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矩阵与变换教学思考与备考建议教学思考与备考建议一、背景分析一、背景分析1、浙江省、浙江省2、其他省份、其他省份（1）广东省）广东省（2）海南、宁夏）海南、宁夏（3）山东省）山东省2007、2008年考试内容分析：年考试内容分析：省区省区文理文理选修系列选修系列4广东广东理理1几何证明选讲几何证明选讲2不等式选讲不等式选讲3坐标系与参数方程坐标系与参数方程文文1坐标系与参数方程坐标系与参数方程2几何证明选讲几何证明选讲山东山东理理不考不考文文不考不考海南海南宁夏宁夏理理1几何证明选讲几何证明选讲2不等式选讲不等式选讲3坐标系与参数方程坐标系与参数方程文文1坐标系与参数方程坐标系与参数方程2几何证明选讲几何证明选讲填空题解答题2008江苏高考数学科考试说明江苏高考数学科考试说明 附加题部分考查的内容是选修系列附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修（不含选修系列系列1）中的内容以及选修系列）中的内容以及选修系列4中专题中专题4-1几何几何证明选讲证明选讲、4-2矩阵与变换矩阵与变换、4-4坐标系坐标系与参数方程与参数方程、4-5不等式选讲不等式选讲这这4个专题的个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）。内容（考生只需选考其中两个专题）。 （4）江苏省1422 yx1002AFF2008年高考江苏数学试题年高考江苏数学试题在平面直角坐标系中，设椭圆在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵在矩阵对应的变换下得到曲线对应的变换下得到曲线求求的方程的方程.， 的方程是 00(,)P xy00(,)P xyA解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点00(,)P xy，则有 ，即 00002xxyy，所以00002xxyy 又因为点P在椭圆上， F221xy所以00/0/01002yxyx具体考查要求如下：具体考查要求如下：内内容容要要求求ABC矩阵的有关概念矩阵的有关概念二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量常见的平面变换常见的平面变换矩阵的复合与矩阵的乘法矩阵的复合与矩阵的乘法二阶逆矩阵二阶逆矩阵二阶矩阵的特征值和特征向量二阶矩阵的特征值和特征向量二阶矩阵的简单应用二阶矩阵的简单应用二、教学思考二、教学思考1、知识结构2、教学定位3、教学建议常见的二阶矩阵常见的二阶矩阵矩阵的乘法矩阵的乘法逆矩阵逆矩阵特征值特征值切变变换矩阵投影变换矩阵伸缩变换矩阵反射变换矩阵旋转变换矩阵恒等变换矩阵常见几何变换常见几何变换变换的复合变换的复合逆变换逆变换特征向量特征向量切变变换投影变换伸缩变换反射变换旋转变换恒等变换矩阵与变换矩阵与变换1、知识结构、知识结构只讨论具体的二阶矩阵只讨论具体的二阶矩阵从几何上理解矩阵的有关知识从几何上理解矩阵的有关知识为进一步学习高等数学奠定基为进一步学习高等数学奠定基础础2、教材定位及意图与大学教学相区别：与大学教学相区别： 大学大学:代数的运算对象代数的运算对象,主要研究运算性主要研究运算性质质;线性方程组与线性空间的表示方法线性方程组与线性空间的表示方法. 课程标准课程标准:通过几何变换对几何图形的通过几何变换对几何图形的作用体会矩阵的几何作用作用体会矩阵的几何作用,从直观上认从直观上认识矩阵的意义识矩阵的意义.“矩阵与变换”与“线性代数” 线性代数线性代数突出的是代数，计算及运算规律，内容抽象。突出的是代数，计算及运算规律，内容抽象。方程组方程组行列式行列式矩阵矩阵线性空间线性空间 “矩阵与变换矩阵与变换”强调矩阵的几何背景和矩阵强调矩阵的几何背景和矩阵的几何意义，强调通过具体的变换建立和的几何意义，强调通过具体的变换建立和理解这些抽象的概念理解这些抽象的概念.突出矩阵的几何意义突出矩阵的几何意义从具体到一般，从直观到抽象从具体到一般，从直观到抽象用实例展示矩阵应用广泛性用实例展示矩阵应用广泛性运用信息技术运用信息技术3、设计思路及特色4、教学建议（1）重视展现基本概念、重要结论）重视展现基本概念、重要结论 的发生发展过程的发生发展过程 （2）强调把矩阵看作线性变换的本质，）强调把矩阵看作线性变换的本质， 强调几何直观强调几何直观（3）强调数学思想方法的渗透和运用）强调数学思想方法的渗透和运用 （4）处理好五大关系）处理好五大关系具体与抽象具体与抽象操作与理解操作与理解基础与拓展基础与拓展局部与整体局部与整体总结与提高总结与提高三、备考建议三、备考建议 1准确把握教学要求，落实基础准确把握教学要求，落实基础2加强相关知识的联系性，强加强相关知识的联系性，强 调数学思想方法调数学思想方法3严格控制本专题内容的教学严格控制本专题内容的教学 难度难度 2 2认真研读课标，吃透教学意见认真研读课标，吃透教学意见4 4、注重规范，、注重规范，重视通性通法重视通性通法3 3回归课本，抓好基础落实回归课本，抓好基础落实1 1研究高考试题，把握考试趋势研究高考试题，把握考试趋势5 5、了解学生学情，制订复习计划了解学生学情，制订复习计划矩阵-几何变换的代数表示120) 1(110112011112111) 1(011102101112矩阵就是一个几何变换，它 把平面上的任一个点 ，变成平面上的另一个点。中学常见的几种几何变换的矩阵表示 旋转变换旋转变换 反射变换反射变换 伸缩变换伸缩变换 投影变换投影变换 切变变换切变变换伸缩变换1/2 00 11 00 1/2反射变换-1 00 11 00 -1切变变换1 02 11 10 1旋转变换0 -11 00 1-1 0投影变换1 00 00 01 1矩阵变换的基本性质线性 也就是，AA)(A) 2A)(A) 1AA)(A矩阵表示的变换，把直线或者变成直线，或者变成一个点 直线的向量方程一般地，在平面直角坐标系中，经过点M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为210vvv矩阵乘法的几何意义变换的合成乘法满足结合律，不满足交换律1/2 00 1 0 -1 1 00 -11 01/2 00 1的变换过程(先旋转后压缩):的变换过程(先压缩后旋转):逆变换与逆矩阵 反射变换之逆为反射变换 伸缩变换之逆为伸缩变换 旋转变换之逆为旋转变换 切变变换之逆为切变变换-1 00 1-1 00 1线性方程组与变换 线性方程组的矩阵形式 求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变换变为一个已知向量。 可以根据变换，讨论可逆解的情况。2132xyxy 1MxMx213112yx？那么它的解的情况如何不可逆，的系数矩阵的二元一次方程组如果关于变量思考教材dcbaAfdycxebyaxyxP,60.feyxAfeyxdcba，即矩阵表示为已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时,l1与l2（）相交；（）平行；（）重合。0)2(33212221mmmmmmll相交、022610321/221mmmmmll且222222221xy把矩阵对应的线性变换作用在上，试写出所得曲线的方程，教材第28页第5题双曲线并画出图形.22222222yx22222222yxyyxx22222222/1xy22/2/ xyyx,/, yx222 xy解：矩阵对应的线性变换为其坐标变换公式为双曲线方程，得分别用代替，得/yx，代入，通过旋转变换可研究某些非标准方程的曲线的几何性质。有何变化趋势？逐渐变大时，问：当，且满足已知点列),(, 215 . 035 . 02),(,),(),(1111222111nnnnnnnnnnnnyxPnyxyxyyxxyxPyxPyxP.21, 1, 02123213212det,213212212121111解得的特征多项式为因此，由题意知，解：设AyxAyxAyxnnnn).10, 5(31)21(10531)21()4(2115.454, 523213121213121211211212111趋向于逐渐变大时，当，即解得，则有设，的一个特征向量时，得矩阵当，的一个特征向量时，得矩阵当nnnnnnnnnPnyxAyxtstststsAA如如:(1)反射变换和投影变换中对称轴和投影直线反射变换和投影变换中对称轴和投影直线仅限于坐标轴或过原点的直线；仅限于坐标轴或过原点的直线；(2)矩阵乘法的性质只限于交换律、结合律、消去矩阵乘法的性质只限于交换律、结合律、消去律这三种运算的讨论；律这三种运算的讨论；(3)对二阶行列式，只是利用它来求逆矩阵和求解对二阶行列式，只是利用它来求逆矩阵和求解矩阵的特征值，不必展开；矩阵的特征值，不必展开；(4)对于用逆矩阵的方法解二元一次方程组，只要对于用逆矩阵的方法解二元一次方程组，只要求了解其意义，不必作大量的练习；求了解其意义，不必作大量的练习；(5)对于特征值，只求它们是两个不同实数的情形。对于特征值，只求它们是两个不同实数的情形。走出误区：走出误区：1、轻视本专题内容的教学、轻视本专题内容的教学2、本专题内容的内容教学、本专题内容的内容教学 进度可以快一点进度可以快一点3、复习时间紧张、复习时间紧张,放弃本专放弃本专 题内容的复习题内容的复习2008年年11月月28日日
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