浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷

精品文档2007 年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（一）试卷题号一二三四总分得 分考试说明：1、考试时间为150 分钟；2、满分为150 分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过得分阅卷人程，本题共有 8 个空格，每一空格5 分，共 40 分）1 函1的定义域是数 ylg x2_ 。2设 y5sin 3 x ，则 dy。dx_ _3极限 lim1xn 1 x2 dx _ 。n04积分cot x。dx1sin x_ _ _5设 y11, 则 y 5_ _ 。1x 1x6积分sin7 xsin9 xdx_ 。07设 usin 2xyex 3y ，则 du_ _ 。8微分方程xdxx2 yy3y dy0 的通解.精品文档_ 。二选择题：（本题共有 4 个小题，每一个小题5 分，共 20得分阅卷人分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）3x1 sin1x11是 f x1设 f xx 1，则 x的 【】。3x22 ln xx1A . 连续点，B . 跳跃间断点，C . 无穷间断点，D . 振荡间断点。2.下列结论中正确的是【】。A . 若 lim an 11，则 lim an 存在，nannB . 若 lim anA ，则 lim an 1lim an 1n1，nnanlim annC . 若 lim anA ， lim bnB ，则 lim (an )b nAB ，nnnD . 若数列 a2n收敛，且 a2n a2n 10 n，则数列an 收敛。xsin tsin x13 设xx1 t t dt ， 则 当 x0 时 ，x 是x 的dt ，0 t0【】。A . 高阶无穷小，B . 等价无穷小，C . 同阶但非等价无穷小，D . 低阶无穷小。txln t，则 lim dy4已知函数【】。yln txe dxt2121A . e ，B .e2，C . e，D .e2 。三计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写出答案的不给分，本题共10 个小题，每小题 7 分，共70 分）.精品文档1设 y lncos2 x，求 dy 。1 ln 4 xdx2yln x2y2ydy。arctan所确定的是 x 的函数，求由方程xdx3计算极限lim 1cosx 。x 0x.精品文档4计算积分e3 sin x 2 cosxdx 。xex5计算积分x 2 dx 。1e6计算积分4 e2 x tan x 1 2 dx 。0-2xy3z0-7求经过点 1,1,1 且平行于直线的直线方程。-x2 y5z1-.-精品文档8计算积分y x dxdy ，其中 D : x2y2a2 。D9a ，函数f xf xxf x满足f a t dt 1，求任给有理数010将函数 f xx1 在点 x01 处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。3x四综合题：（本题共3 小题，共20 分）1（本题 10 分）设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成的图形的面积为S1 ，直线 yax, x1.精品文档与抛物线 yx 2 所围成的面积为S2 ，当 a1时，试确定 a 的值，使得 SS1S2 最小。1x1x x2 f x dx2（本题 6 分）证明：0x 2f y dy dx03（本题 4 分）当 0x时，求证 sin xx 。2.精品文档高等数学（一） 答案一填空题：1 2,33.2 y3sin2x cos x5sin3 xln 53 0sin x4 lnC1sin x5 y 525!1x 64697 du2 cos 2xyex 3 y dxcos 2xy3ex 3 y dy8 ln x2y 2y 2C二选择题：1。 A，2。D，3。C，4。D。三计算题：1解。 y2ln cos x1 ln 1ln 4x21 4 ln3x1ln 3 xy2 tan xx2 tan x221ln 4xln4 xx 12。解：方程两边对x 求导数，得1xyy2x2yxyy2x2 yy xyy2x 2 yy 1y2x 2x2y2x 2y 2x 2y 2xx 2 y y 2 x yy 2 x y 。x 2 y3解 :令 tx ， lim1cosxlim1 costsin t1xt2lim2t2x0t oto4解：原式1e3 sin x2d 3sin x21 e3 sin x 2C335解：xexdx xd( ex1)xd1x11 ex21 ex2x1ex1 exdxe1.精品文档xd e x1exxln 1 e xCx1x ln 1 exCex1e x11ex6解：4 e2 xtan x21 dx 04 e2 xsec2 x2 tan x dx4 e2 x sec2 xdx 24 e2 xtan xdx000 e2 x tan x 042 4 e2 x tan xdx24 e2 x tan xdxe2xtan x 04e 2002xy3z07解：平行于直线的直线的方向向量应是x2 y5z1ijkS213i7 j3k125所求直线方程为x1y 1z1173x22a28.解：IyxdxdyD :yD2222令 xcos,ysinxya2a2Id0cossind035a4 (cossin)d4 sincosd3043asincos4sincos2cos50343254cossind5sin44a21122242333a9解：原方程两边对x 求导数得f xf ax(1)f xf (a x)f aa xf ( x)f x 满足f x fx 0( 2)由原方程令 x0得 f 01由 (1) f0f a方程 (2)对应的特征方程为21 0即i.精品文档( 2)有通解f xc1 cos xf0 1得 c11即 f xfxsin x c2 cos xc2cos af x1 sin ac2 sin xcos xc2 sin xf 0 c2f acosa c2 sin acos xcos asin x1sin a10解：f xx12111x 111x21x2x1x1nx1n 12 n02n 02收敛区间为x11即1x32四、综合题：1解：当0a时yax与yx2的交点坐标是和( a, a2)1(0,0)S S1S20a ax x 2 dx1a x 2axa 3a 31 a3a a 3a 3a 12332323S a a21令 S a 0a122S a2a0在 0a1时SminS12226当 a0时yax 与 yx2的交点坐标是 (0,0)和(a, a2 )S S1S2a0 ax x2 dx10 x 2ax dxa3a 31aa 3a12332623Saa 210S a在a时单调减小.2201故在a时为S a的最小值S 0Smin0 ,S03又2 - 2221166 223 223在a时的最小值在a1时取到1S2SminS 12226.精品文档2解法一：用二重积分交换积分次序即可证得。I1xfy dy dx积分区域x 2yxy 2xy0x 20x10y11yf y dx dy1y y2f y dy1x x2f x dx0y200解法二：用一元函数分部积分法可证得1xx11xf y dy 00 xd0x2f y dy dx x x2x2 fy dy10 x21xfx2xf x2 dx10 2x 2 f x21x fx212x2f x211x fx dx0dx02x21x从 01第一个积分令 uxudxduu从012u12x2fx2dx1u11u fu du1x f x dx00 2ufdu002u第二个积分令 vx,xv2 ,dx2vdv1111121202x fx dx0 2vf v2vdv0vfv dv0 xf x dx1xf y dy dx0x23 证明：令1xx2f x dx0sin x1fxx2x cos xsin xxxxcostanfx222222x2x 2当0x时, cos x0,tan xx ,f x0222从而 fx 在 0,内单调减少 ,fx f00 xsin x1xx即2x即sin2.精品文档.