平面几何题的证明方法

等积变比例 构造相似形例谈一类平面几何题的证明方法2010-11-19 14:33 来源： 文字大小：【大】【中】【小】在初中数学习题中，有一类平面几何题，一般要应用相似三角形的性质，来证明线段乘积相等的结论。例如，若用a、b、c、d分别表示四条线段的长度，则或都是表示线段乘积相等的式子，可统称为等积式。我们证明线段等积式成立的基本思路是：首先将等积式变形为比例式，即由，由或；然后构造两个相似三角形，使要求证的等积式中的线段分别为对应边，再根据两相似三角形中对应边成比例的性质，很容易得到证明。简言之，我们的思路是：先将等积式变为比例式，构造相似三角形；再由对应边成比例的性质，将比例式化为等积式，便可得证。下面举例说明。一、等积变比例，直接构造相似形例1 如图1所示，已知ABC是直角三角形，ACB=90，CD是斜边AB上的高。求证：（1）斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项，即（2）每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，即图1分析：本题要证明的是直角三角形中的3个比例中项式，都是线段的等积式。在式中，欲证成立须证明比例式成立，由分子上的两条线段和分母上的两条线段可直接构造两个相似三角形，即BCD和CAD必相似。同理，在式和式中，欲证成立须证比例式成立，由分子、分母上的两条线段可直接构造两个相似三角形，即ABC。欲证成立须证明比例式成立，由分子、分母上的两条线段可直接构造两个相似三角形，即CBDABC。证明：（1）BCDCAD（2）ACDABC同理CBDABC例2 （2005年黄冈中考试题）如图2所示，已知圆O的弦AB垂直于直径CD于F，点E在AB上，且EA=EC。（1）求证：（2）延长EC到点P，连结PB，若PB=PE，试判断PB与圆O的位置关系，并说明理由。图2分析：欲证须证可直接构造两个相似三角形，即ABCACE。解答：（1）因为ABCD所以又因为AE=EC，AC=BC所以1=2=3故ABCACE（证毕）（2）因为PE=PB所以PEB=1+2=23PBE=4+3=23所以4=3连结BO，因为OB=OC所以OCB=OBC在RtBFC中，OCB+3=90所以OBC+4=OBC+3=90即PBOB，故PB切圆O于B点。二、采用等量代换法，间接构造相似形有些习题，将线段的等积式化为比例式后，难以直接构造相似三角形，为此要采用线段的等量代换，可间接获得相似形。举例说明。例3 （2001年甘肃省中考试题）如图3所示，圆O与圆A相交于C、D两点，A点在圆O上，过A点的直线与CD、圆A、圆O分别交于F、E、B，求证：。图3分析：欲证须证，但AE、EF和AB都在同一直线上，不能直接构成两个相似三角形，因此须采用线段的等量代换法，间接构造相似形。因为C、D、E三点都在圆A上，故AC=AD=AE，可用AD代换AE。欲证明成立可证AB须证可构造两个相似三角形，即ABDADF。证明：连结AD、BD、BC在圆O中ABDADF（证毕）例4 （2004年哈尔滨市中考题）如图4所示，BD是圆O的直径，弦ACBD，垂足是E，BA和CD的延长线交于点P。求证：（1）AB=BC；（2）CDPC=PAAB。图4分析：（1）由垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧，故AE=EC，故AB=BC，AD=CD。（2）欲证明CDPC=PAAB须证为此要构造两相似三角形，分母上的两线段可构成PAC，但分子上的两条线段无法构成三角形，故采用等量代换法，AB=BC，可将AB用BC代换得，分子上的两线段构成RtBCD，与钝角PAC不相似。再由CD=AD，可用AD代换CD，得可得PDAPBC，于是两次应用等量代换，便构成两相似三角形，使结论得证。证明：（1）因为BDAC于E所以故AD=CD，AB=BC（等弦对等弧）（2）连结AD，在PDA和PBC中，P为公共角，ADP=ABC（圆内接四边形的外角等于它的内对角），故PDAPBC将AD=CD，BC=AB代入上式得CDPC=PAAB（证毕）例5 （2002年鄂州市中考题）如图5所示，在圆O的内接等边三角形ABC中，经过A点的弦与弦BC和分别交于点D和P，连结PB、PC。求证：。图5分析：本题所求证的结论是关于线段长度乘积的多项式，涉及6条线段，故须采用等量代换法进行化简，最后纳入等积变比例，构造相似形的思路解决。证明：因为，在APC和BPD中，1=2，3=4=60所以APCBPD所以因为3=6=60，5=5所以ABDABP所以又所以，即，注意：本题的内涵丰富，需要进一步挖掘：例如：请写出本题中所有相似三角形，共有几对？求证：。