论文傅里叶变换的可视化及应用研究

论文编码： 首都师范大学本科学生毕业论文傅里叶变换的可视化及应用研究 作 者： 吴晓龙 院 系： 物理系 专 业： 物理学（师范） 学 号： 1070600080 指导教师： 郭怀明 日 期： 2011年5月9日 中文提要傅里叶变换是由实空间向频谱空间的变换。傅里叶变换的重要性在于很多实际问题在频谱空间更易处理，而快速傅里叶变换的发展则使之更便于应用。本文涉及傅里叶级数、连续傅里叶变换、快速傅里叶变换、广义傅里叶级数，旨在介绍它们之间的区别与联系，并探讨它们在MatLab中的可视化实现方法，以及在实际中的应用。本文最后还对傅里叶变换的意义做了简单探讨。关键词：傅里叶级数 傅里叶变换 快速傅里叶变换 可视化AbstractFourier Transform is a kind of transformation from the real-space to frequency-space. The reason why Fourier Transform is important is that many realistic problems are more easily to be solved in frequency-space. Specially,the development of Fast Fourier Transform make it more convenient to use. This paper reviews Fourier Series,Fourier Transform, Fast Fourier Transform and Generalized Fourier Series. We discuss the relationship and the difference among them,and introduce their applications in realistic problems,then visualize them in MatLab. Finally，we make some comments on the meaning of Fourier Transform.Keywords：Fourier Series Fourier Transform FFT VisualizationII目 录一、引言1二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用12.1 傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据12.2傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab可视化实现22.3傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用3三、DFT、FFT的可视化及应用43.1 DFT、FFT的数学依据43.2 FFT的Matlab可视化实现53.3 FFT的实际应用6四、广义傅里叶级数的可视化及应用84.1 广义傅里叶级数的数学依据84.2 广义傅里叶级数的Matlab可视化实现94.3 广义傅里叶级数的实际应用9五、傅里叶级数、傅里叶变换的意义11六、总结及结论12附录13参考文献17致谢18英文原文19中文译文30第2页一、引言傅里叶级数最初是法国数学家约瑟夫傅里叶在求解热传导方程时产生的，随后傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）应运而生，并不断的发展为一整套傅里叶分析理论体系。傅里叶分析在很多方面都有应用，但直到快速傅里叶变换（FFT）的诞生才把傅里叶分析推向了高潮。1965年，Cooley和Tukey两人在计算机科学上发表了机器计算傅里叶级数的一种算法一文，之后 FFT开始大规模应用。时至今日，傅里叶分析已被广泛的应用于信号分析、信号处理、光谱分析、量子力学、天体物理学、微分方程求解、地质勘探、医学、生物学等领域，成为数据分析的一种有效的基础手段。同时，结合各领域自身的特点，以傅里叶分析为基础而发展起来的其他更有效的分析方法也得到了广泛的实际应用。比如小波分析以及Z变换，在信号分析中应用都很广泛。但毋庸置疑，以傅里叶级数、傅里叶变换、DFT、FFT为基础的傅里叶分析依然是一种不可替代的简单而有效的分析方法。二、傅里叶级数、傅里叶变换的可视化及应用2.1 傅里叶级数、傅里叶变换的数学依据2.1.1 傅里叶级数傅里叶级数以三角函数系为展开函数，可以证明三角函数系是正交归一的。以2l为周期的任意周期函数的傅里叶级数形式为： （2-1-1） 若满足狄里克雷充分条件，即：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则的傅里叶级数收敛于。亦可写为复数形式的傅里叶级数： （2-1-2）R.Courant，D.Hilbert.Methods of Mathematical Physics（Volume I），Wiley，1989，49-50 2.1.2 傅里叶变换 对定义在上的非周期函数，在傅里叶级数形式中令半周期可得傅里叶积分公式形式，且若满足条件：（1）在任意有限区间内满足狄里克雷条件，（2）在上绝对可积，则的傅里叶积分收敛于。其展开形式为： （2-1-3）亦可写为复数形式傅里叶积分： （2-1-4）其中第二式即为傅里叶变换式，第一式又称傅里叶逆变换式。可以看出，两变换式前的系数存在一个自由度，因此变换式与对应的级数展开式之间也会相差一常数因子。同时也可以看出，变换的展开系数本身数值的绝对大小并不具有切实的物理意义，其相对大小才真正具有意义。2.2 傅里叶级数、傅里叶变换的Matlab可视化实现在给定形式后，运用Matlab中的积分命令“int()”可以实现对傅里叶级数、傅里叶变换中系数的计算，或运用傅里叶变换命令“fourier()”直接实现傅里叶变换，进一步作图可得到傅里叶变换的直观图像。下面我们就来看一个简单而典型的例子，以方波为例看看一个函数的傅里叶级数在MatLab中是怎样可视化实现的：例1.1：以T为周期的方波的傅里叶级数的可视化。= H 0 张志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航天航空大学出版社，2003从定义式（2-1-2）可以很容易得到的k级傅里叶展开系数为，由积分命令int()计算可得，又，故有基波及谐波振幅为，。用MatLab中的stem()函数做出基波及各级谐波振幅的直观图像，这里令H=1，T=2，图像如下（计算、作图程序见附录） 图1.1 方波的傅里叶级数谱 图1.2 方波脉冲的傅里叶变换谱从图中可以清晰地看出基波及各级谐波的振幅对比，振幅随级次的衰减、变化的趋势一目了然。我们还可以做一些拓展，来看看傅里叶级数与傅里叶变换之间存在的微妙联系。在例1.1中令则变为方波脉冲，其对应的傅里叶变换如图1.2。与图1.1对比可以看出实际上图1.2中的谱线就是图1.1中傅里叶级数谱的包络线，只是幅值大小相差倍。这也从侧面反映出了傅里叶级数与傅里叶变换之间的紧密联系。2.3 傅里叶级数、傅里叶变换的实际应用数学物理方程中波动方程（如一维波动方程：）、输运方程（如一维热传导方程：）的空间部分的本征函数解构成正交完备的三角函数系，因此可用傅里叶级数法或傅里叶变换法进行求解。傅里叶级数法适用于求解定义在有限区域内的问题，而傅里叶变换法则适用于求解定义在无限区域上的问题。同样的，傅里叶变换法可以看作是傅里叶级数法由有限区域向无限区域的一个推广，二者本质上没有区别，只是适用范围不同罢了。傅里叶级数法的基本思想是：在已知泛定方程在给定边界条件下的本征函数解系的前提下，将方程两侧展开为相应的傅里叶级数的形式，由本征函数系的正交性，对比系数得到一系列的关于解的各级傅里叶展开系数的相对简单的微分方程，通过结合初始条件对这一系列微分方程进行求解得出解的各级傅里叶展开系数，从而确定原问题的解。众所周知，这些数学物理方程是从许多实际的问题中提炼出来的，因此解决这些数理方程本身就是对实际问题的处理，只要将方程中相应的参数对应于实际问题中的参量，就可以解决实际问题了。为了更直观的体会傅里叶级数法解微分方程中的应用，我们用一个一维振动问题为例来看一下：例1.2：一维振动方程定解问题： 从物理实际上看，这个方程可以对应为一个受迫振动问题，方程右侧实际上就是振动源的振动形式。由于我们已经知道对应的齐次泛定方程在边界条件下的本征函数解系为。因此可将方程的两侧同时以函数系 为基底做傅里叶余弦级数展开，得到级数形式的方程，其中是方程的解的第n个傅里叶级数展开系数，、分别是函数、的第n个傅里叶展开系数。由函数系的正交性，可以从级数形式的方程中分离出各级展开系数所满足的微分方程， 可以看出分离出来的一系列微分方程较原来的微分方程要简单得多，只是一些二阶常微分 方程。解这些微分方程便可得到原方程的傅里叶级数形式的解。同样，若让例1.2中的参数，则问题转变为一维无限长弦的振动方程，相应的可以用傅里叶变换法进行求解，思路与傅里叶级数法完全相同。三、DFT、FFT的可视化及应用3.1 DFT、FFT的数学依据梁昆淼.数学物理方法，第三版.北京：高等教育出版社，1998，204-205DFT是对离散函数的傅里叶变换。其形式为 （3-1-1） 其中，是单位根。第一式即为DFT，第二式称为离散傅里叶逆变换（IDFT）。DFT也可写为矩阵形式，即，其中 。从某种程度上DFT也可以看作是连续傅里叶变换的一种近似形式，将连续傅里叶变换在一个周期内以n为取样点数等间隔取样，并由此做近似即可得到DFT的表达式，因此也常用于对连续傅里叶变换的近似。当然DFT与连续傅里叶变换相比还存在一些差异，只有满足取样定理，即，其中是对函数等间隔取样的取样间隔，是函数的截止频率，DFT才不会因为交叠而失真，从而能与连续傅里叶变换较好的吻合。FFT本质上还是DFT，因此就其表达式而言，仍为（3-1-1）的形式。FFT是利用三角函数的对称性和周期性发展而来的一种快速计算DFT的方法，对应的，其逆变换称为快速傅里叶逆变换（IFFT）。简单地说，FFT的基本思想就是不断地将原来N个数据点的DFT转化为两个低阶的N/2个数据点的DFT来进行计算，以达到简化计算的目的。FFT主体分为按时间抽样FFT算法和按频率抽样FFT算法两种，但二者殊途同归，最终都是通过不断地迭代进行蝶形运算从而达到简化运算量的目的。对于N个数据点的变换，FFT使复数乘法运算量从次减少到，大大降低了运算量。正是由于FFT的这个显著优势，让它在各领域中有着广泛而基础的应用。3.2 FFT的Matlab可视化实现FFT既然基于离散傅里叶变换，自然而然的就和计算机的数字化运作方式相吻合。在MatLab中有内置的函数“fft()”及“ifft()”可直接对给定的函数做FFT及IFFT。同样的，我们还是通过一个简单的例子来看看对函数的FFT是如何在MatLab中可视化实现的，为简单方便起见，我们仍选用方波函数：例2.1：对例1.1中方波的一个一个周期取样并做FFT。= H 0 梁昆淼.数学物理方法，第三版.北京：高等教育出版社，1998，406-417侯朝焕，阎世尊，蒋银林.实用FFT信号处理技术.北京：海洋出版社，1990. 22-27、92-99、107-108依然取H=1，T=2，取样点数N分别取为64和1024，通过函数fft(f)得到FFT谱，并经过对应的坐标变换与原连续傅里叶变换谱用plot()函数绘制在一起，做一下对比（作图程序见附录）图2.1 N=64时的FFT谱 图2.2 N=1024时的FFT谱 图中横轴对应频谱空间，但并未对应于实际频率。从图2.1与图2.2的对比中可以清晰的看到FFT与连续傅里叶变换的一致性，直观地为我们展现了FFT对连续傅里叶变换的近似作用；进一步也很容易看出采样点的密集使得FFT对连续傅里叶变换的近似更加精准。事实上这也很自然的为FFT的实际应用提供了一个线索。3.3 FFT的实际应用我们知道，在实际生活中，很多问题我们得不到连续的函数形式，更得不到漂亮的解析式，因此也无从运用连续傅里叶变换来处理问题，而此时FFT的优势便显现出来了，我们只需要得到等间隔取样的一些数据点，就可以完成对数据的变换。唯一需要担心的就是FFT与连续傅里叶变换的一致与否。而从前面例2.1直观地给出了 FFT对连续傅里叶变换的近似，可以看到只要取样的点足够密集，就可以得到近似度很高的结果。因此很大程度上，它是作为一种基础而有效的近似手段运用到连续傅里叶变换的应用领域。另外对于一些本身就是离散形式的问题就更不必说了。FFT在实际中的应用非常广泛，主要应用于信号处理、信号分析、光学等方面，以下对FFT在实际应用中主要涉及的几个方面举例加以说明。可以说信号处理的根本就是把想要的信号从掺杂的信号中提取出来，那么首先，我们从一个十分基础的信号处理问题出发，看看FFT是如何在信号处理中帮助我们完成以上想法的：例2.2：用FFT从夹杂有随机噪声的信号中分析出原始信号的成分。设原始信号为，伴随有两倍的均值为0、标准偏差为1的服从正态分布的随机噪声。图2.3 夹杂随机噪声的原始信号 图2.4 原始信号的FFT频谱这样的问题多出现在信号接收和光谱分析中，混合后的信号如图2.3。很明显，从图中根本无法直观的看出原始信号的成分。但当我们将混合后的信号做FFT，用plot()函数作图可以得到其振幅关于频率的图像，即图2.4（作图程序见附录）。从图像中我们可以清晰地分辨出原始信号的主要成分是由频率为50、70、120的三部分构成的，而其他频率的幅值则是由噪声引起的。同时，三个分支成分的幅值大小也与实际的原始信号的幅值大小相近。进一步，如果将主要成分通过滤波或其他方法提取出来，然后再做逆变换就可以得到想要的降噪了的原始信号了。以上这个例子还是有些抽象的，虽然我们可以把信号理解为声波信号等，但从波形信号到实际问题还有段距离。下面我们用一个更形象具体，更贴近实际的例子。我们平时看电视时，有时电视不清楚时会在屏幕上出现波浪条纹，下面我们就看看FFT如何帮助我们处理处理图像上夹杂的波浪条纹：例2.3：用FFT辅助处理夹杂周期条纹的图像。 图2.5 原始图像 图2.6 夹杂周期条纹图像 这样的问题多出现在电视图像信号处理及专门的图像处理工作中。如图2.5为原始图像，图2.6在原图像上附加上周期正弦条纹。正弦条纹覆盖整个图像，与原图像交织在一起，显然不宜在原图像中进行处理。我们将图2.6做二维FFT后由图像显示命令imshow()得到其频谱图，为方便观察去除直流分量后得到图2.7。颜色表示振幅的大小，颜色越浅则振幅越大。从图2.7中我们可以看出原图像的横向与纵向的周期性特征。图中左上和右下的两个“亮星”实际上就是条纹的频谱，经过简单的滤波处理后再由IFFT还原即得图像2.8，可以看到周期条纹基本已被去除了。（例中作图及FFT变换处理程序见附录） 图2.7 夹杂周期条纹图像的FFT频谱 图2.8 处理还原后图像当然图像的处理效果并不完美，但这超出本文讨论范围，本例重点在于呈现FFT辅助图像处理的基本原理，具体如何进行更好的处理可参看图像处理的专业书籍。通过对整个处理过程的了解我们可以看出，图像做FFT是为了使得本来交织在一起的原图像信号与干扰信号在一定程度上剥离开，从而可以更容易的对图像进行处理，去除干扰信号。当然，FFT在其他很多方面都应用广泛。像光学中干涉、衍射图像的模拟及分析以及微分方程中近似求解，以致其他很多涉及到频率分析的生物学、医学、地理勘测问题也都涉及到FFT的应用。四、广义傅里叶级数的可视化及应用4.1 广义傅里叶级数的数学依据广义傅里叶级数指勒让德函数、连带勒让德函数、贝赛尔函数等，它们与傅里叶级数一样都是一组正交完备的函数组，可以用于对函数的展开。这些函数与傅里叶级数对函数的展开都可一般化的写为 (4-1-1)其中即为广义傅里叶级数的k级展开函数，表示与的内积。梁昆淼.数学物理方法，第三版.北京：高等教育出版社，1998.281、303、333当然，对于不同的广义傅里叶函数，具体形式也不尽相同，如k的取值范围、收敛范围、收敛条件等。4.2 广义傅里叶级数的Matlab可视化实现MatLab中内置有勒让德函数、贝赛尔函数等，分别为命令“legendre()”、“besselj()”，可结合运用曲面作图命令“mesh()”、“surf()”或复变函数作图命令“cplxmap()”等做出图像。从数学物理方程的知识可以知道勒让德函数、贝赛尔函数都有自己的母函数，而这些母函数可以表达为其对应的广义傅里叶级数的形式。我们就用勒让德函数的母函数展开为勒让德级数的例子来看看广义傅里叶级数在MatLab中的可视化：例3.1：勒让德函数的母函数展开为勒让德级数形式。勒让德函数的母函数公式为 将母函数与其勒让德级数形式用mesh()函数分别作图如下，其中勒让德级数取到级次（作图程序见附录）图3.1 勒让德函数的母函数图象 图3.2 勒让德级数取至的图像从图像对比中可以看出级数形式与母函数相一致，只是在r=1附近有些不同，这是由于对级数截断至造成的，随截断级次的增大，级数图像将与母函数图象越来越一致。4.3 广义傅里叶级数的实际应用像勒让德函数、连带勒让德函数、贝赛尔函数这样的广义傅里叶函数都是在数学物理方程的求解过程中产生的，因此广义傅里叶级数的应用与傅里叶级数的应用有相仿之处。广义傅里叶级数同样适用于求解微分方程，只是其适用的方程与连续傅里叶变换不同罢张志涌.精通MATLAB6.5.北京：北京航天航空大学出版社，2003梁昆淼.数学物理方法，第三版.北京：高等教育出版社，1998.290-291了。广义傅里叶级数的一个重要应用是用于研究量子力学中在中心力场作用下的散射问题，与连续傅里叶级数的应用一样，广义傅里叶级数之所以能应用是由于它是所要求解的方程的本征函数组。下面就通过一个例子来看看广义傅里叶变换是如何应用于分波法的：例3.2：广义傅里叶级数用于分波法处理中心力场下粒子的散射问题。由于中心力场的作用，显然将入射波展开为具有球对称性的球面波将更利于问题的求解。分波法的思路看起来与傅里叶级数法解微分方程的思路很相似。我们在已知能量和角动量的共同本征函数的前提下，将入射波，如形式的平面波，展开为以能量和角动量的共同本征函数为基的广义傅里叶级数将前几级次的球面波用命令surf()做出图像，如图3.3-3.6（作图程序见附录）图3.3 球面波分量图 图3.4 球面波分量图 图3.5 球面波分量图 图3.6 球面波分量图曾谨言.量子力学（卷I），第四版.北京：科学出版社，2007.426-431梁昆淼.数学物理方法，第三版.北京：高等教育出版社，1998.371从图中我们可以清晰的看到各级球面波的对称性，以及各分量的大小，幅值随级次增大的变化趋势等。同样的，我们将波函数也做相同的级数展开，写为其中在时就是。将级数形式的波函数带回薛定谔方程由球谐函数的正交性可以得出一系列分离的方程 其中。以及波函数应满足的边界条件其中为散射波幅，依照分波法的思路，它也可对应写为各分波散射波幅的叠加。至此，我们已经掌握了入射波、方程及边界条件的分波形式，得到的分波方程较原方程要简单得多。由相应的微分方程理论可以得到各分波散射波幅的表达式，叠加得到散射波幅，进而求出散射截面的表达式。一般情况下只用考虑前两三个分波就可以得到很好的近似结果了，这也是分波法的优越之处。五、傅里叶级数、傅里叶变换的意义众所周知，我们一直将傅里叶级数、傅里叶变换、FFT看作是向频谱空间的变换，这从其三角级数的形式本身可以看出，当然对于复数形式，我们也可以借助量子力学解释，其展开函数正是动量的本征函数，因此傅里叶变换正是向动量空间的变换，而我们知道动量空间实际上与频率空间是一致的。事实上，正是由于傅里叶级数、傅里叶变换、FFT所具有的这个物理意义才使得其在频谱分析中得到广泛应用。而另一方面，我们从傅里叶级数、傅里叶变换、FFT、广义傅里叶级数的实际应用例子中可以明显地看到它们在解决实际问题时的思路无外乎以下两点：（1）将复杂的问题分解为若干简单的问题求解（2）将纠缠的问题通过变换分离开来如果我们抛开傅里叶级数法、傅里叶变换本身，而仅从这两点出发，我们便可以看到傅里叶级数法、傅里叶变换的更深层次的意义。它为我们提供了一种解决问题的思路，如果我们可以用不同的变换方法将复杂的问题分解化，将纠缠的问题分离化，我们就可以用这种变换来处理问题。六、总结及结论以上综述了傅里叶级数、傅里叶变换、FFT、广义傅里叶级数的理论基础；实现了它们的MatLab可视化；举例讨论了它们在实际各方面的应用。通过对理论基础的对比我们可以看到它们之间的相互联系与区别，知道了傅里叶级数、广义傅里叶级数法的建立基础，并认识到发展出傅里叶变换、DFT、FFT的理论根基。通过MatLab可视化，我们直观而形象地看到了它们各自的特征、特点，更好的理解了它们的数学、物理意义。最后通过在实际各方面的应用，我们看到了它们在实际中的应用方式、方法，并对其能够解决的各类问题有了一个大致的了解。最终，总结出了它们解决实际问题的思路主体在于将复杂的问题分解化，将纠缠的问题分离化。附录程序例1.1：傅里叶系数计算：syms x H k tao Tint(H*exp(-1i*2*k*pi/T*x)/T,x,-tao/2,tao/2)绘制图像：H=1;T=2;tao=0.25;for k=1:20 y(k)=abs(H*sin(pi*k*tao)/T)/(pi*k); endy=H*tao/T,y;x=0:20;stem(x,y,bo,MarkerFaceColor,b)例2.1：N=64;H=1;tao=0.25;T=2;y=zeros(1,N+1);for k=1:N+1; if(-T/2+k*T/N=-tao/2)&(-T/2+k*T/N=tao/2) y(k)=1; endendY=fft(y);Y(1)= ;n=fix(length(Y)/2);x1=-50:1/10:50;y1=abs(sin(tao*x1/2)./x1/pi)/pi;plot(x1,y1,r-,LineWidth,2)hold onplot(1:n).*pi,abs(Y(1:n)/length(Y)/10),b-.,LineWidth,3)axis(-50 50 0 0.015)hold off例2.2：t = 0:0.001:0.5;x = sin(2*pi*50*t) + 0.8*sin(2*pi*120*t)+2*sin(2*pi*70*t);y = x + 2*randn(size(t);Y = fft(y);freq=(0:length(Y)-1)/length(Y)*1000;figure(1)plot(t,y)axis(0 0.1 -8 8)figure(2)plot(freq,2*abs(Y)/501)axis(0 500 0 2)例2.3：a=imread(F:Xs.JPG); x1=rgb2gray(a);D0=50;D1=65;M,N=size(x1); filt=zeros(M,N); for i=1:M, for j=1:N, x(i,j)=x1(i,j)+100*sin(1*i+1*j); if or(abs(i-M/2)=D1), filt(i,j)=1; end; end;end;freq_im=fft2(x); freq_im=fftshift(freq_im); y=(1/(M*N)*freq_im;filt_im=freq_im.*filt;new_freq=ifftshift(filt_im);new_im=ifft2(new_freq,M,N);y1=abs(filt_im);figure(1)imshow(x1);figure(2)imshow(x); figure(3)imshow(abs(y);figure(4)imshow(abs(new_im), );例3.1：X,Z=meshgrid(0:0.1:3),(0:0.1:2);Q,R=cart2pol(X,Z);R(R=1)=NaN;u=1./sqrt(1-2.*R.*cos(Q)+R.2);figure(1)meshc(X,Z,u)axis(0 3 0 2 0 10)Rin=R;Rin(Rin1)=NaN;Rout=R;Rout(Rout0), respectively; i.e. we set . The following theorem then holds: Every function which is piecewise smooth in the interval and periodic with the period may be expanded in a Fourier series;that is, the Fourier polynomialsConverge to f(x) with increasing n. Moreover, we shall prove: Theconvergence of the Fourier series is uniform in every closed interval in which the function is continuous. We shall forst give the proof for the case of continuous f(x) in which discontinuities occur only in the derivative f(x). If the expansion coefficients of f(x) are denoted by and , we have，Since f(x) is piecewise continuous, we have the completeness relation。Thus This immediately establishes the absolute and uniform convergence of the infinite serieswhich represents the function f(x), because of the completeness of the trigonometric functions. To verify that the Fourier series expansion is also valid for functions which are discontinuous but piecewise smooth, we start by considering a particular function of this type, defined by， ， ，This fuction jumps by at the points . Its Fourier coefficients are ， If the Fourier expansion is valid for piecewise continuous functions we have，To justify this equation we first form the function，Which is everywhere continuous and piecewise smooth. By the above reasoning, the Fourier series of this function converges uniformly and is equal to g(x). The coefficients are related to the by the equations， ，If we set and we haveWith increasing n, converges to zero and the sum converges uniformly to g(x). It follows that also coverfes uniformly to g(x) in the interval , and therefore that itself converges uniformly to h（x） in every closed subinterval not including the point x=0. At this excluded point x=0 all partial sums vanish, so that . Thus the value of the series at the point of discontinuity is also equal to the value of h(x), namely to the arithmetic mean of the right-hand and left-hand limits and . As the function h(x) jumps by at x=0. the function jumps by at and is otherwise continuous in the basic interval. Now, if f(x) is a piecewise continuous function which jumps by at the points of the interval , thenis a function which is everywhere continuous and which, along with f(x), has a piecewise continuous first derivative. Therefore, F(x) may be expanded in a Fourier series which converges absolutely and uniformly. But the functionmay also be expanded in a Fourier series, the converfence of which is uniform in every interval not containing any of the points of discontinuity. Thus the theorem formulated at athe beginning of this section is proved completely.2. Multiple Fourier Series. The trigonometric functions can be used to construct orthogonal systems over “cubes” in higher dimensional spaces. For simplicity we consider only the “plane” case (two dimensions). All our arguments will, however, be valid for any number of dimensions. The functions ， ， ， form an orthogonal system in the square , . The expansion formulas may be written most simply in terms of complex exponentials. If F(s,t) can be expanded in a uniformly convergent double Fourier series, the series iswith The completeness of the system of functions and thus the completeness relationfollow by our general theorem on the construction of complete systems in several variables from complete systems in one variable. Futhermore, the Fourier series fot F(s,t) converges absolutely and uniformly if exists and is piecewise continuous,(cf. Subsection 1).3. Order of Magnitude of Fourier Coefficients. If a periodic function f(x) is continuous and has continuous derivatives up to the (h-1)-st order, if its h-th derivative id piecewise continuous, and if the Fourier expansion of f(x) is , then the coefficients , for , can be estimated byWhere c is a constant. Thus, the smoother the function, the more rapidly the coefficients of the series tend to zero. The above relation may be obtained immediately if exoression (15) for the coefficients is integrated by parts h times.4. Change in Length of Basic Interval. If the function f(x) is periodic with period 2l it may be expanded in the seriesWith，Which may also be written in the form，5. Examples. For simple examples of the application of the theory of Fourier series the reader is referred to elementary texts. Here we shall employ the Fourier series expansion to derive the functional equation of the theta function and a general formula by Poisson. The functional equation of the theta function isTo prove this relation, we set； is evidently a periodic function of y with the period l, which possesses all derivatives with respect to y and which may therefore by expanded in the Fourier series，WithSince the orders of summation and integration may be interchanged for all x0, we obtain for the co