初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆

第二十三讲 圆与圆 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法： 1通过两圆交点的个数确定； 2通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定； 3通过两圆的公切线的条数确定 为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线 熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】 如图，Ol与半径为4的O2内切于点A，Ol经过圆心O2，作O2的直径BC交Ol于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=，那么BAF= 度 思路点拨 直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2Ol必过A点，先求出D O2A的度数注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通同时，又是生成圆幂定理的重要因素(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解 【例2】 如图，Ol与O2外切于点A，两圆的一条外公切线与O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则Ol 与O2的半径之比为( ) A2：5 B1：2 C1：3 D2：3 思路点拨 添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出COlO2 (或DO2Ol)的度数，为此需寻求CO1B、CO1A、BO1A的关系1 / 10【例3】 如图，已知Ol与O2相交于A、B两点，P是Ol上一点，PB的延长线交O2于点C，PA交O2于点D，CD的延长线交Ol于点N (1)过点A作AECN交Oll于点E，求证：PA=PE； (2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长 思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明PAE=PEA；(2)PBPC=PDPA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系【例4】 如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=，大、小两圆半径差为2 (1)求大圆半径长； (2)求线段BF的长； (3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切 思路点拨 (1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明EBCECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O，必在BF上，连OC，证明OCE=90注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键 【例5】 如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为，面积之和为 (1)试建立以为自变量的函数的解析式； (2)求函数的最小值 思路点拨 设两圆半径分别为R、r，对于(1)，通过变形把R2+r2用“=R+r”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因=R+r，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键是求出R+r的取值范围注：如图，半径分别为r、R的Ol 、O2外切于C，AB，CM分别为两圆的公切线，OlO2与AB交于P点，则： (1)AB=2； (2) ACB=Ol M O2=90；(3)PC2=PAPB； (4)sinP=； (5)设C到AB的距离为d，则 学力训练1已知：Ol和O2交于A、B两点，且Ol经过点O2，若AOlB=90，则A O2B的度数是 2矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围 (2003年上海市中考题)3如图；Ol 、O2相交于点A、B，现给出4个命题： (1)若AC是O2的切线且交Ol于点C，AD是Ol的切线且交O2于点D，则AB2=BCBD； (2)连结AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，则OlO2=25cm； (3)若CA是Ol的直径，DA是O2 的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上，(4)若过点A作Ol的切线交O2于点D，直线DB交Ol于点C，直线CA 交O2于点E，连结DE，则DE2=DBDC，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) 4如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M，设Ol的半径为，AM的长为，则与的函数关系是 ，自变量的取值范围是 5如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) A2 B C D6如图，已知Ol、O2相交于A、B两点，且点Ol在O2上，过A作Oll的切线AC交B Ol的延长线于点P，交O2于点C，BP交Ol于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为( ) A B C D7如图，Ol和O2外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点PB=AB；PBA=PAB；PABOlAB；PBPC=OlAO2A上述结论，正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 8两圆的半径分别是和r (Rr)，圆心距为d，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( ) A一定内切 B一定外切 C相交 D内切或外切9如图，Ol和O2内切于点P，过点P的直线交Ol于点D，交O2于点E，DA与O2相切，切点为C（1）求证：PC平分APD； (2)求证：PDPA=PC2+ACDC； (3)若PE=3，PA=6，求PC的长10如图，已知Ol和O2外切于A，BC是Ol和O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交Ol于D，过D点作CB的平行线交O2于E、F，求证：(1)CD是Ol的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论 11如图，已知A是Ol、O2的一个交点，点M是 OlO2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交Ol、O2于B、C (1)求证：AB=AC； (2)若Ol A切O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2，求证：dl+d2=O1O2； (3)在(2)的条件下，若dld2=1，设Ol、O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r212已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 13如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为 14如图，Ol和O2内切于点P，O2的弦AB经过Ol的圆心Ol，交Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则Ol与O2的直径之比为( ) A2：7 B2：5 C2：3 D 1：3 15如图，Ol与O2相交，P是Ol上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A1，2 B1，3 C1，2，3 D1，2，3，4 16如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( ) A有内切圆无外接圆 B有外接圆无内切圆 C既有内切圆，也有外接圆 D以上情况都不对 17已知：如图，O与相交于A，B两点，点P在O上，O的弦AC切P于点A，CP及其延长线交P P于点D，E，过点E作EFCE交CB的延长线于F（1）求证：BC是P的切线； (2)若CD=2，CB=，求EF的长； (3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由 18如图，A和B是外离两圆，A的半径长为2，B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切A于点C，PD切B于点D (1)若PC=PD，求PB的长； (2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由； (3)当点F在线段AB上运动到某处，使PCPD时，就有APCPBD 请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论 19如图，D、E是ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，DAE=CAF (1)判断ABD的外接圆与AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若ABD的外接圆半径是AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长 20问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面 操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) 方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)； ， 探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径； (2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径； (3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明 参考答案 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！