资源描述
椭圆及其性质建议用时：45分钟一、选择题1(2019北京高考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4bB由题意，得，则，4a24b2a2，即3a24b2.故选B.2已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()AB(1，)C(1,2)DC由题意得解得1k2.故选C.3椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为()A1B1C1D1D由题意可设椭圆C的标准方程为1(ab0)，且另一个焦点为F2(0，1)，所以2a|PF1|PF2|4.所以a2，又c1，所以b2a2c23.故椭圆C的标准方程为1.故选D.4以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()AB1CDB设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设2c，则c，c.由椭圆定义，得2a|DF1|DF2|cc，所以e1，故选B.5已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2B6 C4D12C由椭圆的方程得a.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4.二、填空题6已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为_(5,0)圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3,0)，c3.又b4，a5.椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5,0)7(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_(3，)不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得又因为点M在第一象限，所以M的坐标为(3，)8已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足120的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_满足120的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有cb，即c2b2，又b2a2c2，所以c2a2c2，即2c2a2，所以e2，又因为0e1，所以0e.三、解答题9已知点P是圆F1：(x1)2y216上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点求点M的轨迹C的方程解由题意得F1(1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|MP|，从而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点M的轨迹方程为1.10(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解(1)连接PF1(图略)，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)1已知椭圆C：1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|()A4B8 C12D16B设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是MAN的中位线，则|DF1|AN|，同理|DF2|BN|，所以|AN|BN|2(|DF1|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|DF2|4，所以|AN|BN|8.2.2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确式子的序号是()AB CDD观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20知，即a1c2，即式正确，式不正确故选D.3(2019三明模拟)已知ABC的顶点A(3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆1上，则_.3由椭圆方程1，得长轴长2a10，短轴长2b8，焦距2c6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点在ABC中，|AB|6，|BC|AC|10，由正弦正理可得，3.4(2109山西太原一模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且PF1F2的周长为6，若PF1F2面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上解(1)由题意得椭圆C的方程为1.(2)由(1)得A(2,0)，B(2,0)，F2(1,0)，设直线MN的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(43m2)y26my90，y1y2，y1y2，my1y2(y1y2)，直线AM的方程为y(x2)，直线BN的方程为y(x2)，(x2)(x2)，3，x4，直线AM与BN的交点在直线x4上1(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21B1C.1D1B设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图不妨设A(0，b)，由F2(1,0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B.2如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，(E，F是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于_如图，圆锥面与其内切球O1，O2分别相切与B，A，连接O1B，O2A则O1BAB，O2AAB.过O1作O1DO2A垂直于D，连接O1F，O2E，EF交O1O2于点C.设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为.则在RtO1O2D中，DO2312，O1D2cos .O1O28，CO28O1C.EO2CFO1C，解得O1C2.CF，即cos .则椭圆的离心率e.
展开阅读全文