专题37方案设计型问题

中国领先的个性化教育品牌精锐教育学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：3课 题方案设计型问题教学目的教学内容一、【中考要求】方案设计问题是通过设置一个世纪问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案较优。方案设计问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力。它包括测方案设计、作图方案设计和经济类方案设计。（一）测量方案设计题，一般限定条件、限定测量工具，让同学们设计一个可行的方案，对某一物体的长度进行测量并计算，要注意的是设计出来的方案要有课操作性。（二）作图、拼图方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，它把作图的技能考查放在一个世纪生活的大背景下，考查学生的综合创新能力，它给同学们的创造性思维提供广阔的空间与平台。此类题常以某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，通过某些辅助线，将面积分割或分割后拼出符合某些条件的图形。（三）经济类方案设计题，一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多。方案设计题贴近生活，具有角强的操作性和实践性，解决此类问题时要慎于思考，要先思考后动手，设计性问题的结果不一定唯一，但必须符合实际情况。近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的要求学生自我设计题目。这类命题以综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等。二、【考点知识梳理】1“动手操作”类题，多指对某种图形按照要求完成某些操作，进而对结果进行探究，直至解决的一类题型“方案设计”是指根据要求，构造某种问题的具体解决方案或者对问题给出的若干种解决方法进行比较的一类题型2实际操作型问题是让学生在实际操作的基础上设计问题，主要有：(1)裁剪、折叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、对称性相联系；(2)与画图、测量、猜想、证明等有关的探究性问题3方案设计问题的题型主要包括：(1)根据实际问题拼接或分割图形；(2)利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等.三、【中考典例精析】类型一 动手操作题如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形则展开后三角形的周长是()A2 B22 C12 D18【点拨】动手操作法【答案】B提示：利用勾股定理即可得出结果类型二 方案设计题为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1 600元的资金再购买一批篮球和排球已知篮球和排球的单价比为32，单价和为80元(1)篮球和排球的单价分别是多少元？(2)若要求购买篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？【点拨】本题综合考查方程和不等式组的实际应用，正确理解题意找出题目的等量和不等量关系是解题的关键注意求n的整数解时不要漏解【解答】(1)设篮球的单价为x元，则排球的单价为x元，依题意得xx80，解得x48，x32.即篮球和排球的单价分别是48元和32元(2)设购买的篮球数量为n个，则购买的排球数量为(36n)个由题意得解得25n28.而n为整数，所以其取值为26、27、28，对应的36n的值为10、9、8，故共有三种购买方案方案一：购买篮球26个，排球10个；方案二：购买篮球27个，排球9个；方案三：购买篮球28个，排球8个四、【课堂训练】1如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；，根据以上操作，若要得到2 011个小正方形，则需要操作的次数是()A669 B670 C671 D672解析：第n次操作得到3n1个小正方形，所以3n12 011，所以n670.答案：B2(1)【操作发现】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD的内部小明将BG延长交DC于点F，认为GFDF，你同意吗？说明理由(2)【解决问题】保持(1)中的条件不变，若DC2DF，求的值(3)【类比探究】保持(1)中的条件不变，若DCnDF，求的值解：(1)同意连结EF.则EGFD90，EGAEED，EFEF.RtEGFRtEDF，GFDF.(2)由(1)知，GFDF.设DFx，BCy，则有GFx，ADy.DC2DF，CFx，DCABBG2x，BFBGGF3x.在RtBCF中，BC2CF2BF2，即y2x2(3x)2.y2x，.(3)由(1)知，GFDF，设DFx，BCy，则有GFx，ADy.DCnDF，DCABBGnx.CF(n1)x，BFBGGF(n1)x.在RtBCF中，BC2CF2BF2，即y2(n1)x2(n1)x2.y2x，.3君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同(1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？(2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司出厂价购买A、B两种产品的费用超过15 000元而不超过15 080元请你通过计算为青扬公司设计购买方案解：(1)设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产(x2)件A种产品根据题意3(x2)4x，解得x6.x28.因此，甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品(2)设青扬公司购买B种产品m件，则购买A种产品(80m)件15 000200(80m)180m15 080，解得46m50.m为整数，m为46或47或48或49.又乙车间8天只能生产48件，m为46或47或48.故共有三种购买方案：方案1: 购买A种产品32件，B种产品48件；方案2: 购买A种产品33件，B种产品47件；方案3: 购买A种产品34件，B种产品46件4有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4(如图所示)，另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球(除数不同外，其余都相同)小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；(2)小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平解：(1)画树状图如下：或列表如下：由图(表)知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，所以积为0的概率为P.(2)不公平因为由图(表)知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种，所以积为奇数的概率为P1；积为偶数的概率为P2.因为，所以该游戏不公平游戏规则可修改如下：若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢(只要正确即可)七、【课后达标练习】1（10龙岩）我校为迎接县中学生篮球比赛，计划购买A、B两种篮球共20个供学生训练使用若购买A种篮球6个，则购买两种篮球共需费用720元；若购买A种篮球12个，则购买两种篮球共需费用840元（1）A、B两种篮球单价各多少元？ （2）若购买A种篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元请你按要求设计出所有的购买方案供学校参考，并分别计算出每种方案购买、B两种篮球的个数及所需费用2（10常州）如图所示，小吴和小黄在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘甲、乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并在每个扇形区域内标上数字，游戏规则： 同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为4，5或6时，则小吴胜否则小黄胜。（如果指针恰好在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）（1）这个游戏规则对双方公平吗?说说你的理由；（2）请你设计一个对双方都公平的游戏规则.3为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县、两类薄弱学校全部进行改造根据预算，共需资金1575万元改造一所类学校和两所类学校共需资金230万元；改造两所类学校和一所类学校共需资金205万元（1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的类学校不超过5所，则类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县、两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元请你通过计算求出有几种改造方案？4一种电讯信号转发装置的发射直径为31km现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）5（10河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为：y =x150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额成本广告费）若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10a40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费， 设月利润为w外（元）（利润=销售额成本附加费）（1）当x=1000时，y= 元/件，w内= 元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？6.如图，小明想用皮尺测量池塘A、A间的距离，但现有皮尺无法直接测量，学习有关知识后，他想出了一个方法：先在地上取一个可以直接到达A、B两点的点O，连接OA、OB，分别在OA、OB上取中点C、D，连接CD，并测得CD=a，由此他即知道A、B间的距离是（ ）A.； B.； C.； D.7.如图，转盘被分成六个扇形区域，并在上面依次写上数字1、2、3、4、56，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止请你用这个转盘设计一个游戏（六等分扇形不变），使自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率是2/3，并说明你的设计理由（设计方案可用土所示，也可以用文字表述）。产品每件产品的产值甲4.5万元乙7.5万元8.市康智牛奶乳业有限公司经过市场调研,决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”,要求这两种产品全年共新增产品20件,这20件的总价值p(万元)满足:110p120已知有关数据如下表所示,那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量? 收地运地CD总计aX吨200吨b300吨总计240吨260吨500吨9.我市某乡A，B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村 有柑橘300吨。现在将这些柑橘运到C，B两个冷藏仓库。已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨：从A村运到C，D两处的费用分别为每吨20元至25元，从B村运到C，D两处的费用分别为每吨15至18元。设从A村运到C仓库的柑橘质量为x吨，A，B两村运往两仓库的柑橘费用分别为yA元和yB元（1）请填写下表并求出yA和yB与x之间的函数关系式（2） 试讨论A，B两个村中，那个村的运费少；（3） 考虑到B村的经济承受能力，B村的的柑橘不超过4830元。在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费最小？求出最小值。10.如图，在人民公园人工湖两侧的A，B两点欲建一座观赏桥，由于受条件限制，无法直接度量A，B间的距离，请你用学过的知识，在图中设计三种测量方案要求：（1）画出你设计的测量平面草图；（2）在图形中标出测量的数据（长度用a,b,c角度用，.表示）并写出测量的依据及AB的表达式。11.如图,在RtABC中,ACB=900, CAB=300,用圆规和直尺作图,用两种方法把它分成两个三角形,且要求其中一个三角形是等腰三角形(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)12.如图,某市经济开发区建有B、C、D三家食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900m，AD=BC=1700m。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC=500m。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出。(2)求出各厂所建的自来水管道的最低的造价各是多少？13.某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共40件，生产A、B两种产品用料情况如下表：需要甲原料需要乙原料一件A产品7kg4kg一件B产品3kg10kg 设生产A产品x件，请解答下列问题：（1）求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案。（2）若甲种原料50元/kg，乙种原料40元/kg，说明（1）中哪种方案较优？14.课题研究：现有边长为120cm的正方形铁皮，准备将它设计制作成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大。初三（1）班数学兴趣小组讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大。为此他们对水槽的横截面进行了探索：（1）方案一：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图），若ACB=900，设AC=xcm，该水槽的横截面面积为ycm2，请你写出y关于x的函数关系（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？方案二：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图），若ABC=1200，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案一中的y最大值比较 （2）假如你是该兴趣小组的成员,请你再提供两种方案,使你所设计的水槽横截面面积更大。画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）10.正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如图1：请你仿上用图示的方法，解答下列问题：操作设计：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形；如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形；如图4，对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形；精锐教育网站：www.1smart.org - 9 - 精锐教育 考试研究院