高中数列求和方法大汇总

高中数列求和方法大汇总1利用公式法进行数列求和等差、等比数列的求和，直接运用前n项和公式或运用等差、等比数列的性质，此部分是基础，也是重点利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法(1) 等差数列求和公式：=(2) 等比数列求和公式：= (3) =(4) =例1 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足: = ,= 7,求数列的通项公式及前项和解 设公差为，依题意有：=由性质得: = 因为，所以= 0，即，又由= 7得：解得： ，所以的通项公式为：故所求的前项和为： = 评注 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。例2 等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列 （1）求的公比； （2）若，求解 （1）依题意有 由于，故 又，从而 （2）由已知可得: 故: 从而= 评注 在数列求和中，以下三个性质经常用到：（1）在等差数列中，若，则有：； （2）在等差数列中，若,则有： A、B、C成等差数列； （3）在等比数列中，若,则有：A、B、C成等比数列2裂项相消法顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，使拆裂后的项相互之间出现一些互为相反数的部分，求和时这些互为相反数的部分就能互相抵消，从而达到求和的目的例3求数列，的前n项和解 因为：=所求的和：=例4 求和：=+ 解 因为 = 所以： = = = 评注 观察相消项的规律是求和的关键，要搞清楚哪些项是合并了，哪些项未合并，并且这类裂项分解往往要对数列的通项进行较大幅度的变形，有的是隔项相消，技巧要求较高3错位相减法这种方法是把原数列的钱n项和乘以一个因数作为辅助数列，然后把它与原数列相减而得到一个关于的关系式，接着解这个关系式，进而求的的值能用错位相减法求和的数列通常是项数相同的一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的相减前在原求和等式的两边同乘以等比数列的公比，两式相减后能组成一个新的等比数列，以便用等比数列求和公式求和例5求和：= +解 因为：= + （1） 所以：= + （2） 由（1）（2），得： = + = + 再利用等比数列的求和公式得：= + = 故：= 评注 （1）相减后各项的符号；（2）中间成等比数列部分的项数；（3）最后的表达式 例6设，求数列、 、 的前n项和解若，= = = 若，= （1）此时，该数列可以看作是等差数列1、3、5、7、 、与等比数列、 、的积构成的数列，且公比等式两边同乘以 ，有： = （2） 由（1）（2），得： = 所以： = = 化简整理得： = 评注 这个数列的每一项都含有，而等于1或不等于1对数列求和的方法有本质上的不同，所以解题是要讨论，切忌漏写4数学归纳法这种方法是求出的前n项之和，即先求出、的值，再通过观察发现规律，从而归纳、猜想得出，并用数学归纳法加以证明例7已知数列的各项为：、其中是大于0的常数，记数列的前n项之和是，计算、的值，由此推算出的公式，并用数学归纳法加以证明解 = = = = = = = = 由此猜想： = 用数学归纳法证明如下： 当时，命题显然成立； 设当时，命题成立，即：= 当时，= = = 这就证明了时，命题成立，从而命题对所有的自然数都成立例8 设数列的前n项之和为，且满足： = ，求解 因为：= ，由 = 得： = 所以： = ，而： = 所以： = ,得： = 同理求得： = 由此猜想： = 用数学归纳法证明如下：当时，命题显然成立； 设当时，命题成立，即： = 当时，由题设有： = 所以： = 从而： = = 由此求得： = 这就证明了时，命题成立，从而命题对所有的自然数都成立评注 （1）运用数学归纳法的思想是“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；（2）运用数学归纳法的关键是“由当时成立，如何过渡与转换为当时也成立.”5倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒叙），再把它与原数列相加，从而得到n个能用这个方法的数列的特点是：在一个数列中与首末两端“等距离”的两项之和（或“系数”之和），等于首末两项之和（等于首末两项“系数”之和）例9设数列是等差数列，求证： = 解 设S = （1） 将上式倒写，得： S = 又因为： = ，所以： S = （2） 由（1）+（2），得： 2S = 因为：是等差数列 所以： = = = 所以：2S = = 即： S = 故： = 评注 = 例10 已知函数 = ，求： = 解可证当 = 1时， = 因为： = （1） 将上式倒写，得： = （2） 由（1）+（2），得：2S = = = 所以： = 例11 设，利用本文中推导等差数列前n项和公式的方法，求：的值.解： ，=，设 = （1）将上式倒写，得： = （2） 由（1）+（2），得： = = = = .点评 使用“倒序相加法”求和的题型特征是“与首末两端距离相等的两项的和都相等”. 本题中，倒序相加后，对应项的和中自变量的和都等于1，故需探求的值.6并项求和法将数列的相邻两项（或若干项）合并一项（或一组）得到一个新的、容易求和的数列，然后再求整个数列的前n项和例12（1）求1002992+982972+2212的值（2）求数列1，前100项的和解 （1）1002992+982972+2212=（100+99）（100-99）+（98-97）（98-97）+(2+1)(21)= (100+99)+(98+97)+(2+1)= = 5050（2）根据有2项，有3项，有4项，项数和1+2+3+14=105，则最后一项为，且有9项， = 1+(+)+(+)+(+)+(+)= 1+1+1+1+1+9= 137拆项重组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但经细心观察，仔细分析之后发现：若将这数列中的每一项都两项之和，再重新组合，它就可以分成几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可，这种方法就称为拆项重组法例13求数列、的前n项和解因为： = = = = = 所以： = = = = 例14 求和：解 括号中式子的通向公式是： = = = 所以所求的和： = = = 评注 先研究通项，抓住特点，确定拆项方法，将数列通过拆项重组，转化为等差、等比或熟悉的数列，然后求和8通项分析法对数列的通项不是很明确的数列，就应先对其通项求和或变形，进行分析，从而决定使用哪种方法求和例15已知数列的通项 = ，求此数列的前n项和解因为： = = = 所以： = = = = 例16 已知数列中， = 1， = 1+2+1， = = ，求数列的前n项和解因为： = = = = = 所以： = = = = 评注 数列的通项公式反映了一个数列的特点，充分研究数列的通项公式，常常对求和是十分有用的9构造等式法这种方法是指构造一个含有未知数的等式，然后令这个未知数分别等于1、2、3、n，于是得到n个等式，接着将这n等式相加，与数列和无关的项能小区，而剩下的就是所求数列的和或能组成等差数列或等比数列，进而求出所求的此法适用于求由自然数的幂构成的数列的前n项和例17求数列，的前n项和 解 因为： = 所以： = 依次令 = 1、2、3、n，得： = ， = ， = ， = 将上面n个等式相加得： = 由此解得： = 评注 这个结论是前n个自然数的平方和公式，它具有便于记忆的特征，又有一定的实用价值，应注意记忆及应用10导数求和法通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维，由求导公式 = ，可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的结构特征例18 求和： （1） = ； （2） = 解 (1) 当时， = = ； 当时， = 两边都是关于的函数，求导得： = 由此有 ： = 即： = = （2）因为： = 两边都是关于的函数， 所以：求导得： = 令，得： = 即： = = 评注 本题的解题思路是建立在敏锐的洞察式子特征的基础上的，联想熟悉的函数关系式，并求导和赋值，又隐去了函数的表象，难度较高，技巧性强同样的思路和方法可借下面一道题：变式 求的值。（利用两次求导即得）解 因为： = 两边都是关于的函数， 所以：求导得： = 对上式再次求导，得： = 令，得： = 故：