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第十二章第十二章 概率与统计概率与统计第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃20102010 年高考题年高考题一、选择题一、选择题1.1.（20102010 辽宁理）辽宁理） （3）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A）12 (B)512 (C)14 (D)16【答案】B【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A，则P(A)=P(A1)+ P(A2)=211335+=434122.2.（20102010 江西理）江西理）11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p和2p，则A. 1p=2p B. 1p2p D。以上三种情况都有可能【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为110，总概率为0010101(0.1) (0.9)C；同理，方法二：每箱的选中的概率为15，总事件的概率为0055141( ) ( )55C，作差得1pa 的概率是 （A）45 (B)35 （C）25 (D)15【答案】D5.5.（20102010 广东理）广东理）8.为了迎接 2010 年广州亚运会，某大楼安装 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）A、 1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒【答案】C每次闪烁时间 5 秒，共 5120=600s，每两次闪烁之间的间隔为 5s，共 5（120-1）=595s总共就有 600+595=1195s6.6.（20102010 湖北理）湖北理）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是A 512 B 12 C 712 D 34二、填空题二、填空题1.1.（20102010 上海文）上海文）10. 从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 2 张，则“抽出的 2 张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示） 。【答案】351解析：考查等可能事件概率“抽出的 2 张均为红桃”的概率为513252213CC2.2.（20102010 湖南文）湖南文）11.在区间-1,2上随即取一个数 x，则 x0,1的概率为 。【答案】13【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。3.3.（20102010 辽宁文）辽宁文） （13）三张卡片上分别写上字母 E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词 BEE 的概率为 。 【答案】13解析： 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：,BEE EBE EEB，概率为：1.34.4.（20102010 重庆文）重庆文） （14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_ .解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p 5.5.（20102010 重庆理）重庆理） （13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为_.解析：由251612 p得53p6.6.（20102010 湖北文）湖北文）13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9.则服用这咱新药的 4个病人中至少 3 人被治愈的概率为_（用数字作答） 。【答案】0.9744【解析】分情况讨论:若共有 3 人被治愈，则3314(0.9)(10.9)0.2916PC；若共有 4 人被治愈，则42(0.9)0.6561P ，故至少有 3 人被治愈概率120.9744PPP7.7.（20102010 湖南理）湖南理）11在区间上随机取一个数 x，则的概率为 8.8.（20102010 湖南理）湖南理）9已知一种材料的最佳入量在 110g 到 210g 之间。若用 0.618 法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g9.9.（20102010 安徽理）安徽理）15、甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3个白球和 3 个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A和3A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号） 。 25P B ； 15|11P B A； 事件B与事件1A相互独立；123,A A A是两两互斥的事件； P B的值不能确定，因为它与123,A A A中哪一个发生有关【答案】【解析】易见123,A A A是两两互斥的事件，而1235524349( )|10111011101122P BP B AP B AP B A。【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在123,A A A是两两互斥的事件，把事件 B 的概率进行转化123( )|P BP B AP B AP B A，可知事件 B 的概率是确定的.10.10.（20102010 湖北理）湖北理）14某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望 E=8.9，则 y 的值为 .【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9xyxy 联合解得0.4y .11.11.（20102010 福建理）福建理）13某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 。【答案】0128【解析】由题意知，所求概率为2425C0.80.2 =0.128。【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。12.12.（20102010 江苏卷）江苏卷）3、盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _.【解析】考查古典概型知识。3162p 三、解答题三、解答题1.1.（20102010 浙江理）浙江理）19.19.(本题满分 l4 分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，C，则分别设为 l，2，3 等奖（I）已知获得 l，2，3 等奖的折扣率分别为 50，70，90记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望E；(II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动，记随机变量为获得 1 等奖或 2等奖的人次，求)2(P解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 ()解：由题意得 的分布列为507090p31638716则 =31650+3870+71690=34.（）解：由()可知，获得 1 等奖或 2 等奖的概率为316+38=916.由题意得 （3，916）则 P（=2）=23C(916)2(1-916)=17014096.2.2.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理） （20） （本小题满分 12 分） 如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （）求p； （）求电流能在M与N之间通过的概率； （）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望 【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.3.3.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （20） （本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电源能通过T1，T2，T3的概率都是 P，电源能通过 T4的概率是 0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999。（）求 P；（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率。【解析解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，（1 1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1T1，T2T2，T3T3 至少有一个能通过至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得电流用基本事件表示并求出概率即可求得 P P。（2 2）将）将 MNMN 之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。4.4.（20102010 江西理）江西理）18. （本小题满分 12 分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列；（2）求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1）必须要走到 1 号门才能走出，可能的取值为 1，3，4，61(1)3P，111(3)326P，111(4)326P，22111(6)() 1323PA 分布列为：（2）11117134636632E 小时5.5.（20102010 重庆文）重庆文） （17） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ）在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1,2，6） ，求：（）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.1346P131616136.6.（20102010 北京理）北京理）(17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123p6125ad24125()求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；()求p，q的值；()求数学期望E。解：事件iA表示“该生第i门课程取得优秀成绩” ，i=1,2,3，由题意知 14()5P A ，2()P Ap，3()P Aq（I）由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“0”是对立的，所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 61191(0)1125125P ，（II）由题意知 12316(0)()(1)(1)5125PP A A Apq 123424(3)()5125PP A A Apq整理得 6125pq ，1pq由pq，可得35p ，25q .（III）由题意知123123123(1)()()()aPP A A AP A A AP A A A =411(1)(1)(1)(1)555pqpqp q 37125 (2)1(0)(1)(3)bPPPP =58125 0(0) 1(1)2 (2)3 (3)EPPPP =957.7.（20102010 四川理）四川理） （17） （本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E.解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=16P(A B CA A)=P(A)P(B)P(C)=15252( )66216A答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为252166 分（2）的可能值为 0,1,2,3P(=k)=3315( ) ( )66kkkC(k=0,1,2,3)所以中奖人数的分布列为0123P12521625725721216E=0125216+12572+2572+31216=1212 分8.8.（20102010 天津理）天津理） （18）.（本小题满分 12 分）某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率（）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记为射手射击 3 次后的总的分数，求的分布列。【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分 12 分。（1）解：设X为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则X25,3B.在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率22252240(2)133243P XC（）解：设“第i次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)iA i ；“射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件A,则 123451234512345( )()()()P AP A A A A AP A A A A AP A A A A A =3232321121123333333 =881（）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6 312311(0)()327PP A A A123123123(1)()()()PP A A AP A A AP A A A =2221121122333333391232124(2)()33327PP A A A123123(3)()()PP A A AP A A A2221118333327123(6)()PP A A A328327所以的分布列是9.9.（20102010 广东文）广东文）17.（本小题满分 12 分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20 至 40 岁401858大于 40 岁152742总计554510010.10.（20102010 福建文）福建文）18 （本小题满分 12 分） 设平顶向量ma （ m , 1）, nb= ( 2 , n )，其中 m， n 1,2,3,4 （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果； （II）记“使得ma（ma-nb）成立的（ m，n ） ”为事件 A，求事件 A 发生的概率。11.11.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理）(18)(本小题满分 12 分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3各专家独立评审 (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (II)记X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望 12.12.（20102010 四川文）四川文） （17） （本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求三位同学都没有中奖的概率；（）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.13.13.（20102010 山东理）山东理）P( =4)=312+423112423311423=1124，所以的分布列为234( )P1810241124数学期望E=128+10324+41124=103。【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。14.14.（20102010 福建理）福建理）0149P16131316所以E=106113143196196。15.15.（20102010 江苏卷）江苏卷）22.本小题满分 10 分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。（1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列；（2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。解析 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分 10 分。解：（1）由题设知，X 的可能取值为 10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.80.9=0.72， P（X=5）=0.20.9=0.18， P（X=2）=0.80.1=0.08， P（X=-3）=0.20.1=0.02。 由此得 X 的分布列为：X1052-3P0.720.180.080.02（2）设生产的 4 件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件。 由题设知4(4)10nn，解得145n ， 又nN，得3n ，或4n 。所求概率为33440.80.20.80.8192PC答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。20092009 年高考题年高考题一、选择题1.1.（0909 山东山东 1111）在区间1,1上随机取一个数x,cos2x的值介于 0 到12之间的概率为 （ ）A13 B2 C 12 D 23 【解析】在区间-1，1上随机取一个数 x,即 1,1x 时,要使cos2x的值介于 0 到21之间,需使223x 或322x213x 或213x，区间长度为32，由几何概型知cos2x的值介于 0 到21之间的概率为31232.故选 A.答案 A2.(09.(09 山东文山东文) )在区间,2 2 上随机取一个数 x，cosx的值介于 0 到21之间的概率为( ).A.31 B.2 C.21 D.32 【解析】在区间,2 2 上随机取一个数 x,即,2 2x 时,要使cosx的值介于 0到21之间,需使23x 或32x，区间长度为3，由几何概型知cosx的值介于 0 到21之间的概率为313.故选 A. 答案 A3.（0909 安徽卷理）安徽卷理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）A175 B 275 C375 D475【解析】如图，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，共有226615 15225CC种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有/,/,/,ACDB ADCB AEBF/,/,/AFBE CEFD CFED 共 12 对，所以所求概率为12422575p ，选 D答案D. .（20092009 安徽卷文）安徽卷文）考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 （ ） A.1 B. C. D. 0 【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有36C个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为 1，选 A。 答案 A5 5、 （20092009 江西卷文）江西卷文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相ABCDEF遇的概率为（ ）A16 B14 C13 D12【解析】所有可能的比赛分组情况共有22424122!C C种，甲乙相遇的分组情况恰好有 6种，故选D. 答案 D6.（20092009 江西卷理）江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A3181 B3381 C4881 D5081 【解析】5553(3 23)50381P故选 D答案 D7.（20092009 四川卷文）四川卷文）设矩形的长为a，宽为b，其比满足ba618. 0215，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.618 比较，正确结论是（ ） A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析解析】甲批次的平均数为 0.617，乙批次的平均数为 0.613答案 A A8.（20092009 辽宁卷文）辽宁卷文）ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为（ ）A4 B14 C8 D18 【解析】长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为224 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为14答案 B.（20092009 年上海卷理）年上海卷理）若事件E与F相互独立，且 14P EP F，则P EFI的值等于（ ）A0 B116 C14 D12【解析】P EFI 1144P EP F116答案 B二、填空题10.（2 20 00 09 9 广广东东卷卷 理理）已知离散型随机变量X的分布列如右表若0EX ，1DX ，则a ，b 【解析】由题知1211cba，061ca，1121211222ca，解得125a，41b.答案 11.（20092009 安徽卷理）安徽卷理）若随机变量2( ,)XN ，则()P X=_. .答案 1212.（20092009 安徽卷文）安徽卷文）从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_。【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4 或 3、4、5 或2、4、5，故34334PC=0.75. 答案 0.7513.（20092009 江苏卷）江苏卷）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2。答案 0.214.（20092009 江苏卷）江苏卷）某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表： 学生1 号2 号3 号4 号5 号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s= . 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为 7，故方差222222(67)00(87)0255s 答案 15. .（20092009 湖北卷文）湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。【解析】三人均达标为 0.80.60.5=0.24,三人中至少有一人达标为 1-0.24=0.76答案 0.24 0.7616. .（20092009 福建卷文）福建卷文）点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB 的长度小于 1 的概率为 。【解析】如图可设1AB ,则1AB ,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23。 答案 231717 （20092009 重庆卷文）重庆卷文）从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127 则该样本标准差s （克） （用数字作答） 【解析】因为样本平均数1(125 124 121 123 127)1245x ，则样本方差2222221(1313 )4,5sO所以2s 答案 2三、解答题1818、 （20092009 浙江卷理）浙江卷理） （本题满分 14 分）在1,2,3,9这9个自然数中，任取3个数 （I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率； （II）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2） 求随机变量的分布列及其数学期望E解（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则12453910( )21C CP AC； （II）随机变量的取值为0,1,2,的分布列为012P51212112所以的数学期望为5112012122123E 1919、 （20092009 北京卷文）北京卷文） （本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2 min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 解（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的概率为 11141133327P A .（）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件0,1,2kBk .则由题意，得 40216381P B， 132212142412321224,33813381P BCP BC .由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” ，事件 B 的概率为 01289P BP BP BP B.2020、 （20092009 北京卷理）北京卷理） （本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.解 （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的概率为 11141133327P A .（）由题意，可得可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯” （k 0，1，2，3，4） ，441220,1,2,3,433kkkPkCk ，即的分布列是02468P16813281827881181的期望是163288180246881812781813E .2121、(2009(2009 山东卷理山东卷理) )(本小题满分 12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得3分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q1为 0.25，在 B 处的命中率为 q2，该同学选择先在 A处投一球，以后都在 B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1）求 q2的值； （2）求随机变量的数学期望 E;（3）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。解 （1）设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25,( )0.75P A , P(B)= q2,2( )1P Bq . 根据分布列知: =0 时22()( ) ( ) ( )0.75(1)P ABBP A P B P Bq=0.03,所以210.2q，q2=0.8.（2）当=2 时, P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAP )()()()()()(BPBPAPBPBPAP=0.75 q2( 21 q)2=1.5 q2( 21 q)=0.24当=3 时, P2 =22()( ) ( ) ( )0.25(1)P ABBP A P B P Bq=0.01,当=4 时, P3=22()( ) ( ) ( )0.75P ABBP A P B P Bq=0.48,当=5 时, P4=()()()P ABBABP ABBP AB222( ) ( ) ( )( ) ( )0.25(1)0.25P A P B P BP A P Bqqq=0.24所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望0 0.032 0.243 0.014 0.485 0.243.63E （3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为()P BBBBBBBB()()()P BBBP BBBP BB222222(1)0.896q qq;该同学选择（1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大.2222、 （20092009 安徽卷理）安徽卷理） （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A感染的.对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是12.同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求X 的均值（即数学期望）.本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分 12 分。解 随机变量 X 的分布列是X123P131216X 的均值为111111233266EX 附：X 的分布列的一种求法共有如下 6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16：ABCDABCDABCDABDCACDB在情形和之下，A 直接感染了一个人；在情形、之下，A 直接感染了两个人；在情形之下，A 直接感染了三个人。2323、 （20092009 江西卷理）江西卷理） （本小题满分 12 分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持” ，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持” ，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持” ，则不予资助，令表示该公司的资助总额 (1) 写出的分布列； (2) 求数学期望E 解（1）的所有取值为0,5,10,15,20,25,30 1(0)64P 3(5)32P 15(10)64P 5(15)16P 15(20)64P 3(25)32P 1(30)64P（2）315515315101520253015326416643264E . 2424、(2009(2009 湖北卷理湖北卷理) )（本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量xy，求的分布列和数学期望。 解 依题意，可分别取5、6、11 取，则有1123(5), (6), (7)4 41616164321(8), (9), (10), (11)16161616ppppppp 的分布列为567891011p116216 3164163162161161234321567891011816161616161616E .2525、 （20092009 辽宁卷理）辽宁卷理） （本小题满分 12 分）某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列；（）若目标被击中 2 次，A表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2次” ，求P（A） 解（）依题意 X 的分列为 （）设 A1表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分” ，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分” ，i=1，2.依题意知 P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，11111122AA BA BA BA B,所求的概率为11111122( )()()()P AP A BP A BP A BP A B（） 11111122()() () ()() ()P A BP A P BP A P BP A P B（ 0.1 0.90.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.30.28 2626、 （20092009 湖南卷文）湖南卷文） （本小题满分 12 分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率.解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,iiiA B Ci=1，2，3.由题意知123,A A A相互独立，123,B B B相互独立，123,C C C相互独立，,ijkA B C（i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，且111(), (), ().236iiiP AP BP C （）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=1233! ()P AB C1236 () () ()P A P B P C11116.2366 （）至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率 P=1231()P B B B1231() () ()P B P B P B 31191 (1).327 2727、 （20092009 全国卷全国卷文）文） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解 记“第i局甲获胜”为事件)5 , 4 , 3( iAi， “第j局甲获胜”为事件)5 , 4 , 3( jBi。（）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则4343BBAAA ，由于各局比赛结果相互独立，故)()()()()()()()(434343434343BPBPAPAPBBPAAPBBAAPAP 52. 04 . 04 . 06 . 06 . 0 。（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而54354343ABAAABAAB ，由于各局比赛结果相互独立，故)()(54354343ABAAABAAPBP 648. 06 . 04 . 06 . 06 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0)()()()()()()()()()()(5435434354354343 APBPAPAPAPBPAPAPABAPAABPAAP 2828、 （20092009 陕西卷文）陕西卷文） （本小题满分 12 分）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2 的概率分别为0.4,0.5,0.1() 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率；（）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。解 解答 1（）设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表示“一个月内被投诉的次数为 1”所以()( )( )0.40.50.9P ABP AP B（）设事件iA表示“第i个月被投诉的次数为 0”事件iB表示“第i个月被投诉的次数为 1”事件iC表示“第i个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示“两个月内被投诉 2 次”所以()0.4, ()0.5, ()0.1(1,2)iiiP AP BP Ci所以两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为1221()P ACA C一、二月份均被投诉 1 次的概率为12()P B B所以122112122112()()()()()()P DP ACA CP B BP ACP A CP B B由事件的独立性的()0.4 0.1 0.1 0.40.5 0.50.33p D 解答 2（）设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次”设事件 B 表示“一个月内被投诉的次数不超过 1 次”所以( )0.1,( )1( )1 0.10.9p AP BP A ()同解答 1（）2929、(2009(2009 湖南卷理湖南卷理) )（本小题满分 12 分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解:记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 1A,1B,1C，i=1，2，3.由题意知1A23A A相互独立，1B23B B相互独立，1C23C C相互独立，1A,1B,1C（i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，且 P（1A）=，P（1B）=13，P（1C）=16（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（1A2B3C）=6P（1A）P（2B）P（3C）=6121316=16(2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，13） ，且=3。所以 P（=0）=P（=3）=13C31( )3=127， P（=1）=P（=2）= 23C31( )3 2( )3= 29 P（=2）=P（=1）=13C1( )322( )3=49P（=3）=P（=0）= 03C 32( )3= 827故的分布是0123P1272949827的数学期望 E=0127+129+249+3827=2解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件1D，i=1,2,3 ，由此已知，1DD，1D相互独立，且P（1D）-（1A，1C）= P（1A）+P（1C）=12+16=23 所以-2(3, )3B,既3321()( ) ( )33KKKPKC，0,1,2,3.k 故的分布列是0123p12729498273030、 （20092009 四川卷理）四川卷理） （本小题满分 12 分）为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） 。某旅游公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。 在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。 （I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E。本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（）由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡。设事件B为“采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” ， 事件1A为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，0 人持银卡” ， 事件2A为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，1 人持银卡” 。 12( )()()P BP AP A 121119219621333636C CC C CCC 92734170 3685 所以在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是3685。6 分（）的可能取值为 0，1，2，3 33391(0)84CPC, 1263393(1)14C CPC 21633915(2)28C CPC，363915(3)21CPC， 所以的分布列为0123P1843141528521 所以131550123284142821E ， 12 分 3131、 （20092009 重庆卷理）重庆卷理） （本小题满分 13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中：（）两种大树各成活 1 株的概率；（）成活的株数的分布列与期望 解解 设kA表示甲种大树成活 k 株，k0，1，2lB表示乙种大树成活 l 株，l0，1，2则kA，lB独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()( ) ( )33kkkkP AC , 2211()( ) ( )22llllP BC . 据此算得01()9P A , 14()9P A , 24()9P A . 01()4P B , 11()2P B , 21()4P B . () 所求概率为2111412()()()929P ABP AP B. () 解法一：的所有可能值为 0，1，2，3，4，且 0000111(0)()()()9436PP ABP AP B , 011011411(1)()()92946PP ABP AB , 021120114141(2)()()()949294PP ABP ABP AB=1336 , 122141411(3)()()94923PP ABP AB . 22411(4)()949PP AB .综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9从而，的期望为111311012343663639E 73（株）解法二：分布列的求法同上令12，分别表示甲乙两种树成活的株数，则12:21B(2,)，B(2,)32故有121EE 241=2= ，2332 从而知1273EEE3232、 （20092009 重庆卷文）重庆卷文） （本小题满分 13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中： （）至少有 1 株成活的概率；（）两种大树各成活 1 株的概率解 设kA表示第k株甲种大树成活, 1,2k ; 设lB表示第l株乙种大树成活, 1,2l 则1212,A A B B独立,且121254()(), ()()65P AP AP BP B（）至少有 1 株成活的概率为: 2212121212118991()1()()()()1 ( ) ( )65900P A AB BP AP AP BP B （）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为:11225 14 110846 65 5362545PCC 2005200520082008 年高考题年高考题一、选择题1 1(2008(2008 年全国年全国理理 6)6)从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）A929 B1029 C1929 D2029【解析解析】2920330110220210120CCCCCP答案 D2 2、 （20072007 年辽宁理）年辽宁理）一个坛子里有编号为 1，2，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到6 号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率是（ ）A122B111C322D211答案 D3 3、(2007(2007 年湖北理年湖北理) )连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量()mn，a =与向量(11)，b的夹角为，则0，的概率是（ ）A512B12C712D56答案 C4 4、 （20072007 年浙江理年浙江理 5 5）已知随机变量服从正态分布2(2)N，(4)
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