,舍去；若,当时,有，不符合题意,舍去；故.20.解:(）当时，定义域为,，令,得.极大值当时,的极大值为，无极小值.（2),由题意对恒成立.,对恒成立,对恒成立.令,，则，若,即，则对恒成立,在上单调递减,则,，与矛盾,舍去;若,即，令,得,当时,，单调递减,当时，单调递增,当时,.综上(3)当时，,令，,则,令，得，当时,，单调递减,恒成立,单调递减，且.当时,，单调递增，又,存在唯一，使得，当时,，单调递增，当时，,单调递减，且，由和可知,在单调递增,在上单调递减，当时,取极大值，,又,，.常州市教育学会学业水平监测高三数学（附加题）参考答案21.解:记外接圆为，、分别是圆的切线和割线,所以，又,所以与相似,所以，所以,.B.解:(1）由题意，即，解得;(2），即，所以,解得，时，,，属于的一个特征向量为;时,，属于的一个特征向量为.解:曲线:,直线:，圆心到直线的距离为，所以弦长.证明：,，不妨设,则,，由排序不等式得,所以.2解:根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到，为等腰直角三角形,的可能取值为:,，,共种情况，其中：时，有种；时,有种；时，有种;（);（2），根据()的结论,随机变量的分布列如下表:根据上表, 23.解:(）.（)，则 解得，,，（3）当时,由(2）知等式成立；假设（，且）时，等式成立，即; 当时，由 知，所以,又,等式也成立；综上可得,对任意且,都有成立.