概率论与数理统计参考答案

概率统计参考答案（海南大学，潘伟王志刚版本）第一章 随机事件及其概率1、解 （1）AUBUC；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2、解 根据题意，则 （1）；（2）；（3）.3、解 根据图示：如上图所示，有，所以.4、解 （1） ； （2） =1-0.4-0.25+0.15=0.2。5、解 设A=“恰好排成MATHEMATICIAN”，样本空间的样本点数为，事件A中的样本点数为（字母M,A,I,T各自的重复数相乘），所以6、解 设A=“三件产品中恰好有一件是次品”，根据产品抽样问题，则7、解 设A=“12名同学的生日都集中在第二季度”，则8、解 设A=“第三次才抽到次品”，若A发生，则意味着前两次都抽到正品，则。9、解 设A=“一人要等另一人半小时以上”。两人等多长时间与两人到达校门口的时刻有关，设x，y分别表示两人到达校门口的时刻，根据题意，有，所以样本空间为 ，3000YX事件，图示如下：根据几何概型，0YX 62460（第9题） （第10题）10、解 设两游轮到达港口的时刻分别为x和y，根据题意，x，y满足0=x,y=24，即样本空间为，又设事件A=“两船使用泊位发生冲突”，则A发生的充分必要条件为0|x-y|6，即A=，将事件和样本空间图示如上，根据几何概型， 11、解 设取到的两个数分别为x和y根据题意，样本空间为，又设事件A=“两个数的和不大于2/9，两个数的和不大于1”，即A=,将事件和空间反应在如下图：1X0Y 由方程组解得，阴影部分的面积由为1 ，所以事件A的概率为s(A)12 、证明 根据条件概率p(A|B)=p(AB)/p(B)=(p(A)+p(B)-p(AUB)/p(B)=(a+b-p(AUB)/bp(A)，即， 所以p(B|A)=p(AB)/p(A)p(A)p(B)/p(B)=p(A)。 （2）因为，所以 即A、B相互独立。19、解 设Ai=“第i人击中飞机”，i=1,2,3；Bi=“飞机中i弹”，i=1,2,3,；C=“飞机坠落”，根据题意A1,A2,A3相互独立，且p(A1)=0.4,p(A2)=0.5,p(A3)=0.7，且p(C|B1)=0.2,p(C|B2)=0.6,p(C|B3)=1，其中 =；(A1,A2,A3独立) （同上展开计算）； ；所以飞机追回的概率为p(C)=.。20、解 设Ai=“第i人破译密码”，i=1,2,3，根据实验，p(A1)=0.25,p(A2)=0.35,p(A3)=0.4，且A1，A2，A3相互独立。又设B=“密码被破译”，则 =.。21、解 设B=“独立三次实验A至少出现一次”，根据伯努利概型，有 22、解 设A=“灯泡在1000小时内坏掉”，根据题意，p(A)=0.8，B=“三个灯泡1000小时内最多有一个坏掉”，根据伯努利概型，有 。23、解 设Ai=“从第i箱中取球”，i=1,2；Bi=“第i次取到一等品”，i=1,2，根据题意，有P(A1)=p(A2)=1/2， （1） 第一次取出一等品的概率为=.。（2） 已知第一次取出一等品的情况下，第二次取出一等品的条件概率为 =.。 第二章 随机变量1、解 根据题意，X可能取值为0,1,2,3，且。2、解 根据题意，X可能取值为-1,2,3，X的概率分布律为X-123P1/61/21/3 X的分布函数为3、解 根据分布函数的定义，有。4、解 因为F(x)为X的分布函数，则F(x)一定右连续，有，即A=1。 =5、解 （1）由概率分布律的规范性有。 （2）同理，根据规范性，有。6、解 因为F(x)是连续随机变量X的分布函数，则F(x)连续，所以 7、根据密度函数的规范性，有 所以。8、设X的分布函数为F(x)，则 当x=2时，F(x)=1，综上所述，分布函数为 9、解 假设至少扔n次硬币，才能满足条件：，即 10、解 根据题意，且则一分钟之内至少有一辆车通过的概率p= 11、解 根据试验，X服从参数为n=5000，p=0.001的二项分布，其分布规律为 至少有两次命中目标的概率p=。12、解 （1）根据密度函数的规范性，有1=，所以A=1/2. （2）设X的分布函数为F(x)，则. 当x=0时，有综上所述，分布函数为 （3）。13、因为f(x)满足（1）f(x)=0,； （2） 所以f(x)是某个随机变量X的密度函数。14、（1）设X的分布函数为F(x)，则。 当x0时，有 当0=x时，有 所以，分布函数为（2）。15、解 （1）根据密度函数的规范性，有， 所以k=3.（2）寿命小于1的概率为PX1=.16、解 （1）因为X服从N(0,1)，所哟 ； ；（2）若，即，查正态分布函数表，得a=0.53； 若p|X|b=0.9242,有，查表得b=1.78； 若pXC=0.2918，即，此概率小于0.5，由正态分布性质，c0，则有，查表得-c=0.53，所以c=-0.53.17、解 （1） =； （2） =； （3） =；18、解 X服从参数为1的泊松分布，其分布律为。根据题意，随机变量Y的取值为0和1，且其分布律为： ； 19、解 设A=“观察值不大于0.5”，则 根据题意，XB(3,0.25).所以管擦三次至少两次观察值不大于0.5的概率为。20、解 设A1=“电压处于X=200”，A2=“电压处于200X240”。B=“电子元件损坏”。根据题意=1-0.7881; ;；且根据题意，有 P(B|A1)=0.1，P(B|A2)=0.01，P(B|A3)=0.2，根据全概率公式，有 =.。21、解 根据题意，Y取值为-1,20,-5,其概率分布律为；。22、解 因为X可取-3，-2，-1,0,1,2,3,4,则可取的值为9,4,1,0,1,4,9,16，且概率分布律为 Y 0 1 4 9 16 P 0.15 0.3 0.3 0.2 0.0523、解 根据题意，X分概率密度函数为，设随机变量Y的分布函数为 。 当y-1时， 当-1=y=1时，。 所以随机变量Y的密度函数为。24、 解 因为X服从参数为2的指数分布，其密度函数为，又设Y的分布函数为 （1）若y=1，则 （2）当y1时，有 = 所以随机变量Y的密度函数为 。25、解 因为X的概率密度为，设Y的分布函数为 （1）当y0时，； 所以随机变量Y的密度函数为 。习题三参考答案1、解 关于X的边缘分布函数为，即 ，同理，关于Y的边缘分布函数为。2、解 根据题意，X1,X2的取值分别为0,1,2，且根据古典概型，有 所以（X1，X2）的联合分布律为 X1X20120102003、解 根据题意，有 所以（X,Y）的概率分布律为 4、解 根据题意，X可能取值为1,2,3,4，Y可能取值为1X，且有 PX=k=1/4,k=1,2,3,4， PY=1|X=1=1;pY=k|X=1=0,k=2,3,4;pY=k|X=2=1/2,k=1,2,pY=k|X=2=0,k=3,4; PY=k|X=3=1/3,k=1,2,3,pY=4|X=3=0; PY=k|X=4=1/4,k=1,2,3,4;所以（X，Y）的联合分布律为 XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16关于X的边缘分布律为pX=k=1/4,k=1,2,3,4;关于Y的边缘分布律为Y1234P.j25/4813/487/483/485、解 （1） = （2）=5/32. 2xy4 （3）=1/3。6、解 如右上图所示，关于X的边缘密度函数为 ，即。关于Y的边缘密度函数为 ，即12、解 （1）放回抽样 .关于X的边缘分布律为PX=0=30/36,pX=1=6/36;关于Y的边缘分布律为pY=0=30/36,pY=1=6/36.显然pX=0,Y=0=pX=0pY=0,pX=0,Y=1=pX=0pY=1,pX=1,Y=0=pX=1pY=0,pX=1,Y=1=pX=1pY=1即X与Y相互独立。（2）不放回抽样 ，关于X的边缘分布律为pX=0=110/132,pX=1=22/132;关于Y的边缘分布律为pY=0=110/132,pY=1=22/132；显然，即X与Y不相互独立。13、解 （X,Y）的联合分布律为XY01200.160.120.1210.120.090.0920.120.120.09 14、解 关于X的边缘密度函数为同理关于Y的边缘密度函数为，很显然，当0x1,0y2时,，即X与Y不相互独立。15、因为f(x,y)为密度函数，根据规范性，有 1=，即c=6. 关于X的边缘分密度函数为 关于Y的边缘密度函数为 显然有（对一切x,y），所以X与Y相互独立。习题四 参考答案1、解 X表示抽到红球的个数，则X可以取值0,1,2.则X的分布律为 ，所以 。2、解 X表示取到合格品之前扔掉的废品数，则X=0,1,2,3，其分布律为 ，所以 E(X)=.3、解 设Ai=“第i台设备需要维护”，i=1,2,3，X表示同时需要维护的设备台数，则X=0,1,2,3，其分布律为pX=0=p0; PX=1= = =0.1*0.8*0.7+0.9*0.2*0.7+0.9*0.8*0.3=p1; PX=3=p(A1A2A3)=p(A1)p(A2)p(A3)=0.1*0.2*0.3=p3; PX=2=1-pX=0-pX=1-pX=3=p2。 所以E(X)=0*p1+1*p1+2*p2+3*p3.4、解 0.37(%)，所以E(10X)=0.037(万元)。5、解 （1）根据规范性，有1=，所以a=。（2）=16、解 （1）由规范性，有1=0.4+0.2+cc=0.4；（2）（3）7、解 X的密度函数为，所以=1/3.8、解 9、解 根据题意，X的密度函数为，所以 10、解 （1）（2）11、解 。根据X，Y的独立性，有12、解 13、解 14、解 15、解 （略）16、解 所以，17、解 0；所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0*0.5=0。即X，Y不相关。18、解 如图所示，=1/2; =2/5;=1/4.所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/20.关于X的边缘密度函数为关于Y的边缘密度函数为；显然存在0x1,0y1，使得，即X，Y不相互独立。19、解 所以20、解 21、解 22、解 （1） （2） = = =3.23、解 因为X，Y，所以，由于X，Y相互独立，则有 =。