数学强化班(武忠祥)-高数第三章 一元函数积分学

数学强化班(武忠祥)-高数第三章 一元函数积分学 第三章 一元函数积分学 第一节 不定积分 1两个概念: 1）原函数： F (x) f(x) 2）不定积分： f(x)dx F(x) C 2基本积分公式： 1) 3) dxxdx22 2) C. ln|x x a| C 2222aa xx a dx1xdx1a x C. ln| 4) a2 x2a a2 x22aa x| C. a 5) secxdx ln|secx tanx| C. 6) cscxdx ln|cscx cotx| C. 3三种主要积分法 1）第一类换元法（凑微分法） 若 f(u)du F(u) C,则 f( (x) (x)dx F( (x) C 2）其次类换元法： f(x)dxx (t) f( (t) (t)dt F(t) C F( i) 1 (x) C a2 x2,x asint(acost)ii)a2 x2,x atantx2 a2,x asect 3）分部积分法 udv uv vdu“适用两类不同函数相乘” x p(x)edx,n x pn(x)sin xdx, n x p(x)cos x,en sin xdx， n n e cos xdx, p(x)lnxdx, p(x)arctanxdx, p(x)arcsinxdx 4三类常见可积函数积分 1）有理函数积分 R(x)dx （1）部分分式法（一般方法）； （2）简洁方法（凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 R(sinx,cosx)dx （1）万能代换（一般方法） 令tan t x2 （2）简洁方法 （三角变形，换元，分部） 3) 简洁无理函数积分 R(x, )dxcx d 令 ax b t cx d 例一 基本题 例3.1 I dx dx4x x2 dx4 (x 2)2 x 2 c 2 解法1 I 解法2 I 2d(x)x 2 c 2dx cosx 例3.2 I 解 I dxcosxdxdsinxd 2 cosx cos2x (1 sin2x) 1 sin2x dtdt11 2 ( )dt 42222 1 t(1 t)(1 t)1 t1 tdx sinx t 2 例3.3 I x5 x 2 解法1 令x tant ，则 dx sec2tdt tan5t sec2tdt I tan4t (tant sect)dt tan4td(sect) sect (sect 1)d(sect) (u 1)du (u sect) 22 2 2 12531 =(8 4x2 3x4) x2 c 15 =u5 u2 u c 1x4dx2 解法2 I x4d( x2) 2 x2 =x4 x2 4x3 x2dx =x4 x2 2(x2 1) 1 x2d(1 x2) =x4 x2 (1 x2)例3.4 I 45 4 (1 x2) c 3 e 1 x xex 解 I 2 xdex 1 2xex 1 2 ex 1dx 2t2x e 1dx （令e 1 t） 2 1 t x =2t 2arctant C 则 I 2xx 1 4x 1 4arctanx 1 c 例3.5 lnx dx 解法1 原式=2 lnxd =2lnx 2 x x xt2 dx t2 2 xt 1 =2dt 2 =2t ln dt t2 1 t 1 C t 1 x 1 C 1 原式=2lnx 4 2ln解法2 令 t，则 ln(t2 1) 2tdt 2 ln(t2 1)dt 原式= t2t2 =2tln(t 1) 2 2dt t 1 2 =2lnx 4 2ln 1 C 1 arctanex dx 例3.6 2x e 解法1 原式= 1 arctanexde 2x 2 1 2x1e xx = earctane 221 e2x 1 2x1dexx = earctane 2x 22e(1 e2x) = e 2xarctanex e x arctanex C 解法2 令ex t，则 原式= 12 arctant11 arctantd t3 2 t2 = = arctant11 dt 222 2t(1 t)2t arctant11 arctant c 2 2t22t 1 = e 2xarctanex e x arctanex C 2 1 dx 例3.7 I x x9 dxx7dx1du8 解法1 I （令x u） x(1 x)x(1 x)8u(1 u)(1 x8)x8dx 1x7 dx 解法2 I 88 x(1 x) x1 x 1dx 81 解法3 I ln|1 x 8| c 8 81 x8x9(1 8)x dx 1 x41 x4 x2 x2dx1dx3 dx dx 例3.8 I 6626 1 x1 x1 x31 x 例3.9 I dx 1 sinx 解法1I 解法2I 1 sinx1dcosx dx cos2x cos2x cos2x dxdx x tan C x 24 1 cos x 2cos2 2 42 x2dt2t t dx sinx 21 t21 t2 2dt1dt 2 2I 2 C C (1 t)21 t1 t21 1 tan2 1 t2dx 例3.10 1 sinx cosxx 解 令ta t，则 2 解法3令tan 2dt原式= 2t1 t2 1 2 1 t2 t2dt 1 t ln(1 t) C x =ln(1 tan) C 2dx 例3.11 I 4 sinx cosx =解法1I sinxdxdcosxdu sin2x cos4x (1 cos2x)cos4x (1 u2)u4（令cosx u） (1 u4) u4 (1 u)u 解法2 sin2x cos2xsinxdx1sin2x cos2xI dx dx sinx cos4x cos4xsinxcos2x3cos3x sinx cos2x1sinxdxdx 32 3cosxcosxsinx 1 dx 例3.12 I asinx bcosx dx1 ctgx c 解 1）若a 0, b 0 I 2 asin2xa2 11 dx tgx c 2) 若a 0, b 0 I 2 22 bcosxb 3）若a 0, b 0 I dxdu cos2x(b2 a2tg2x) b2 a2u2（令tanx u） 例3.13 1x 1 xx 1dx。 x 1 t, x 1 解法1令 t2 原式= 4 2dt 2 (t 1)(t 1) (t2 1) (t2 1)= 2 2 (t 1)(t2 1) =ln 1 t 2arctant c 1 t 1x 1 xx2 1 解法2 原式= = dxx 1 2 dxx2 ()2 x 1x =lnx x2 1 c 例二 变花样 例3.14 若 xf(x)dx arcsinx c 求I 解 由 xf(x)dx arcsinx c知 1 dx f(x) icn) xf(x) (arcs 1 x 2 则 I 1122dx x xdx (1 x) c f(x)3 ( x2)为f(x)的一个原函数， 求I xf (x)dx. 例3.15 若lnx 解 I xf (x)dx xf(x) f(x)dx xln(x x2 ln(x x2) C x2 ln(x x) C 2 x xex 例3.16 设F(x)为f(x)的原函数，且当x 0时，F(x)f(x) ，已知2 2(1 x)F(0) 1,F(x) 0.求f(x). 12xex 解法1由 F(x)f(x) (F(x) 2 22(1 x) xex(x 1) 1xexex F(x) dx edx dx dx (1 x)2(1 x)21 x(1 x)2 2 ex exexex dx dx c 1 x 1 x1 x 1 x 由F(0) 1 c 0 x eee F2(x) F(x) f(x) F (x) 1 x1 x 1 x x x xex1x 解法2 F(x) (xe)d2 1 x(1 x) 2 xexex(1 x) = (1 x) 1 xxex ex c = (1 x)ex c = 1 x ex1xex F(x) ，f(x) . 1 xF(x)2(1 x)2 例3.17 设f (ex) sinx,求f(x)。 解法1 令ex t，则f (t) sinlnt f(t) sinlntdt =tsinlnt tcoslnt dt =tsinlnt tcoslnt tsinlnt dt 则f(t) sinlnt coslnt c 解法2 由f (ex) sinx知 1 t 1t t2 f(ex) sinxdex =exsinx excosxdx =exsinx excosx sinxdex ex 则f(e) sinx cosx c 2 x x f(x) sinlnx coslnx c 2 例3.18 求不定积分 e |x|dx e x c1,x 0, 解 edx x e c2,x 0. |x| e |x|连续,原函数F(x)必连续, F(x)在x 0连续. x 0 x limF(x) lim( e c1) 1 c1 x 0 x 0 xlimF(x) lim(e c2) 1 c2 x 0 1 c1 1 c2 令 c1 c, 则c2 2 c. e x c,x 0, 故 edx x e 2 c,x 0. |x| 其次节 定 积 分 1。定义： ba f(x)dx lim f( k) xk 0 k 1 n 2。可积性： 1）必要条件：f(x)有界； 2）充分条件:f(x)连续或仅有有限个第一类间断点；3。计算： 1） ba f(x)dx F(b) F(a) 2）换元法 3）分部积分法 4）利用奇偶性，周期性 5）利用公式 n 1n 31 ,n偶 (1) 2sinnxdx 2cosnxdx nn 222 00 n 1n 3 2,n奇 nn 23 (2) xf(sinx)dx 2 0 f(sinx)dx 4变上限积分： xa f(t)dt 1) 连续性：设f(x)在a,b上可积，则2）可导性：设f(x)在a,b上连续，则 xaxa f(t)dt在a,b上连续。 f(t)dt在a,b上可导且 ( f(t)dt) f(x). a x 变上限求导的三个类型： (x) (1) f(t)dt f( (x) (x) f( (x) (x) (x) (x)x (2) f(x,t)dt 例1:F(x) (t x)f(t)dx 0 (x) bdx2 (3) f(x,t)dt 例2:sin(x t)dt a0 dx 3）奇偶性：i）若f(x)为奇函数，则 x0 f(t)dt为偶函数。 x0 ii）若f(x)为偶函数，则 f(t)dt为奇函数。 例1（06年数二）：设f(x)是奇函数，除x 0外到处连续，x 0是第一类间断点，则 x0 f(t)dt是：(A)连续的奇函数; (B)在x 0间断的奇函数; (C)连续的偶函数; (D)在x 0间断的偶函数. 12 (x 1),若0 x 1,x 2 例2(01年,数3，4)设g(x) f(u)du,其中f(x) 则 01(x 1),若1 x 2, 3 g(x)在区间（0,2）内 （A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续 例3（99年数一至四，05年数一二） 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则 （A） f(x)是奇函数 F(x)必是偶函数； （B） f(x)是偶函数 F(x)必是奇函数； （C） f(x)是周期函数 F(x)必是周期函数； （D） f(x)是单调增函数 F(x)必是单调增函数. 5。性质： 1)不等式：i) 若f(x) g(x), 则 ba f(x)dx g(x)dx. a b ii) 若f(x)在a,b上连续，则m(b a) iii) ba f(x)dx M(b a). ba f(x)dx |f(x)|dx. a b 2)中值定理： i） 若f(x)在a,b上连续，则 ba f(x)dx f(c)(b a),a c b ii） 若f(x),g(x)在a,b上连续，g(x不变号，则 ba f(x)g(x)dx f(c) g(x)dx,a c b a b 例（96年数四）设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 1b f(x)dx f(b)。求证：在(a,b)内至少存在一点 ，使f ( ) 0. b a a 例 题 例一 基本题 2x2 sinx 例3.19 I dx; 2 1 1 x 1 x2 解 I 4 dx 20 1 x 1 =41 x2dx 0 1 =4 4 1 x2dx =4 （其中例3.20 I 10 x2dx 4 ，单位图x2 y2 1在第象限面积） n 0 dx; 解法1 原式=n =n =n (cosx sinx)2dx cosx sinx =n 4 (cosx sinx)dx (sinx cosx) 22n. 4 5 4 解法2 原式=n sin2xdx (cosx sinx)2dx 45 4 =n 45 4 =n例3.21 I 解 I = (sinx cosx)dx 2. 4 0 xsinnxdx . xsinnxdx sinnxdx 2 0 = 0 sinnxdx n 1n 31 , nn 222 = n 1 n 3 2 , nn 23 例3.22 I 1 n为偶数 n为奇数 xdx 0(2 x2) x2; 解 令x sint，则 I 2 sintcostdt 2 (2 sint)cost dcost 2 arctancost 20 41 cost 3 = 2 例3.23 I x dx; 1 x 解 令arcs 2 t，则x tant， 1 x I 3tdtan2t =ttant 2 30 3tan2tdt 0x 4 . 3 sint ，计算 f(x)dx。 例3.24 设f(x) 0 t0 xsinx 解法1 f(x)dx=xf(x)0 0 x0 sint xsinx 0 t0 x =解法2 0 0 sinxdx 0 f(x)dx= f(x)d(x ) (x )f(x)0 0 (x )sinx x =解法3 0 sinxdx 2 0 0 f(x)dx dx sint 0 t x sint dt sinxdx 2. 0t t0 1 2 f(x) 1 x例3.25 I f(x 1)dx 其中 1x 1 e x 0 x 0 解 令x 1 t，则 1dtdt I f(t)dt 1 11 et01 t 1 e t1 dt ln(1 t) = 0 11 e t = ln(1 e t)例3.26 I 解法1，令则 0 1 ln2 ln(1 e). 20 sinx dx ； sinx cosx sinxA(cosx sinx) B(sinx cosx) dx sinx cosx sinx cosx 1 A B11 ，解得A ,B 22 0 A B 1 (sinx cosx) (sinx cosx) I 2 20sinx cosx 1 2 =( ln(sinx cosx) x)0 24 解法2 令x 2 t，则 sinxcost I 2dx 2 0sinx cosx0sint cost 1 sinxcosx dx 2dx = 2 0sinx cosx2 0sinx cosx 1 = 2dx 204 x e4 例3.27 I 2 sinxdx ; 1 ex2 x ee t4422解 I sinxdx sintdt 1 ex 1 e t22 (x t) = 2 2 14 sintdt t 1 e x 1 e1442sinxdx sinxdx = 2 xx 2 21 e21 e 1 = 2 sin4xdx 2 2 = 20 31 3 sin4xdx 42216 例3.28 已知f(x)连续，解 令x t u得 x tf(x t)dt 1 cosx,求 2f(x)dx的值. x tf(x t)dt (x u)f(u)du x =x x f(u)du uf(u)du x xxdx tf(x t)dt f(u)du xf(x) xf(x) f(u)du 000dx 从而有令x x f(u)du sinx 2 得： 2 f(u)du sin 2 2 1 例3.29 设f (x) arcsin(x 1),f(0) 0,求解法1 1 f(x)dx. 10 f(x)dx xf(x)0 xarcsixn 1()2dx 1 1 =f(1) = = 10 xarcsin(x 1)2dx 10 1 01 f (x)dx xarcsin(x 1)2dx 2 (1 x)arcsin(x 1)dx 11 = arcsinudu （令(x 1)2 u） 20 =uarcsinu0 解法2 12 1 11u 1 du . 20242 u 1 f(x)dx f(x)d(x 1) 1 1 =(x 1)f(x)0 =以下同解法1 例二 综合题 例3.30 求 lim 1 n (x 1)arcsin(x 1)dx 2 1 1 (1 x)arcsin(x 1)2dx 1 2 n 1 2 1 2 ; 2 n n n 2 2 2 2 2 2 1 n 1解 令 yn (1 12n )(1 ) (1 ) 222 nnn 1 1222n2 ( 2) ln1( 2) ln1( 2) 则 lnyn ln1n nnn n limlnyn ln(1 x2)dx 1 2x2 ln2 2(1 ) =xln(1 x) 001 x24 21 1 原式=e ln2 2(1 ) 4 2e 2 2 x 2 x x 例3.31设f(x)连续,且limf(x) 1,则lim x 3 tsinf(t)dt t 解 lim 3tsinf(t)dt （利用积分中值定理） x xt 3 (x c x 2) =lim2csinf(c) x c x 2 =6 例3.32 求极限 limxn x2dx. n 0 1 解法1 由于 0 xn x2dx xndx 11 2 n 1 lim 0 n n 1 n 0 则 limxn x2dx 0 解法2 由积分中值定理得 1 1n 2 x x2dx cn 1n xdx 1 xndx 1 0 为无穷小量. n 1 (cn)2介于1与之间为有界量，则 n 0 lim x x2dx 0 x0 1n (x t)f(t)dt 例3.33 设函数f(x)连续，且f(0) 0，求极限lim。 x f(x t)dt x 0 x0 解 x f(x t)dt= f(u)du （令x t u） x 原式=lim x 0 x f(t)dt tf(t)dt xx x f(t)dt x0 x =lim x 0 f(t)dt xf(x) xf(x) x x 0x f(t)dt xf(x)f(t)dt （洛比达法则） =lim x 0 f(t)dt xf(x) =lim xf(c) （积分中值定理） x 0xf(c) xf(x)f(0)1 f(0) f(0)2 = 例3.34 设F(x) x 2 x esint sintdt, 则F(x)_ A) 为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数 解：由于F (x) esin(x 2 )sin(x 2 ) exsinx 0 知F(x) c， 也可由esintsint以2 为周期得 F(x) x 2 x e sint sintdt esintsintdt c 2 则F(x)为常数. 又F(0) 2 esintsintdt esintdcost cost0 esintcos2tdt 2 2 = 2 = e = sint 2 esintcos2tdt 0 注：说明积分 2 esintsintdt 0最简洁的方法是几何的方法. 例3.35 试证:F(x) (t t)sin 2 x 2n tdt在x 0上最大值不超过 1 . (2n 2) (2n 3) 2n 证 令F (x) (x x2)sinx 0 得 x 1，x k （k 1,2, ） 由于在x k 邻近两侧F (x)不变号，则x k 不是F(x)的极值点，而 当0 x 1时，F (x) 0，当x 1时，F (x) 0，则F(x)在x 1取极大值，又由于x 1为F(x)在1, )上唯一的极值点，则该极大值为最大值. F(1) (t t2)sin2ntdt 1 1 (t t2)t2ndt 1 (2n 2)(2n 3) 原题得证 例3.36 设f(x)是区间 0, 上的单调、可导函数，且满足 4 f(x) f 1(t)dt t x cost sint t. sint cost 其中f 1是f的反函数，求f(x). 解 等式 cost sint dt两端对x求导得 00sint cost coxs sinx f 1f(x)f (x) x sinx coxscoxs sinx 即 xf (x) x sinx coxscoxs sinxf (x) sinx coxs f(x) f 1(t)dt t x f(x) ln(sxi ncoxs) c 而f(0) 0,则c 0 f(x) ln(sxi ncoxs) 例3.37 设函数f(x)在(0, )内连续，f(1) 件 5 ，且对全部x,t (0, )满足条2 xt 1 f(u)du t f(u)du x f(u)du，求f(x). 1 1 xt 解 等式 x1 xt 1 f(u)du t f(u)du x f(u)du两端对t求导得 1 1 xt xf(xt) f(u)du xf(t) 令t 1得，xf(x) x 1 5 f(u)du x 2 5 2 上式两端对x导得，f(x) xf (x) f(x) 51 2x5 f(x) lnx c 255 又f(1) ，则c 225 f(x) (lnx 1) 2 x f(x)sinxdx,求f(x). 例3.38 若f(x) 2 1 cosx x f(x)sinxdx两端同乘sinx并从 到 积分得 解 等式f(x) 1 cos2x xsinxf(x)sinxdx 1 cos2x xsinx =2 01 cos2xf (x) = sinx 2 dx arctancosx0 = 21 cos2x x 2 则f(x) 2 1 cosx2 例3.39 设f(t)连续,f(t) 0,f( t) f(t). 令F(x) a a |x t|f(t)dt. a x a 1) 试证曲线y F(x)在 a,a上是凹的. 2) 当x为何值时,F(x)取得最小值. 3) 若F(x)的最小值可表示为f(a) a2 1,试求f(t). 解1) 证：由于 F(x) x tf(t)dt a a = x a (x t)f(t)dt (t x)f(t)dt x a =x x ax f(t)dt tf(t)dt tf(t)dt x f(t)dt a x x ax xaa F (x) f(t)dt xf(x) xf(x) xf(x) xf(x) f(t)dt a = x a f(t)dt f(t)dt x a F (x) f(x) f(x) 2f(x) 0 则曲线y F(x)在 a,a上是凹的 2) 令F (x) x a f(t)dt f(t)dt 0 x a 得 F (0) 0 （f(x)为偶函数） 又F (x) 0，则F (x)单调增，从而x 0为F(x)在 a,a上唯一的驻点，又 F (0) 0，则F(x)在x 0取微小值，由唯一性知，F(x)在x 0取最小值. 3) F(x)在 a,a上最小值为 F(0) tf(t)dt 2 tf(t)dt a aa 从而有 2 tf(t)dt f(a) a2 1 a 上式两端对a求导得，2af(a) f (a) 2a 解此一阶线性微分方程得f(a) ce 1 又f(0) 1，则c 2，从而 a2 f(t) 2et 1 例三 积分不等式 证明积分不等式常用的方法： 1）变量代换； 2）积分中值定理 ； 3）变上限积分； 4）柯希积分不等式； (例3.40 求证:证： 2 b a f(x)g(x)dx)2 f2(x)dx g2(x)dx； a a bb sinx2dx 0. sinxdx = 2 2 sint （令x2 t） 2 = 2 2 sintsint 22而 sinusint = du （令t u） 02 u 则 2 sinx2dx sint 11 dt 0 2 例3.41 设f(x)在 0, 1上连续,非负，单调减。 求证: a f(x)dx a f(x)dx (0 a 1) 1 证法1 只要证即 (1 a) a f(x)dx a f(x)dx a f(x)dx a 1a a1 a f(x)dx a f(x)dx 由积分中值定理知 (1 a) f(x)dx a(1 a)f(c1) 0 c1 a a a f(x)dx a(1 a)f(c2) a c2 1 a 1 由于f(x)单调减，则f(c1) f(c2) 则(1 a) a f(x)dx a f(x)dx a1 1 原题得证 证法2 a f(x)dx=a f(at)dt （令x at） a 1 f(ax)dx 由于f(x)单调减，ax x，则f(ax) f(x) 从而有 a即 1 f(ax)dx a f(x)dx 10 1 a f(x)dx a f(x)dx ba 例3.42 设f(x)在a,b上连续，单调增。求证: xf(x)dx 证法1，令F(x) b ab f(x)dx a2 x a tf(t) x ax f(t)dt 2 a 只要证明F(b) 0，明显F(a) 0 2 a1x f(x) f(t)dt 22a x1 = (x a)f(x) f(t)dt a 2 1 (a c x) = (x a)f(x) (x a)f(c) 2 0 而F (x) xf(x) 则F(b) F(a) 0 原式得证. 证法2 由于f(x)在a,b上单调增，则 (x a ba b )(f(x) f() 0 22 从而有 b b a (x a b a b ) f(x) f() dx 0 2 2 a ba bba b)f(x)dx f() (x )dx 0 即 (x a22a2 ba b )dx 0 又 (x a2 a b )f(x)dx 0 a 2ba bb f(x)dx 即 xf(x)dx aa2 则 b (x 例3.43 设f(x) 在0,1上可导,且f(0) 0 , 0 f (x) 1. 113 求证: f(x)dx f(x)dx. 0 0 2 证 令F(x) ( x f(t)dt)2 f3(t)dt x 只要证F(1) 0，又F(0) 0 由f(0) 0，0 f (x) 1知f(x) 0，x (0,1 F (x) 2f(x) f(t)dt f3(x) x =f(x) 2令 (x) 2 2 f(t) f(x) 0 x x f(t)dt f2(x) (x) 2f(x) 2f(x)f (x) 2f(x)(1 f (x) 0 则 (x)单调增，又 (0) 0，则 (x) 0 x (0,1 从而 F (x) 0 x (0,1 则F(x)单调增，从而F(1) 0，原题得证. 例3.44 设f(x)在 a, b上有连续导数,f(a) 0, 求证:max|f (x)| a x b b2 |f(x)|dx a (b a) f(x) 证 |f(x)| b x a f (t)dt xa a x b x a f (t)dt f (t)dt (x a)max|f (x)| b 1 |f(x)|dx (x a)dx max|f (x)| (b a)2 max|f (x)| aaa x ba x b2 b2故 max|f (x)| |f(x)|dx a x b(b a)2 a 例3.45 设f(x)在0, 1上有连续导数,且f(0) 0, 求证: f2(x)dx 01 112 f (x)dx 02 f(x) 证 2 x f (t)dt 2 xx2x2 f(x) f (t)dt 1dt f (t)dt 00 0 x f 2(t)dt x f 2(t)dt x1 f2(x)dx xdx f 2(t)dt 111 112 f (t)dt;. 2 0 第三节 反 常 积 分 1)无限区间；（1） （2） aa f(x)dx lim f(x)dx. a A A f(x)dx lim f(x)dx. A A a a （3） 若常用结论： a f(x)dx和 f(x)dx都收敛，则称 f(x)dx收敛。 b a P 1收敛1 dx;， (a 0) Px P 1发散 2)无界函数：设a为f(x)的无界点， b a f(x)dx=lim 0 a f(x)dx P 1收敛1 dx 常用结论： a(x a)PP 1发散 b 例3.46 计算 解 原式= 1 arctanx dx 2 x 1 1 arctanxd x arctanxdx = 1x1x(1 x2) = 4 x x2 1 1 ln2 42 例3.47 计算 3 dx 42 (x 1)x 2x 解：原式= dx (x 1) 4 3 (x 1) 1 2 = secttant 3sec4ttant2 (令(x 1) sect) = 233 costdt ( ) 3 38 2 例3.48 计算 xe x x2 (1 e) 解 原式= xex x2 (1 e) = xd 1 x 1 e x = 1 ex = dx x