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函数函数函数函数3.4 函数的奇偶性函数的奇偶性Page 2xyO1221123123f (x) = x3Page 3yx1- -11- -1f (x) = x2Page 4中心对称图形中心对称图形11yxf (x) = x3O- -1- -1轴对称图形轴对称图形yxOf (x) = x21- -11- -1Page 5y1- -11- -1xOf (x) = x3则则 f (2) = ；f (- -2) = ； f (1) = ；f (- -1) = ；求值并观察总结规律求值并观察总结规律则则 f (2) = ；f (- -2) = ； f (1) = ；f (- -1) = ；y1- -11- -1xOf (x) = 2x1. 已知已知 f (x) = 2x，2. 已知已知 f (x) = x3，=- - f (x)f (- -x) = 4- -42- -2- -2x=- - f (x)f (- -x) = - -x38- -81- -1图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形Page 6 如果对于函数 y = f (x)的定义域 A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = -f (x)，则这个函数叫做奇函数.奇函数的图象特征奇函数的图象特征 以以坐标原点为对称中心的坐标原点为对称中心的中心中心对称图形对称图形. .y1- -11- -1xOy=f(x)(- -x，f(- -x)(x，f(x)f (-x) = -f (x) 奇函数的定义奇函数奇函数图象是图象是以以坐标原点为对称中心的中心坐标原点为对称中心的中心对称图形对称图形Page 7奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称 改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？y1- -11- -1xOy = x3 (x0)y1- -11- -1xOy = x3 (x1)y1- -11- -1xOy = x3 (x0)y1- -11- -1xOy=x3 (1x1)是是否否否否是是Page 8奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称 判断下列函数是奇函数吗？判断下列函数是奇函数吗？（1） f (x) = x3，x 1，3；（2） f (x) = x，x (1，1否否否否Page 9 解解: （1）函数）函数 f（x）= 的定义域为的定义域为A = x | x 0 ，所以当所以当 x A 时，时，- -x A因为因为 f（- -x）= = - - = - - f（x），），所以函数所以函数 f（x）= 是奇函数是奇函数x1x1x1- - x1例例1 判断下列函数是不是奇函数：判断下列函数是不是奇函数：（1）f（x）= ； （2）f（x）= - -x3 ；（3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7x1Page 10解解: （2）函数）函数 f（x）= - -x3 的定义域为的定义域为R，所以当所以当 x R时，时，- -x R因为因为 f（- -x）= - -(- -x)3 = x3 = - - f（x），），所以函数所以函数 f（x）= - -x3 是奇函数是奇函数例例1 判断下列函数是不是奇函数：判断下列函数是不是奇函数：（1）f（x）= ； （2）f（x）= - -x3 ；（3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7x1Page 11解解: （3）函数）函数 f（x）= x+1 的定义域为的定义域为R，所以当所以当 x R时，时，- -x R因为因为f（- -x）= - -x +1- - f（x）= - -（ x + 1 ） = - - x - - 1 f（ - - x），），所以函数所以函数 f（x）= x+1 不是奇函数不是奇函数例例1 判断下列函数是不是奇函数：判断下列函数是不是奇函数：（1）f（x）= ； （2）f（x）= - -x3 ；（3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7x1Page 12解解: （4）函数）函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7的定义域为的定义域为R，所以所以 x R 时，时， 有有- - x R f（- -x）= - - x + (- - x)3 + (- - x)5 + (- - x)7 = - - (x + x3 + x5 + x7) = - - f（x） 所以函数所以函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7是奇函数是奇函数例例1 判断下列函数是不是奇函数：判断下列函数是不是奇函数：（1）f（x）= ； （2）f（x）= - -x3 ；（3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7x1Page 13不是不是是是是是不是不是Page 14 偶函数的定义 如果对于函数 y = f (x)的定义域A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = f (x)，则这个函数叫做偶函数.偶函数的图象特征偶函数的图象特征 以以y 轴为对称轴的轴为对称轴的轴轴对称图形对称图形定义域对应的区间关于坐标原点对称定义域对应的区间关于坐标原点对称 偶函数偶函数图象是图象是以以y 轴为对称轴的轴轴为对称轴的轴对称图形对称图形y1- -11- -1xOy=f(x)(- -x，f(- -x)(x，f(x)Page 15解：解： （1）函数）函数 f（x）= x2 + x4 的定义域为的定义域为R，所以当所以当 x R时，时，- -x R因为因为 f（- -x）= (- -x)2 +(- - x)4 = x2 + x4 = f（x），），所以函数所以函数 f（x）= x2 + x4 是偶函数是偶函数例例2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x - -1， 3Page 16解：解： （2）函数）函数 f（x）= x2 + 1的定义域为的定义域为R，所以当所以当 x R时，时，- -x R因为因为 f（- -x）= (- -x)2 +1 = x2 + 1 = f（x） ，所以函数所以函数 f（x）= x2 + 1 是偶函数是偶函数例例2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x - -1， 3Page 17解：解： （3）函数）函数 f（x）= x2 + x3 的定义域为的定义域为R，所以当所以当 x R时，时，- -x R因为因为 f（- -x）= (- -x)2 +(- - x)3 = x2 x3 ，所以当所以当 x 0时，时， f（- -x） f（x）函数函数 f（x） x2 + x3 不是偶函数不是偶函数例例2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x - -1， 3Page 18解：解： （4）函数）函数f（x）= x2 + 1 ，x - -1, 3 的定义域为的定义域为A=- -1, 3 ， 因为因为 2 A，而，而- -2 A 所以函数所以函数 f（x）= x2 + 1 ，x - -1, 3 不是偶函数不是偶函数例例2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x - -1, 3123-1xyO-2-3Page 19练习练习2 判断下列函数是不是偶函数：判断下列函数是不是偶函数：（1）f（x）= (x +1) (x - -1) ；（2）f（x）= x2+1，x - -1，1 ；（3）f（x）= 112xPage 20S1 判断当判断当 x A 时，是否有时，是否有 - -x A ；S2 当当 S1 成立时，对于任意一个成立时，对于任意一个 x A， 若若 f (- -x) = - - f (x) ，则函数则函数 y = f (x)是奇函数；是奇函数； 若若 f (- -x) = f (x) ，则函数则函数 y = f (x)是偶函数是偶函数1. 1. 函数的奇偶性函数的奇偶性2. . 判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法Page 21教材教材P58，习题，习题第第 2 题；题； 第第 3题（选做）题（选做）
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