243抛物线焦点弦性质

喷泉喷泉 1.1.抛物线抛物线y y2 22px2px（p p0 0）的范围、）的范围、对称性、顶点、离心率、焦半径分别是对称性、顶点、离心率、焦半径分别是什么？什么？ 范围：范围：x0 x0，yRyR； 对称性：关于对称性：关于x x轴对称；轴对称； 顶点：原点；顶点：原点； 离心率：离心率：e1 1； 焦半径：焦半径： .0|2pM Fx=+复习回顾复习回顾 过抛物线的焦点过抛物线的焦点F F作直线交抛作直线交抛物线于物线于A A、B B两点，线段两点，线段ABAB叫做叫做抛物抛物线的焦点弦线的焦点弦，请你探究焦点弦具有，请你探究焦点弦具有哪些性质哪些性质. .O Ox xy yB BA AF F问题提出问题提出1 1、焦点弦、焦点弦ABAB的长如何计算？的长如何计算？ 设设ABAB为为焦点弦焦点弦. .点点A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) ) |AB| |AB|x x1 1x x2 2p p O Ox xy yB BA AF F探求新知探求新知2 2、抛物线的焦点弦、抛物线的焦点弦ABAB的长是否存的长是否存在最小值？若存在，其最小值为在最小值？若存在，其最小值为多少？多少？垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛物线的物线的通径通径，其长度为，其长度为2p2pO Ox xy yB BA AF F探求新知探求新知3 3、A A、B B两点的坐标是否存在相关关两点的坐标是否存在相关关系？若存在，其坐标之间的关系如系？若存在，其坐标之间的关系如何？何？221 212,4py yp x x= -=O Ox xy yB BA AF F探求新知探求新知4 4、利用焦半径公式，、利用焦半径公式，|AF|AF|,|BF|BF|可作可作哪些变形？哪些变形？|AF|AF|与与|BF|BF|之间存在什么之间存在什么内在联系？内在联系？112|A FB Fp+=O Ox xy yB BA AF F探求新知探求新知O Ox xy yB BA AF F 5 5、由焦点弦长公式、由焦点弦长公式得得 ，这个等式的几何意义是什么？这个等式的几何意义是什么？12|222A Bxxp+=+以以ABAB为直径的圆与为直径的圆与抛物线的准线相切抛物线的准线相切. .探求新知探求新知6 6、设点、设点M M为抛物线准线与为抛物线准线与x x轴的交点，轴的交点，则则AMFAMF与与BMFBMF的大小关如何？的大小关如何？ 相等相等 C CD DO Ox xy yB BA AF FM M探求新知探求新知7 7、过点、过点A A、B B作准线的垂线，垂足分作准线的垂线，垂足分别为别为C C、D D，则，则ACFACF和和BDFBDF都是等腰都是等腰三角形，那么三角形，那么CFDCFD的大小如何？的大小如何？ 9090 C CD DO Ox xy yB BA AF F探求新知探求新知 过抛物线过抛物线y y2 2=2px=2px的焦点的焦点F F作直线交抛物线于作直线交抛物线于A A、B B两点，焦点弦两点，焦点弦ABAB具有如下性质具有如下性质. .形成结论形成结论O OB BA AF FC Cx xy yD DM M 12222121221;sin2,3,;41124;5;6790pABxxpABpy ypx xAFBFpABAMFBMFDFC 有最小值 为通径长2p;以为直径的圆与抛物线的准线相切 过抛物线过抛物线y y2 2=2px=2px的焦点的焦点F F作直线交抛物线于作直线交抛物线于A A、B B两点，焦点弦两点，焦点弦ABAB具有如下性质具有如下性质. .形成结论形成结论O OB BA AF FB B1 1x xy yA A1 1M M 12221;sinpABxxp1111111212,22AAlA BBlBpAAxpBFBBxABxxp作于于 ，则 AF 过抛物线过抛物线y y2 2=2px=2px的焦点的焦点F F作直线交抛物线于作直线交抛物线于A A、B B两点，焦点弦两点，焦点弦ABAB具有如下性质具有如下性质. .形成结论形成结论O OB BA AF Fy y 12221;sinpABxxp(1)ABk当斜率 存在时(k0)1122(,)(,):()2A xyB xypAByk x，2()22pyk xypx2220kypykp122pyyk212y yp 12211AByyk21212211()4yyy yk221 211pkkk222 (1)pkk222 (1tan)tanp22sinP(2)AB当斜率不存在时0=90(,0), (,0)22ppAB 2022sin 90pABpOxyAFB2|pxAFA 焦半径焦半径 | AB焦点弦长焦点弦长pHH2|21 通径通径对称轴的夹角）对称轴的夹角）与与为直线为直线其中其中ABp (sin22时时，当当 90 pxy22由由 tan)2(pxy 0tan4)2tan(tan22222 pxppxy，得：，得：消消4,tan2221221pxxppxx 44)tan2(tan1|2222pppAB 22tan1tan2 p 2sin2p pxxBA | AB焦点弦长焦点弦长2px tan)2(:pxylAB 的倾斜角）的倾斜角）为直线为直线其中其中ABp (sin22 过抛物线过抛物线y y2 2=2px=2px的焦点的焦点F F作直线交抛物线于作直线交抛物线于A A、B B两点，焦点弦两点，焦点弦ABAB具有如下性质具有如下性质. .形成结论形成结论O OB BA AF Fx xy y 2,AB 有最小值 为通径长2p;222(1) ;sin 90sin=pABABAB解： 由当为通径时最大最小 2p 过抛物线过抛物线y y2 2=2px=2px的焦点的焦点F F作直线交抛物线于作直线交抛物线于A A、B B两点，焦点弦两点，焦点弦ABAB具有如下性质具有如下性质. .形成结论形成结论O OB BA AF Fx xy y 2212123,;4py ypx x 证明:(1)当AB不垂直于x轴时 :()2pAB yk x2()22pyk xypx2220kypykp212y yp 22121222yyx xpp2122()4y yp2222()44ppp(2)ABx当轴时pAB： x=2(,),(,)22ppApBp2124px x 212y yp 过抛物线过抛物线y y2 2=2px=2px的焦点的焦点F F作直线交抛物线于作直线交抛物线于A A、B B两点，焦点弦两点，焦点弦ABAB具有如下性质具有如下性质. .形成结论形成结论O OB BA AF Fx xy y 1124;AFBFp1122(,), (,)A x yB xy解：12pAFx22pBFxAFBFAB12xxABp2124px x 11AFBFAFBFAFBF21212()24ABppx xxx222=()424ABppppABp 过抛物线过抛物线y y2 2=2px=2px的焦点的焦点F F作直线交抛物线于作直线交抛物线于A A、B B两点，焦点弦两点，焦点弦ABAB具有如下性质具有如下性质. .形成结论形成结论O OB BA AF FC Cx xy yD DM M 12222121221;sin2,3,;41124;5;6790pABxxpABpy ypx xAFBFpABAMFBMFDFC 有最小值 为通径长2p;以为直径的圆与抛物线的准线相切 过抛物线过抛物线y y2 2=2px=2px的焦点的焦点F F作直线交抛物线于作直线交抛物线于A A、B B两点，焦点弦两点，焦点弦ABAB具有如下性质具有如下性质. .形成结论形成结论O OB BA AF FC Cx xy yD DM M 12222121221;sin2,3,;41124;5;6790pABxxpABpy ypx xAFBFpABAMFBMFDFC 有最小值 为通径长2p;以为直径的圆与抛物线的准线相切 例例1 1 过抛物线焦点过抛物线焦点F F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A A、B B两点，过点两点，过点A A和抛物线顶点的直线交抛物和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点线的准线于点C C，求证：直线，求证：直线BCBC平行于抛平行于抛物线的对称轴物线的对称轴. . O OB BA AF FC Cx xy y例题讲解例题讲解O OB BA AF FC Cx xy y 112211121212222212:,2,2?CCA x yB xyypOAyxxxyppxyyy ypppyypyyBCX 解 设则直线的方程为令则又轴例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解2 2例例2:2:设设A,BA,B是是抛抛物物线线y =2px p0y =2px p0 上上的的两两点点, ,且且满满足足OAOAOB OOB O为为坐坐标标原原点点 , ,求求证证: :直直线线ABAB经经过过一一个个定定点点. .O OB BA Ax xy yO OB BA Ax xy y:,0 ,1.OAykx kxk解 如图 设的方程是则因OAOB,故可设OB的方程为y=-2222,2ykxppAkkypx由得 的坐标2212, 22yxBpkpkkypx 由得 的坐标22222,:2222ppyxkkABpppkpkkk由两点式 得的方程为例题讲解例题讲解2222,:1pkpAByxkkk整理 得的方程为2222:11pkpAByxkkkk的方程为222211kppyxkkkk221kyxpk例题讲解例题讲解直直线线ABAB经经过过一一个个定定点点 2p,0 .2p,0 .课堂小结课堂小结1.1.抛物线有许多几何性质，探究抛物抛物线有许多几何性质，探究抛物线的几何性质，可作为一个研究性学线的几何性质，可作为一个研究性学习课题，其中焦点弦性质中的有些结习课题，其中焦点弦性质中的有些结论会对解题有一定的帮助论会对解题有一定的帮助. .2.2.焦点弦性质焦点弦性质y y1 1y y2 2p p2 2是对焦点在是对焦点在x x轴上的抛物线而言的，对焦点在轴上的抛物线而言的，对焦点在y y轴轴上的抛物线，类似地有上的抛物线，类似地有x x1 1x x2 2p p2 2. .P73P73习题习题2.4A2.4A组：组：5 5，6. 6. P74P74习题习题2.4B2.4B组：组：1 1，3.3.布置作业布置作业