资源描述
热点专题突破系列(三)数列的综合应用考点一考点一 等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题【考情分析【考情分析】等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点(1)(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n n项和公式、项和公式、等差等差( (比比) )中项、等差中项、等差( (比比) )数列的性质数列的性质. .(2)(2)重点考查基本量重点考查基本量( (即即“知三求二知三求二”, ,解方程解方程( (组组)的计算以及灵活运的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题用等差、等比数列的性质解决问题. .【典例【典例1 1】(2014(2014湖北高考湖北高考) )已知等差数列已知等差数列aan n 满足满足:a:a1 1=2,=2,且且a a1 1,a,a2 2,a,a5 5成等比数列成等比数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)记记S Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项和项和, ,是否存在正整数是否存在正整数n,n,使得使得S Sn n60n+800?60n+800?若若存在存在, ,求求n n的最小值的最小值; ;若不存在若不存在, ,说明理由说明理由. .【解题提示【解题提示】(1)(1)设设aan n 的公差为的公差为d,d,由由2,2+d,2+4d2,2+d,2+4d成等比数列可求得成等比数列可求得公差公差d,d,从而根据通项公式表示出数列从而根据通项公式表示出数列aan n 的通项的通项. .(2)(2)根据数列根据数列aan n 的通项公式表示出数列的通项公式表示出数列aan n 的前的前n n项和公式项和公式S Sn n, ,令令S Sn n60n+800,60n+800,解此不等式解此不等式. .【规范解答【规范解答】(1)(1)设数列设数列aan n 的公差为的公差为d,d,依题意依题意,2,2+d,2+4d,2,2+d,2+4d成等比成等比数列数列, ,故有故有(2+d)(2+d)2 2=2(2+4d),=2(2+4d),化简得化简得d d2 2-4d=0,-4d=0,解得解得d=0d=0或或d=4.d=4.当当d=0d=0时时,a,an n=2;=2;当当d=4d=4时时,a,an n=2+(n-1)=2+(n-1)4=4n-2,4=4n-2,从而得数列从而得数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2=2或或a an n=4n-2.=4n-2.(2)(2)当当a an n=2=2时时,S,Sn n=2n.=2n.显然显然2n60n+800,2n60n+80060n+800成立成立. .当当a an n=4n-2=4n-2时时, , 令令2n2n2 260n+800,60n+800,即即n n2 2-30n-4000,-30n-4000,解得解得n40n40或或n-10(n60n+80060n+800成立成立,n,n的最小值为的最小值为41.41.综上综上, ,当当a an n=2=2时时, ,不存在满足题意的不存在满足题意的n.n.当当a an n=4n-2=4n-2时时, ,存在满足题意的正整数存在满足题意的正整数n,n,其最小值为其最小值为41.41.2nn24n2S2n .2【规律方法【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)(1)分析已知条件和求解目标分析已知条件和求解目标, ,确定为最终解决问题需要首先求解的中确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题间问题, ,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差差( (公比公比) )等等, ,确定解题的顺序确定解题的顺序. .(2)(2)注意细节注意细节. .在等差数列与等比数列综合问题中在等差数列与等比数列综合问题中, ,如果等比数列的公如果等比数列的公比不能确定比不能确定, ,则要看其是否有等于则要看其是否有等于1 1的可能的可能, ,在数列的通项问题中第一在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等项和后面的项能否用同一个公式表示等, ,这些细节对解题的影响也是这些细节对解题的影响也是巨大的巨大的. .提醒提醒: :在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论, ,分类解分类解决问题后还要注意结论的整合决问题后还要注意结论的整合. .【变式训练【变式训练】(2015(2015石家庄模拟石家庄模拟) )已知数列已知数列aan n 为前为前n n项和项和S Sn n=1-ka=1-kan n(k0,nN(k0,nN* *).).(1)(1)用用n,kn,k表示表示a an n. .(2)(2)若数列若数列bbn n 对任意正整数对任意正整数n,n,均有均有(b(bn+1n+1-b-bn+2n+2)lna)lna1 1+(b+(bn+2n+2-b-bn n)lna)lna3 3+ +(b(bn n-b-bn+1n+1)lna)lna5 5=0.=0.求证求证: :数列数列bbn n 为等差数列为等差数列. .(3)(3)在在(1),(2)(1),(2)中中, ,设设k=1,bk=1,bn n=n+1,x=n+1,xn n=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+ +a+an nb bn n, ,试求数列试求数列xxn n 的的通项公式通项公式. .【解析【解析】(1)(1)由已知得由已知得a a1 1=S=S1 1=1-ka=1-ka1 1, ,所以所以a a1 1= .= .又当又当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=ka=kan-1n-1-ka-kan n, ,所以所以 所以所以aan n 是以是以 为首项为首项, , 为公比的等比数列为公比的等比数列, ,所以所以 1k1nn 1ak,ak11k1kk1n 1n 1nn1kka()(k0,nN*).k1 k1k1(2)(2)由由(1)(1)令等比数列令等比数列aan n 的公比为的公比为q,q,则则q1,aq1,a3 3=a=a1 1q q2 2,a,a5 5=a=a1 1q q4 4代入等式化简代入等式化简, ,所以所以(b(bn+2n+2+b+bn n-2b-2bn+1n+1)lnq=0,)lnq=0,因为因为q1,q1,所以所以2b2bn+1n+1=b=bn+2n+2+b+bn n, ,所以数列所以数列bbn n 为等差数列为等差数列. .(3)(3)因为因为k=1,k=1,所以所以所以所以 所以所以所以所以x xn n= = 得得 - -得得所以所以111a,q,22nn1a,2nnn1a bn1 ,223n234n1222212n234nn 11234nn1x222222n23nn 11111n1x122222 nnn3x3.2【加固训练【加固训练】(2015(2015南昌模拟南昌模拟) )已知已知aan n 是单调递增的等差数列是单调递增的等差数列, ,首项首项a a1 1=3,=3,前前n n项和为项和为S Sn n, ,数列数列bbn n 是等比数列是等比数列, ,首项首项b b1 1=1,=1,且且a a2 2b b2 2=12,=12,S S3 3+b+b2 2=20.=20.(1)(1)求求aan n 和和bbn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)令令c cn n=S=Sn ncos(acos(an n)(nN)(nN* *),),求求ccn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .【解析【解析】(1)(1)设数列设数列aan n 的公差为的公差为d,d,数列数列bbn n 的公比为的公比为q,q,则则a a2 2b b2 2=(3+d)q=12,=(3+d)q=12,S S3 3+b+b2 2=3a=3a2 2+b+b2 2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则则(3+d)(11-(3+d)(11-3d)=33+2d-3d3d)=33+2d-3d2 2=12,=12,即即3d3d2 2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因为因为aan n 是单调递增的等差数列是单调递增的等差数列, ,所以所以d0,d0,所以所以d=3,q=2,d=3,q=2,a an n=3+(n-1)=3+(n-1)3=3n,b3=3n,bn n=2=2n-1n-1. .(2)(2)由由(1)(1)知知当当n n是偶数时是偶数时, ,T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+ +c+cn n=-S=-S1 1+S+S2 2-S-S3 3+S+S4 4- -S-Sn-1n-1+S+Sn n=a=a2 2+a+a4 4+a+a6 6+ +a+an n=6+12+18+=6+12+18+3n=+3n=2nnn2n33Snn,n22cS cos 3n33Snn,n.22 是偶数，是奇数3n n2.4当当n n是奇数时，是奇数时，T Tn n=T=Tn-1n-1-S-Sn n= =23 n1 n133nn4222n23n1 .43n n2,n4T3n1n.4 是偶数，综上可得， 是奇数考点二考点二 数列与函数的综合问题数列与函数的综合问题【考情分析【考情分析】数列与函数的特殊关系数列与函数的特殊关系, ,决定了数列与函数交汇命题的决定了数列与函数交汇命题的自然性自然性, ,是高考命题的易考点是高考命题的易考点, ,主要考查方式有主要考查方式有: :(1)(1)以函数为载体以函数为载体, ,考查函数解析式的求法考查函数解析式的求法, ,或者利用函数解析式给出或者利用函数解析式给出数列的递推关系、数列前数列的递推关系、数列前n n项和的计算方法项和的计算方法(2)(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题根据数列是一种特殊的函数这一特点命题, ,考查利用函数的单调性考查利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题【典例【典例2 2】(2015(2015哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )已知二次函数已知二次函数y=f(xy=f(x) )的图象经过坐标的图象经过坐标原点原点, ,其导函数为其导函数为f(xf(x)=6x-2,)=6x-2,数列数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,点点(n,S(n,Sn n) )(nN(nN* *) )均在函数均在函数y=f(xy=f(x) )的图象上的图象上. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)设设 T Tn n是数列是数列bbn n 的前的前n n项和项和, ,求使得求使得T Tn n 1.1.(1)(1)设设b bn n=log=log2 2(a(an n-1),-1),求证求证: :数列数列bbn n+1+1为等比数列为等比数列. .(2)(2)设设c cn n=nb=nbn n, ,求数列求数列ccn n 的前的前n n项和项和S Sn n. .【解析【解析】(1)(1)因为函数因为函数f(xf(x)=x)=x2 2+bx+bx为偶函数为偶函数, ,所以所以b=0,b=0,所以所以f(x)=xf(x)=x2 2, ,所以所以a an+1n+1=2f(a=2f(an n-1)+1=2(a-1)+1=2(an n-1)-1)2 2+1,+1,所以所以a an+1n+1-1=2(a-1=2(an n-1)-1)2 2. .又又a a1 1=3,a=3,an n1,b1,bn n=log=log2 2(a(an n-1),-1),所以所以b b1 1=log=log2 2(a(a1 1-1)=1,-1)=1,所以所以所以数列所以数列bbn n+1+1是首项为是首项为2,2,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列. .22n 12n2nn 1n2n2n2nloga11log 2 a1122loga1b12.b1loga11loga11loga11(2)(2)由由(1)(1)得得,b,bn n+1=2+1=2n n, ,所以所以b bn n=2=2n n-1,-1,所以所以c cn n=nb=nbn n=n=n2 2n n-n.-n.设设A An n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+ +n+n2 2n n, ,则则2A2An n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ +n+n2 2n+1n+1, ,所以所以-A-An n=2+2=2+22 2+2+23 3+ +2+2n n-n-n2 2n+1n+1= -n= -n2 2n+1n+1=2=2n+1n+1-n-n2 2n+1n+1-2,-2,所以所以A An n=(n-1)2=(n-1)2n+1n+1+2.+2.设设B Bn n=1+2+3+4+=1+2+3+4+n,+n,则则B Bn n= = 所以所以S Sn n=A=An n-B-Bn n=(n-1)2=(n-1)2n+1n+1+2- +2- n2 1212n n1.2n n1.2【加固训练【加固训练】设函数设函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为R,R,当当x0 x1,)1,且对任意的实且对任意的实数数x,yRx,yR, ,有有f(x+y)=f(x)f(yf(x+y)=f(x)f(y).).(1)(1)求求f(0),f(0),判断并证明函数判断并证明函数f(xf(x) )的单调性的单调性. .(2)(2)数列数列aan n 满足满足a a1 1=f(0),=f(0),且且f(af(an+1n+1)= (nN)= (nN* *),),数列数列bbn n 满足满足b bn n=a=an n-8.-8.求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n的最小值及相应的的最小值及相应的n n的值的值. .n1f2a 【解析【解析】(1)x,y(1)x,yR,R,f(x+y)=f(x)f(x+y)=f(x)f(y),xf(y),x01,)1,令令x=-1,y=0,x=-1,y=0,则则f(-1)=f(-1)f(0),f(-1)=f(-1)f(0),因为因为f(-1)1,f(-1)1,所以所以f(0)=1.f(0)=1.若若x0,x0,则则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-xf(x-x)=f(0)=f(x)f(-x),),故故f(xf(x)= (0,1),)= (0,1),故故xR,f(xxR,f(x)0,)0,任取任取x x1 1x0,0,所以所以0f(x0f(x2 2-x-x1 1)1,)1,所以所以f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),故故f(xf(x) )在在R R上是减函数上是减函数. .1fx(2)(2)a a1 1=f(0)=1,f(a=f(0)=1,f(an+1n+1)= =f(2+a)= =f(2+an n),),由由f(xf(x) )单调性单调性a an+1n+1=a=an n+2.+2.故故aan n 是等差数列是等差数列, ,所以所以a an n=2n-1.=2n-1.b bn n=2n-9,T=2n-9,Tn n=n=n2 2-8n,-8n,当当n=4n=4时时,(T,(Tn n) )minmin=-16.=-16.n1f2a 考点三考点三 数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题【考情分析【考情分析】数列与不等式的综合问题是高考考查的热点数列与不等式的综合问题是高考考查的热点. .考查方式考查方式主要有三种主要有三种: :(1)(1)判断数列问题中的一些不等关系判断数列问题中的一些不等关系, ,如比较数列中的项的大小关系等如比较数列中的项的大小关系等. .(2)(2)以数列为载体以数列为载体, ,考查不等式的恒成立问题考查不等式的恒成立问题, ,求不等式中的参数的取求不等式中的参数的取值范围等值范围等. .(3)(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题考查与数列问题有关的不等式的证明问题. .【典例【典例3 3】(2014(2014上海高考上海高考) )已知数列已知数列aan n 满足满足 a an naan+1n+13a3an n, ,nNnN* *,a,a1 1=1.=1.(1)(1)若若a a2 2=2,a=2,a3 3=x,a=x,a4 4=9,=9,求求x x的取值范围的取值范围. .(2)(2)若若aan n 是等比数列是等比数列, ,且且a am m= ,= ,求正整数求正整数m m的最小值的最小值, ,以及以及m m取最小取最小值时相应值时相应aan n 的公比的公比. .(3)(3)若若a a1 1,a,a2 2, ,a,a100100成等差数列成等差数列, ,求数列求数列a a1 1,a,a2 2, ,a,a100100的公差的取值范的公差的取值范围围. .1311000【解题提示【解题提示】(1)(1)根据根据 a a2 2aa3 33a3a2 2, a, a3 3aa4 43a3a3 3可求得可求得x x的范围的范围. .(2)(2)根据根据 a a1 1aa2 23a3a1 1可把可把q q的范围求出的范围求出, ,再根据通项将再根据通项将m m用用q q表示出来表示出来, ,用放缩法求解用放缩法求解. .(3)(3)根据根据 a an naan+1n+13a3an n, ,可得公差的关系式可得公差的关系式, ,对对n n分类讨论可得分类讨论可得. .13131313【规范解答【规范解答】(1)(1)依题意依题意, a, a2 2aa3 33a3a2 2, ,所以所以 x6;x6;又又 a a3 3aa4 43a3a3 3, ,所以所以3x27;3x27;综上可得综上可得:3x6.:3x6.132313(2)(2)设公比为设公比为q,q,由已知得由已知得,a,an n=q=qn-1n-1, ,又又 a a1 1aa2 23a3a1 1, ,所以所以 q3,q3,又又a am m=q=qm-1m-1= ,= ,所以所以 q1,q0,0,所以所以S Sn n-3,-3,只有只有S Sn n=n=n2 2+n.+n.当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n=n2 2+n-(n-1)+n-(n-1)2 2-(n-1)=2n,-(n-1)=2n,而而a a1 1=2,=2,符合符合a an n=2n,=2n,所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n(nN=2n(nN* *).).21S21a2nSnn1111(3)1aa12n 2n14n(n)2111111111114(n)(n1) (n)(n1)nn1444444因为，1122nn1122nn111aa1aa1a (a1)1111111()()()11111141223nn1444444111111().11434n331n1441111n.aa1aa1aa13所以故对一切正整数 ，有【加固训练【加固训练】1.(20151.(2015贵阳模拟贵阳模拟) )已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,满足满足S Sn n= a= an n-n(nN-n(nN* *).).(1)(1)求证求证: :数列数列aan n+1+1是等比数列是等比数列. .(2)(2)令令b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+1)+log+log3 3(a(an n+1),+1),对任意对任意nNnN* *, ,是否是否存在正整数存在正整数m,m,使使 恒成立恒成立? ?若存在若存在, ,求出求出m m的值的值; ;若不若不存在存在, ,请说明理由请说明理由. .3212n111mbbb4【解析【解析】(1)(1)当当n=1n=1时时,S,S1 1=a=a1 1= a= a1 1-1,-1,解得解得a a1 1=2,=2,当当n2n2时时, ,由由S Sn n= a= an n-n-n得得S Sn-1n-1= a= an-1n-1-n+1.-n+1.两式相减得两式相减得,S,Sn n-S-Sn-1n-1= a= an n- a- an-1n-1-1,-1,即即a an n=3a=3an-1n-1+2(n2),+2(n2),则则a an n+1=3(a+1=3(an-1n-1+1).+1).又又a a1 1+1=2+1=3,+1=2+1=3,故数列故数列aan n+1+1是首项为是首项为3,3,公比为公比为3 3的等比数列的等比数列. .3232323232(2)(2)由由(1)(1)知知a an n+1=3+1=33 3n-1n-1=3=3n n. .所以所以b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+1)+log+log3 3(a(an n+1)=1+2+1)=1+2+n=+n=n n1,2n12n12112(),bn n1nn1111bbb1111112(1)()()2(1)223nn1n1所以则由由 对任意对任意nNnN* *恒成立，得恒成立，得2(1- ) 2(1- ) ，即，即m m 对任意对任意nNnN* *恒成立恒成立, ,因为因为 ，所以，所以m4.m4.又因为又因为mNmN* *，所以，所以m=1,2,3,4.m=1,2,3,4.12n111mbbb41n1m418(1)n111111n122 2.2.已知数列已知数列aan n 为等比数列为等比数列, ,其前其前n n项和为项和为S Sn n, ,已知已知a a1 1+a+a4 4=- ,=- ,且对且对于任意的于任意的nNnN+ +, ,有有S Sn n,S,Sn+2n+2,S,Sn+1n+1成等差数列成等差数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)已知已知b bn n=n(nN=n(nN+ +),),记记T Tn n= = 若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)对于对于n2n2恒成立恒成立, ,求实数求实数m m的最小值的最小值. .716312n123nbbbb| |aaaa，【解析【解析】(1)(1)设公比为设公比为q,q,因为因为S S1 1,S,S3 3,S,S2 2成等差数列成等差数列, ,所以所以2S2S3 3=S=S1 1+S+S2 2, ,所以所以2a2a1 1(1+q+q(1+q+q2 2)=a)=a1 1(2+q),(2+q),得得q=-q=-又又a a1 1+a+a4 4=a=a1 1(1+q(1+q3 3)=)=所以所以a a1 1= =所以所以a an n=a=a1 1q qn-1n-1= =1,27,161,2n1() .2(2)(2)因为因为b bn n=n,a=n,an n= =所以所以 =n=n2 2n n, ,所以所以T Tn n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+ +n+n2 2n n, ,2T2Tn n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ +(n-1)+(n-1)2 2n n+n+n2 2n+1n+1, ,- -得得-T-Tn n=2+2=2+22 2+2+23 3+ +2+2n n-n-n2 2n+1n+1, ,所以所以T Tn n=-( -n=-( -n2 2n+1n+1)=(n-1)=(n-1)2 2n+1n+1+2.+2.n1() ,2nnb|an 12212若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)对于对于n2n2恒成立恒成立, ,则则(n-1)(n-1)2 2m(n-1)m(n-1)2 2n+1n+1+2-n-1,+2-n-1,(n-1)(n-1)2 2m(n-1)m(n-1)(2(2n+1n+1-1),-1),所以所以m m 令令f(n)= ,f(n+1)-f(n)=f(n)= ,f(n+1)-f(n)=所以所以f(nf(n) )为减函数为减函数, ,所以所以f(n)f(2)= .f(n)f(2)= .所以所以m .m .n 1n1,21n 1n121n 1n 2n 1n 2n 12n 21nn10,212121 211717考点四考点四 数列的实际应用问题数列的实际应用问题【考情分析【考情分析】此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、产量的此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款等客观背景进行设增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款等客观背景进行设置置, ,它不仅涉及数列中的基本知识和方法它不仅涉及数列中的基本知识和方法, ,还往往涉及其他学科的知识还往往涉及其他学科的知识和常识和常识【典例【典例4 4】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. .该企业第一该企业第一年年初有资金年年初有资金2 0002 000万元万元, ,将其投入生产将其投入生产, ,到当年年底资金增长了到当年年底资金增长了50%.50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. .公司要求企业从第一年公司要求企业从第一年开始开始, ,每年年底上缴资金每年年底上缴资金d d万元万元, ,并将剩余资金全部投入下一年生产并将剩余资金全部投入下一年生产. .设设第第n n年年底企业上缴资金后的剩余资金为年年底企业上缴资金后的剩余资金为a an n万元万元. .(1)(1)用用d d表示表示a a1 1,a,a2 2, ,并写出并写出a an+1n+1与与a an n的关系式的关系式. .(2)(2)若公司希望经过若公司希望经过m(m3)m(m3)年使企业的剩余资金为年使企业的剩余资金为4 0004 000万元万元, ,试确定试确定企业每年上缴资金企业每年上缴资金d d的值的值( (用用m m表示表示).).【解题提示【解题提示】(1)(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额只要根据增长率求出当年年底的资金总额, ,再减去上再减去上缴的资金缴的资金, ,就是剩余资金就是剩余资金, ,即可求出即可求出a a1 1,a,a2 2, ,以及建立以及建立a an+1n+1与与a an n间的递推关间的递推关系式系式. .(2)(2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列aan n 的通项公式的通项公式a an n, ,令令a am m=4 000=4 000即可求出即可求出d.d.【规范解答【规范解答】(1)(1)由题意得由题意得a a1 1=2 000(1+50%)-d=2 000(1+50%)-d=3 000-d,=3 000-d,a a2 2=a=a1 1(1+50%)-d= a(1+50%)-d= a1 1-d=4 500- d,-d=4 500- d,所以所以a an+1n+1=a=an n(1+50%)-d= a(1+50%)-d= an n-d.-d.323252(2)(2)由由(1)(1)得得, ,当当n2n2时时, ,整理得整理得 由题意由题意,a,am m=4 000,=4 000,所以所以 (3 000-3d)+2d=4 000,(3 000-3d)+2d=4 000,2nn 1n 2n 2n 12n 2133 333aad( ad)d( ) add22 2223333( )ad1( )( ).2222n 1n 1n 1n333a( )3 000d2d( )1( )3 0003d2d.222m 13( )2解得解得 故该企业每年上缴资金故该企业每年上缴资金d d的值为的值为 时时, ,经过经过m(m3)m(m3)年企年企业的剩余资金为业的剩余资金为4 0004 000万元万元. .mmm 1mmm3( )2 10001 000(32)2d.332( )12mm 1mm1 000(32)32【一题多解【一题多解】在解答第在解答第(2)(2)问时问时, ,你知道几种解法你知道几种解法? ?在解答第在解答第(2)(2)问时问时, ,还可有以下解法还可有以下解法: :由于由于a an+1n+1= a= an n-d,-d,设设a an+1n+1+= (a+= (an n+),),化为化为a an+1n+1= a= an n+ ,+ ,与与a an+1n+1= a= an n-d-d比较可得比较可得=-2d,-2d,故故a an+1n+1-2d= (a-2d= (an n-2d),-2d),这说明数列这说明数列aan n-2d-2d是以是以a a1 1-2d=3 000-3d-2d=3 000-3d为首项为首项, , 为公比的等比数列为公比的等比数列, ,32323212323232所以所以a an n-2d=(3 000-3d)-2d=(3 000-3d) , ,即即a an n=(3 000-3d)=(3 000-3d) +2d. +2d.( (下同上面解法下同上面解法).).n 13( )2n 13( )2【规律方法【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤解答数列实际应用问题的步骤(1)(1)确定模型类型确定模型类型: :理解题意理解题意, ,看是哪类数列模型看是哪类数列模型, ,一般有等差数列模型、一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型等比数列模型、简单的递推数列模型. .基本特征见下表基本特征见下表: :数列模型数列模型基本特征基本特征等差数列等差数列均匀增加或者减少均匀增加或者减少等比数列等比数列指数增长指数增长, ,常见的是增产率问题、存款复利问题常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推简单递推数列数列指数增长的同时又均匀减少指数增长的同时又均匀减少. .如年收入增长率为如年收入增长率为20%,20%,每每年年底要拿出年年底要拿出a(a(常数常数) )作为下年度的开销作为下年度的开销, ,即数列即数列aan n 满满足足a an+1n+1=1.2a=1.2an n-a-a(2)(2)准确解决模型准确解决模型: :解模就是根据数列的知识解模就是根据数列的知识, ,求数列的通项、数列的求数列的通项、数列的和、解方程和、解方程( (组组) )或者不等式或者不等式( (组组) )等等, ,在解模时要注意运算准确在解模时要注意运算准确. .(3)(3)给出问题的回答给出问题的回答: :实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案际问题的答案, ,在解题中不要忽视了这点在解题中不要忽视了这点. .【变式训练【变式训练】(2015(2015济南模拟济南模拟) )为了综合治理交通拥堵状况为了综合治理交通拥堵状况, ,缓解机缓解机动车过快增长势头动车过快增长势头, ,一些大城市出台了一些大城市出台了“机动车摇号上牌机动车摇号上牌”的新规的新规. .某某大城市大城市20152015年初机动车的保有量为年初机动车的保有量为600600万辆万辆, ,预计此后每年将报废本年预计此后每年将报废本年度机动车保有量的度机动车保有量的5%,5%,且报废后机动车的牌照不再使用且报废后机动车的牌照不再使用. .同时每年投放同时每年投放1010万辆的机动车牌号万辆的机动车牌号. .只有摇号获得指标的机动车才能上牌只有摇号获得指标的机动车才能上牌, ,经调研经调研, ,获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌. .(1)(1)问问: :到到20192019年初年初, ,该城市的机动车保有量为多少万辆该城市的机动车保有量为多少万辆. .(2)(2)根据该城市交通建设规划要求根据该城市交通建设规划要求, ,预计机动车的保有量少于预计机动车的保有量少于500500万辆万辆时时, ,该城市交通拥堵状况才真正得到缓解该城市交通拥堵状况才真正得到缓解. .问问: :至少需要多少年可以实至少需要多少年可以实现这一目标现这一目标. .( (参考数据参考数据:0.95:0.954 4=0.81,0.95=0.81,0.955 5=0.77,lg0.75=-0.13,lg0.95=-0.02)=0.77,lg0.75=-0.13,lg0.95=-0.02)【解析【解析】(1)(1)设设20152015年年初机动车保有量为年年初机动车保有量为a a1 1万辆万辆, ,以后各年年初机动以后各年年初机动车保有量依次为车保有量依次为a a2 2万辆万辆,a,a3 3万辆万辆, , ,每年新增机动车每年新增机动车1010万辆万辆, ,则则a a1 1=600,a=600,an+1n+1=0.95a=0.95an n+10.+10.又又a an+1n+1-200=0.95(a-200=0.95(an n-200),-200),且且a a1 1-200=600-200=400,-200=600-200=400,所以数列所以数列aan n-200-200是以是以400400为首项为首项,0.95,0.95为公比的等比数列为公比的等比数列. .所以所以a an n-200=400-200=4000.950.95n-1n-1, ,即即a an n=400=4000.950.95n-1n-1+200.+200.所以所以20192019年初机动车保有量为年初机动车保有量为a a5 5=400=4000.950.954 4+200=524+200=524万辆万辆. .(2)(2)由题可知由题可知,a,an n=400=4000.950.95n-1n-1+200500,+200500,即即0.950.95n-1n-10.75, +1=7.5,n +1=7.5,故至少需要故至少需要8 8年时间才能实现目标年时间才能实现目标. .lg 0.75lg0.95【加固训练【加固训练】1.1.某软件公司新开发一款学习软件某软件公司新开发一款学习软件, ,该软件把学科知识该软件把学科知识设计为由易到难共设计为由易到难共1212关的闯关游戏关的闯关游戏. .为了激发闯关热情为了激发闯关热情, ,每闯过一关都每闯过一关都奖励若干慧币奖励若干慧币( (一种网络虚拟币一种网络虚拟币).).该软件提供了三种奖励方案该软件提供了三种奖励方案: :第一种第一种, ,每闯过一关奖励每闯过一关奖励4040慧币慧币; ;第二种第二种, ,闯过第一关奖励闯过第一关奖励4 4慧币慧币, ,以后每一关比以后每一关比前一关多奖励前一关多奖励4 4慧币慧币; ;第三种第三种, ,闯过第一关奖励闯过第一关奖励0.50.5慧币慧币, ,以后每一关比以后每一关比前一关奖励翻一番前一关奖励翻一番( (即增加即增加1 1倍倍).).游戏规定游戏规定: :闯关者须于闯关前任选一闯关者须于闯关前任选一种奖励方案种奖励方案. .(1)(1)设闯过设闯过n(nNn(nN, ,且且n12)n12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为关后三种奖励方案获得的慧币依次为A An n,B,Bn n,C,Cn n, ,试求出试求出A An n,B,Bn n,C,Cn n的表达式的表达式. .(2)(2)如果你是一名闯关者如果你是一名闯关者, ,为了得到更多的慧币为了得到更多的慧币, ,你应如何选择奖励方你应如何选择奖励方案案? ?【解析【解析】(1)(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列, ,所以所以A An n=40n,=40n,第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4,4,公差也为公差也为4 4的等差数的等差数列列, ,所以所以B Bn n=4n+ =4n+ 4=2n4=2n2 2+2n,+2n,第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5,0.5,公比为公比为2 2的等比数的等比数列列, ,n n12nnn11212C21 .122所以(2)(2)令令A An nBBn n, ,即即40n2n40n2n2 2+2n,+2n,解得解得0n19,0nBBn n恒成立恒成立. .令令A An nCCn n, ,即即40n (240n (2n n-1),-1),可得可得n10,n10,所以当所以当n10nAAn n, ,综上综上, ,若你是一名闯关者若你是一名闯关者, ,当你能冲过的关数小于当你能冲过的关数小于1010时时, ,应选用第一种应选用第一种奖励方案奖励方案; ;当你能冲过的关数大于等于当你能冲过的关数大于等于1010时时, ,应选用第三种奖励方案应选用第三种奖励方案. .122.2.一企业的某产品每件利润一企业的某产品每件利润100100元元, ,在未做电视广告时在未做电视广告时, ,日销售量为日销售量为b b件件. .当对产品做电视广告后当对产品做电视广告后, ,记每日播记每日播n n次时的日销售量为次时的日销售量为a an n(nN(nN* *) )件件, ,调调查发现查发现: :每日播一次则日销售量每日播一次则日销售量a a1 1件在件在b b件的基础上增加件的基础上增加 件件, ,每日播每日播二次则日销售量二次则日销售量a a2 2件在每日播一次时日销售量件在每日播一次时日销售量a a1 1件的基础上增加件的基础上增加 件件, ,每日播每日播n n次次, ,该产品的日销售该产品的日销售a an n件在每日播件在每日播n-1n-1次时的日销售量次时的日销售量a an-1n-1件的基础上增加件的基础上增加 件件. .合同约定合同约定: :每播一次企业需支付广告费每播一次企业需支付广告费2b2b元元. .(1)(1)试求出试求出a an n与与n n的关系式的关系式. .(2)(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大, ,求每日电视广告需播求每日电视广告需播多少次多少次. .b2b4nb2【解析【解析】(1)(1)由题意，电视广告日播由题意，电视广告日播k k次时，该产品的日销售量次时，该产品的日销售量a ak k满足满足a ak k=a=ak-1k-1+ (kN+ (kN* *,a,a0 0=b),=b),所以，该产品每日销售量所以，该产品每日销售量a an n( (件件) )与电视广告播放量与电视广告播放量n(n(次次/ /日日) )的关系的关系式为式为a an n=b(2- )(nN=b(2- )(nN* *).).kb2nn2nn111 ( ) bbb122ab()bbb(2) nN* .1222212所以n12(2)(2)该企业每日播放电视广告该企业每日播放电视广告n n次时获利为次时获利为C Cn n=100b(2- )-2bn=100b(2-0.02n- )(nN=100b(2- )-2bn=100b(2-0.02n- )(nN* *).).因为因为C Cn n-C-Cn-1n-1=100b( -0.02)0=100b( -0.02)0即即2 2n n50,nN50,nN* *, ,所以所以n5(nNn5(nN* *),),因为因为C Cn+1n+1-C-Cn n=100b( -0.02)0=100b( -0.02)02 2n n2525n5,n5,所以所以n=5.n=5.所以要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播所以要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5 5次次. .n12n12n12n 112
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